Die Theorie von Galois

  • B. L. Van Der Waerden
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 33-34)

Zusammenfassung

Die Theorie von Galois beschäftigt sich mit den endlichen separablen Erweiterungen eines Körpers K und insbesondere mit deren 1-Isomor-phismen und 1-Automorphismen. Sie stellt eine Beziehung her zwischen den Erweiterungskörpern von K, welche in einem gegebenen Galoisschen Körper enthalten sind, und den Untergruppen einer gewissen endlichen Gruppe. Durch diese Theorie finden verschiedene Fragen über die Auflösung algebraischer Gleichungen eine Lösung.

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Notes

  1. 1.
    Unier den ϑ 1 …, ϑ n kommt natürlich ϑ selbst vor.Google Scholar
  2. 1.
    f(x) soll ein Polynom ohne mehrfache Linearfaktoren sein.Google Scholar
  3. 1.
    Die Vereinig ungsgruppe zweier Untergruppen bedeutet die durch die Vereinigungsmenge erzeugte Gruppe. Entsprechend definiert man den Begriff Vereinigungskörper.Google Scholar
  4. 1.
    Für andere einfache Beweise siehe z. B. E. Landau und unmittelbar darauffolgend I. Schur in der Math. Z. Bd. 29 (1929).Google Scholar
  5. 1.
    Offensichtlich sind die Wurzeln alle verschieden, mithin die Gleichung separabel.Google Scholar
  6. 1.
    Diese Annahme hat den Zweck, das Auftreten inseparabler Erweiterungen zu verhüten. Man könnte sich von ihr befreien; doch interessiert uns das hier nicht.Google Scholar
  7. 2.
    Wenn man außer Radikalen von der beschriebenen Art auch noch Einheitswurzeln in der Auflösungsformel zuläßt, so läßt sich die letztere Bedingung ersetzen durch die schwächere: unter den Ordnungen der Kompositionsfaktoren soll die Charakteristik nicht vorkommen.Google Scholar
  8. 1.
    Nur zur Vereinfachung der Formeln. Aus dem Beweis ist ebenso leicht zu entnehmen, wie die Ausführungsformeln für die ursprüngliche Gleichung \( {z^3} + {a_1}{z^2} + {a_2}z + {a_3} = 0 \) lauten.Google Scholar
  9. 1.
    Wir setzen für den Augenblick die komplexen Zahlen, deren genaue Bedeutung im Rahmen der abstrakten Algebra wir erst im Kap. 9 behandeln werden, als bekannt voraus.Google Scholar
  10. 2.
    Einen anderen Beweis erhält man, wenn man alle vorkommenden Zahlen in Real-und Imaginärteil spaltet und nach § 69 die komplexen Quadratwurzeln auf reelle zurückführt, welche dann in bekannter Weise konstruierbar sind.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1937

Authors and Affiliations

  • B. L. Van Der Waerden
    • 1
  1. 1.Universität LeipzigDeutschland

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