Zusammenfassung
Inhalt: Erklärung der für das ganze Buch grundlegenden gruppentheoretischen Grundbegriffe: Gruppe, Untergruppe, Isomorphic, Homo-morphie, Normalteiler, Faktorgruppe.
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Notes
Die Reihenfolge ist Sache der Verabredung. Häufig macht man es gerade umgekehrt; st heißt dann: erst s, dann t. Zweckmäßig schreibt man dann die Transformationen rechts von den Objekten: a s statt s(a).
Der Name ist so gewählt, weil die Funktionen von x 1…, x n, die bei allen Permutationen der Gruppe invariant bleiben, die „symmetrischen Funktionen“ sind.
Das Symbol v, das den variablen Index angibt, darf natürlich durch jedes andere Symbol ersetzt werden, ohne daß die Bedeutung des Produktes sich ändert.
Im Fall k = 1 fällt der erste Faktor weg, im Fall k = n der zweite; das stört den Beweis aber nicht.
In der Literatur findet man oft die von Galois eingeführte Schreibweise:
, welche besagen soll, daß die Klassen a
vg zueinander fremd sind und zusammen die Gruppe 𝔊 ausmachen. Wir vermeiden diese Schreibweise, weil wir das Zeichen + für die später zu erklärende direkte Summe reservieren wollen.Die Relation gilt zwar auch, wenn N unendlich ist; nur muß man dann, um ihren Sinn zu erklären, Produkte von Kardinalzahlen einführen, was wir nicht getan haben.
Der Name ist so zu erklären: Teiler heißt hier Untergruppe und das Wort „normal“ soll die besondere Eigenschaft ag = ga zum Ausdruck bringen.
Ein fester Sprachgebrauch für die Wörter Isomorphismus und Homomorphismus existiert nicht. Speiser Z. B. verwendet in der 1. Auflage seiner früher zitierten „Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung“ die beiden Wörter gerade umgekehrt. Die hier gewählte Bezeichnung schließt sich mehr dem üblichen an.
, welche besagen soll, daß die Klassen a
vg zueinander fremd sind und zusammen die Gruppe 𝔊 ausmachen. Wir vermeiden diese Schreibweise, weil wir das Zeichen + für die später zu erklärende direkte Summe reservieren wollen.Author information
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Van Der Waerden, B.L. (1937). Gruppen. In: Moderne Algebra. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33-34. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-36434-5_3
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