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Reelle Körper

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Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 33-34)

Zusammenfassung

Beim Studium der algebraischen Zahlkörper spielen außer den algebraischen Eigenschaften ihrer Zahlen gewisse unalgebraische Eigenschaften: absolute Beträge |a|, Realität, Positiv sein, eine Rolle. Daß diese Eigenschaften sich nicht mit Hilfe der algebraischen Operationen + und eindeutig definieren lassen, zeigt sich an folgendem Beispiel.

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Notes

Notes

  1. 1.
    Das „Archimedische Axiom.“ in der Geometrie lautet nämlich so: Man kann jede gegebene Strecke PQ („Einheitsstrecke“) von einem gegebenen Punkt P („Nullpunkt“) stets so oft in der Richtung PR abtragen, daß man über jeden gegebenen Punkt R hinauskommt.Google Scholar
  2. 1.
    Der bisherige Teil des Beweises diente nur dazu, die Existenz einer Nullfolge sicherzustellen, die im weiteren Verlauf gebraucht wird. Im archimedischen Fall hätte man einfacher ɛp = 2p setzen können; wir wollen aber den Satz in voller Allgemeinheit beweisen. Im nichtarchimedischen Fall ist {2 p{ keine Nullfolge.Google Scholar
  3. 1.
    Unter dem Vorzeichen einer Zahl c verstehen wir das Symbol +, − oder 0, je nachdem c positiv, negativ oder Null ist. Ein Wechsel in einer nur die Zeichen + und − in beliebiger Anzahl aufweisenden Vorzeichenfolge liegt vor, sobald einem + ein − oder einem − ein + folgt. Sind auch Nullen vorhanden, so hat man diese bei der Zählung der Wechsel einfach wegzulassen.Google Scholar
  4. 1.
    Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: Cours d’Analyse I, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab H. Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914) S. 142.MathSciNetGoogle Scholar
  5. 1.
    Ist in irgendeinem Körper das Element —1 als Summe ∑a2v darstellbar, so ist somit ist 12 + ∑a2v = 0 eine Summe von Quadraten mit nicht sämtlich verschwindenden Basen. Ist umgekehrt eine Summe ∑b2v gegeben, wo ein bλ≠0 ist, so kann man dieses b λ leicht zu Eins machen, indem man die Summe durch b λ2 dividiert; schafft man die Eins auf die andere Seite, so erhält man - 1 = ∑v2.Google Scholar
  6. 2.
    Vgl. E. Artin u. O. Schreier}: Algebraische Konstruktion reeller Körper. Abh. Math. Sem. Hamburg Bd. 5 (1926) S. 83–115.Google Scholar
  7. 3.
    Man hat die kurze Bezeichnung „reell-abgeschlossen“ der präziseren „reellalgebraisch abgeschlossen“ vorgezogen.Google Scholar
  8. 1.
    i bedeutet hier und im folgenden stets eine Nullstelle von x 2 + 1.Google Scholar
  9. 2.
    Dies ist möglich, weil f(x) doppelwurzelfrei sein sollte.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1937

Authors and Affiliations

  1. 1.Universität LeipzigDeutschland

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