Über die Tatsachen, die der Geometrie zugrunde liegen

  • Hermann v. Helmholtƶ

Zusammenfassung

Meine Untersuchungen über die räumlichen Anschauungen im Gesichtsfelde haben mich veranlaßt, auch über die Frage nach dem Ursprunge und dem Wesen unserer allgemeinen Anschauungen vom Raume Untersuchungen anzustellen. Die Frage, welche sich mir dabei aufdrängte, und die auch offenbar in das Bereich der exakten Wissenschaften gehört, war zunächst nur die: Wieviel von den Sätzen der Geometrie hat objektiv gültigen Sinn? wieviel ist im Gegenteil nur Definition oder Folge aus Definitionen, oder von der Form der Darstellung abhängig? Diese Frage ist meines Erachtens nicht so ganz einfach zu beantworten, da wir es in der Geometrie stets mit idealen Gebilden zu tun haben, deren körperliche Darstellung in der Wirklichkeit immer nur eine Annäherung an die Forderungen des Begriffes ist, und wir darüber, ob ein Körper fest, ob seine Flächen eben, seine Kanten gerade sind, erst mittels derselben Sätze entscheiden, deren tatsächliche Richtigkeit durch die Prüfung zu erweisen wäre2). Bei dieser Untersuchung hatte ich im wesentlichen denselben Weg eingeschlagen, dem Riemann in seiner kürzlich veröffentlichten Habilitationsschrift*)3) gefolgt ist.4) Die analytische Behandlung der Frage, wodurch sich der Raum unterscheide von anderen abmeßbaren, mehrfach ausgedehnten und kontinuierlichen Größen, empfiehlt sich in diesem Falle gerade durch den Umstand, daß sie der Anschaulichkeit ermangelt, und deshalb den auf diesem Gebiete so schwer zu vermeidenden Täuschungen durch die besondere Begrenztheit unserer Anschauungen nicht ausgesetzt ist. Daneben hat sie den Vorteil, die Möglichkeit folgerichtiger Durchführung eines abweichenden Systems von Axiomen leicht vollständig überblicken zu lassen.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

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  • Hermann v. Helmholtƶ

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