This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Zeichenreste des bis auf die Vs. herumgeschriebenen Zeilenendes; vielleicht als Schluß eines wie TUM aussehenden Zeichens zu lesen.
Rs. zerstört.
Rs. zerstört.
Ergänzung s. Kommentar.
Wörtlich wohl „Tritte“. Vgl. S. 208 Anm. 11a bzw. S. 164 Anm. 33.
Die 30 über eine (irrtümliche) 1 weggeschrieben.
Oder ist bal-ḫa zu lesen wozu Deimel ŠL 9, 38 zu vergleichen wäre?
Von der Aufzählung aller mehr oder weniger gelegentlichen Zitate dieses Abschnittes (die alle auf die Arbeiten OLZ 19 zurückgehen) sehe ich ab.
In kleiner Schrift stehen unter der Zeile einige Zeichen. Dies geschieht an den folgenden Stellen: Vs. 6, Vs. 8, Vs. 16, Vs. 18 und Rs. 1, ö. Es scheint mir, daß es sich dabei um die folgenden Zeichen handelt: Vs. 6: UŠ; Vs. 8: GAB UŠ TA; Vs. 16: US; Vs. 18: GAB UŠ; Rs. I, 6: GAB UŠ TA. Dabei entsprechen sich die Stellen Vs. 6 und Vs. 16 bzw. Vs. 8 und Vs. 18 ganz genau. Rs. I, 6 steht für sich. Die Bedeutung dieser Notizen ist mir ganz unklar.
Irrtümliche Wiederholung.
Die Lesung igi-gub wird jetzt gesichert durch AO 6770 Rs. 13 (Teil II § 4 B) sowie durch BM 85 196 (vgl. Teil II, § 4 C, BM 85 196, Kommentar c).
Vgl. Kraus, AB 2, 157.
Thureau-Dangin hat RA 29, 61 ukullû vorgeschlagen, was also hiermit der Sache nach bestätigt wird.
Vgl. ÍB ≈ qablu; ina qabal inmitten u. dgl., was der Sache nach dasselbe bedeuten würde.
Es ist hier nicht zu entscheiden, ob dieser Terminus „Fläche“ hier als „Querschnittsfläche“ (Volumen: Höhe) oder als „Produkt“ (l · m) zu fassen ist.
Bezüglich der vorkommenden Maße vgl. Kap. I, § 7d, 3 a (S. 87).
Den Hinweis, daß purum „Los“ bedeutet, verdanke ich Herrn Schott (m.W. in keinem der Wörterbücher angegeben). Aus dem mathematischen Zusammenhang folgt klar, daß es sich um eine Flächengröße handeln muß, also „Landanteil, Ackerlos“. — In Ist. A 20 + VAT 9734 (vgl. oben S. 47 bei 1,40) werden (1,40 GAR)2 = 2,46,40 GAR2 als 5 bu-ri ù 10 i-ki bezeichnet, und in der Tat sind 5 bur + 10 ikû = 2,46,40 GAR2 (vgl. Kap. I, § 7 d, 2). Bei diesen bu-ri muß es sich also um eine assyrische Umbildung der sumerischen Maßbezeichnung bur handeln, die nichts mit unserm purum hier zu tun hat.
Man vergleiche damit die umfangreichen Felderteilungen in der Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu und viele analoge Beispiele.
Es stehen 3 Zeichen da: 1. RI oder HU 2. TA oder ŠA 3. BI oder GUD. Vgl. auch VAT 7535 Vs. 23 u. 24 sowie Rs. 21.
Vgl. auch Deimel ŠL 444, 24.
Thureau-Dangin hat RA 30, 184 ff. diese auch in Strssbg. 368 auftretenden GÌR-Größen unbedenklich als Längen aufgefaßt (z. B. „longeur du terrain“). Andererseits faßt er aber auch sag GI = x als Länge; aus unseren Formeln folgt aber, daß sich dies widerspricht und man nur eine der Größengruppen als nicht dimensionslos ansehen kann, es sei denn, daß man sich der am Schluß vertretenen Auffassung anschließt.
Vgl. Kap.I, § 7d, 1.
Thureau-Dangin hat sich das Problem zu sehr vereinfacht, wenn er RA 30, 185 Anm. 5 sagt „Ici, où une seule dimension est envisagée, il (sag) designe ce que nous appellerions la longueur“. Auch sein Hinweis auf das Maß GI = ½ GAR ist irrig, denn in VAT 7535 erhält man als „sag GI“ nicht 0;30 GAR, sondern 0;25 GAR. Es ist also nur Zufall, daß in VAT 7532 und Strssbg. 368 x = 0;30 GAR wird.
