Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist, über die Struktur der kommutativen Körper, über ihre einfachsten Unterkörper und Erweiterungskörper eine erste Übersicht zu gewinnen. Indessen gelten einige der folgenden Untersuchungen (§§30, 31, 33, 34) auch für Schiefkörper.
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Notes
Im nichtkommutativen Fall ist dies falsch, weil die Variable x immer als mit dem Koeffizienten a k vertauschbar angenommen wurde, die Größe ϑ es aber nicht zu sein braucht. Nur wenn speziell ϑ mit allen Elementen von Δ vertauschbar ist, gelten alle Betrachtungen dieses Paragraphen.
Für „Unzerlegbar in Δ[x]“ sagt man gelegentlich auch weniger exakt: „Unzerlegbar im Körper Δ“. Besser wäre vielleicht: „Unzerlegbar, über dem Körper Δ“.
Die Bezeichnung wird hauptsächlich auf algebraische Größen ϑ angewandt. Transzendente Größen desselben Körpers sind stets untereinander konjugiert (s. o.).
Der Begriff der Δ-Basis ist zu unterscheiden von dem der Idealbasis (§ 16). Beide sind Spezialfälle des allgemeineren Begriffs der Modulbasis (Basis eines Moduls in bezug auf einen Operatorenbereich).
Den höchsten Koeffizienten von f(x) wollen wir hier und im folgenden gleich 1 annehmen, was offenbar nichts ausmacht.
Man kann die Definition auch so fassen: Eine algebraische Erweiterung 27 ist normal, wenn Σ zugleich mit einer Größe a auch alle zu α konjugierten Gröβen (irgendeines umfassenden Körpers) enthält. Die zu α konjugierten Größen eines beliebigen umfassenden Körpers sind nämlich nichts anderes als die Wurzeln desselben irreduziblen Polynoms g(x), dessen Nullstelle α ist, und der Umfassungskörper kann immer so gewählt werden, daß in ihm g (x) ganz zerfällt. Diese Definition ist aber hier vermieden worden, da sie auf die Gesamtheit aller umfassenden Körper Bezug nimmt, was (abgesehen von der mengentheoretischen Bedenklichkeit dieser Gesamtheit, die sich wohl beseitigen ließe) weniger schön erscheint, da es sich in Wirklichkeit um eine Eigenschaft von Σ und Δ allein handelt.
Nach § 18, Auf g. 4 ist φ(h) zugleich die Anzahl der zu h teilerfremden natürlichen Zahlen ≦h. Man nennt φ(h) die Euler sche φ-Funktion
ab (sprich: a teilt b) bedeutet: a ist Teiler von b.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann der höchste Koeffizient von ψ(y) gleich 1 gesetzt werden, n 0 ist der Grad von ψ(y).
Der Ausdruck „von erster Art“ stammt von Steinitz. Ich schlage das Wort „separabel“ vor, das in mehr suggestiver Weise zum Ausdruck bringen soll, daß alle Nullstellen von f(x) getrennt liegen.
Ob auch α1 und damit der ganze Körper separabel ist, ist gleichgültig.
Der frühere (längere) Beweis mittels sukzessiver Fortsetzung war lehrreicher; denn aus ihm ließ sich die ganze Theorie der inseparablen Erweiterungen entwickeln. Demjenigen Leser aber, der sich hauptsächlich für separable Erweiterungen interessiert, die ja auch die wichtigsten und häufigsten sind, sei der obige Beweisgang mittels des Satzes vom primitiven Element empfohlen.
Siehe B. L. van der Waerden: Eine Bemerkung über die Unzerlegbarkeit von Polynomen. Math. Ann. Bd. 102 (1930) S. 738.
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Van Der Waerden, B.L. (1937). Körpertheorie. In: Moderne Algebra. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33-34. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-36434-5_6
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