Für ξ = (1 — α) x gilt natürlich mutatis mutandis dasselbe wie für x.
Diese Entscheidung dürfte jetzt durch den Text AO 6770 geliefert sein. Vgl. Teil II, § 4B, Kommentar und Übersetzung f.
Zu lesen als a-na šiddim uriddi (vgl. Rs. 28).
Soweit sich an den Resten erkennen läßt, dürfte ursprünglich sag GÌR dagestanden haben, das dann in sag an-na korrigiert worden ist (vgl. die Autographie in Teil II, Tafeln II).
Statt BI ist vielleicht GUD zu lesen. Vgl. VAT 7532 Rs. 6.
Dieser Zusatz ist an dieser Stelle unrichtig. Es müste statt dessen in der nächsten Zeile heißen „6,21 (ist) die Breite des GÌR“.
Man erwartet natürlich ein Wort für „vier“. Ich sehe aber nicht, wie sich dies mit den erhaltenen Zeichen vereinbaren läßt.
Dies ist ein Irrtum; es sollte „obere Breite“ heißen. Vgl. Strssbg. 368 Rs. 3.
Vgl. Anm. 1 von Strssbg. 362.
Vgl. Anm. 2 von Strssbg. 362.
Offenbar als Korrektur von 30 in 1 zu verstehen.
Offenbar als Korrektur von 1 in 30 zu verstehen.
Dies ist ein Irrtum. Es sollte „obere Breite« heißen. Vgl. VAT 7535 Rs. 15.
Vgl. Anm. 9 Schluß.
Dieses -ta ist höchst ’ wahrscheinlich zu streichen (es wird ja nicht „von 10“ von „von 45“ subtrahiert!) wenn man es nicht für einen Akkadismus ta(ssuḫu) halten will. Die Form (a)-ta ba-zi tritt in andern Texten (vgl. Kap. VII, YBC 4710 u. 4713) häufig auf und ist wohl die Ursache des vorliegenden Fehlers.
Wohl Rasur des Schreibers.
Es muß ein Terminus der Multiplikation dastehen, ohne daß ich aber die erhaltenen Zeichen mit einem der mir bekannten Ausdrücke in Verbindung bringen könnte. Sollte das letzte Zeichen ein GAR sein, so wäre vielleicht Meißner, SAI 5251 und 9216 heranzuziehen (s. a. Deimel, ŠL 597, 31).
Nach dem ša stehen Eeste eines Zeichens, das wie 40 aussieht, aber nicht in den Text gehören kann.
Vgl. VAT 8520 S. 348 Anm. 5.
Es ist mir ganz unklar, was hier gestanden haben kann, denn es sind schon mit der vorigen Zeile alle Angaben vollständig aufgezählt.
Die Übersetzung von líl = sîru durch „Feld“ wird hier durch den Zusammenhang verlangt — sonst heißt es „Steppe“ „Wüste“ also gerade unkultiviertes Feld.
Nicht gur wie im Text VAT 8391 Vs. 19 u. 20 zu stehen scheint.
Diese beiden Koeffizienten 1/2 müssen irgend etwas mit der bei der Wiederholung der Angaben in Zeile 12 auftretenden Größe 1 („pi-ṣi (?)-am“ vgl. auch Zeile 18 sowie VAT 8528 Vs. I, 20)zu tun haben.
Nur eine Kolumne ist beschrieben. Die zweite ist leer bis auf einige flüchtige Zahlzeichen wie 1 4 1,30 3 6.
Würde man das Gleichheitszeichen auch diagonal ausnützen, so würden sich bei den gegebenen Werten von α und F jedesmal irrationale Wurzeln für die zweite Lösung ergeben.
Anfang der Zeile leer, dann zerstört, aber sicherlich unbeschrieben gewesen, bis auf das 20 i-tir. Analoge Textverteilung ist im folgenden noch mehrmals erhalten.
Der freie Rest der Es. trägt eine Menge ausgedrückter Zahl- und auch wohl Schriftzeichen.
Da (5) durch die Auflösungsformel (6) bedingt ist und (3) gesichert ist, ist auch (4) unvermeidlich. Es liegt also hier der seltene Fall vor, daß wir auch die Herleitung einer Relation wie (5) rekonstruieren können, was natürlich von größtem historischem Interesse ist.
Die Zeichenreste würden eher zu 40 oder 50 passen als zu 30, das aber sicherlich hergehört.
ṣi über ein zi weggeschrieben.
Die Verteilung der Worte auf die Zeilen Vs. 31 bis Rs. 3 und ihre Zuordnung zu den Zeichenresten ist selbstverständlich keine absolut sichere.
Das ma (?) zwischen na und ak ist wohl ein Versehen des Schreibers.
Die richtige Interpretation dieser Wendung zum Ausdruck von a±b verdanke ich Herrn Schott. Die Auffassung, die ihr zugrundeliegt, ist demnach diese: man nehme die Größe a in zwei natürlich „gleichen“ (es heißt ja mḫr „gleich“, „entsprechend“, „symmetrisch“) Exemplaren und addiere b zum „ersten“ bzw. subtrahiere es vom „zweiten“ (hier im Text ist die Reihenfolge der Schritte übrigens zuerst die umgekehrte als in der Resultatangabe). Im Allgemeinen wird das „in zwei Exemplaren nehmen“ von a nicht mehr ausdrücklich erwähnt, so daß dann so kurze Wendungen entstehen wie in VAT 8389 und VAT 8391, wo nur noch „zum ersten addiere, vom zweiten subtrahiere“ gesagt wird.
Diese Ergänzung ist sehr unsicher und paßt schlecht zu den Zeichenresten; ich finde aber keine bessere.
So offenbar verschrieben statt i-di-in-ma.
Zwei ma übereinander geschrieben.
4 schreibt der Text sonst wie GAR.
Es könnte sich hier um die Zeichengruppe Deimel ŠL 381, 414 (UD-DUGUD-KÙ) handeln, also um einen Ausdruck, der vielleicht kù-babbar äquivalent ist (s. Deimel l. c).
Rasur.
Zu ergänzen wird davon etwa folgendes sein: 1 ma-na kù-babbar a-na 1 ma-na 12 gin máš.... 1 ma-na gar-ra 12 máš gar-ra....12 máš a-na 1 sag ku-babbar
Im Text stehen nur die Reste eines Zeichens, das wohl 10 sein dürfte.
So nur als irrtümliche Wiederholung gefaßt. Man könnte allerdings auch daran denken (vgl. die Photographie) 1,..,10 zu lesen (was ja sachlich richtig wäre) d.h. den Mittelteil als ein (allerdings sonst nicht bekanntes) Nullzeichen zu interpretieren. Dem widerspricht aber die 2,20 der vorangehenden Zeile, die auch 2,.,20 heißen müßte.
Vgl. zu dieser Übersetzung von ki ma-ṣi Schott QS B 2, 364 ff. (1933).
Davon wird etwa folgendes zu ergänzen sein: 1 Mine Silber. Für 1 Mine 12 Schekel Zins.... 1 Mine nimm, 0;12 Zins nimm.... 0;12 Zins mit 1 Anfangskapital
Vgl. z. B. Johns ADD 3, 254.
Vgl. unten S. 367.
Vgl. QS B 2, 304 (1932). Also nicht, wie zu erwarten, ṣipat oder ṣipit ṣiptim (vgl. Johns ADD 3, 254 und die (dort zitierte) Stelle aus der Serie ḫarra/ḫubullu Rawlinson IWA 5, 40 Nr. 4 Vs. 66 = Delitzsch HWB 309 a).
Vgl. Meißner BA 1, 156 u. 364.
VAT 8528 Vs. I, 16.
Zu dieser Konvention vgl. z. B. Thureau-Dangin ZA 15, 412 Anm. 2 (1900) oder Ginzel, Handbuch d. math. u. techn. Chronologie 1,69 f.
Wohl aber ist 303 = 7,30,0.
Hätte sonst eine Korrektur an der Zinsformel angebracht werden müssen ? Bei einem 30-jährigen Intervall wie hier wäre das wohl denkbar, da ja die zinsfreie Zeit dann schon fast 5 Monate ausmacht.
Ähnlich wie die Tabellen für n 3 + n 2 bei den kubischen Gleichungen (vgl. Kap. III, BM 85 200 +VAT 6599, Kommentar § 2 a (o. S. 210)).
Vgl. oben § 2 a.
Daß an beiden Stellen 1 eine reine Zahl ist, ist sehr unwahrscheinlich, weil ja dann Zeile 17 unbenutzt bliebe.
Vgl. o. S. 360.
Vgl. Kap. I, § 7 d, 3 a (S. 87).
Also täglicher Zinseszins.
Man beachte, daß der Text keinerlei Nullzeichen verwendet. Der relative Stellenwert folgt erst aus dem letzten Schritt der Rechnung.
Hierher gehört z. B. der Terminus für Kubikwurzel íb-si8 = ba-si. Vgl. auch AfO 9, 201 ff.
Nötig z. B. bei einer andern Art des Zinseszinsverfahrens, als gerade hier.
Herrn Schott verdanke ich die richtige Lesung.
Herr Schott schlägt die Lesung qá〈-ab-lum〉 „Mittelstück“, „Stamm“ vor.
Dagegen verhalten sich die Trapez-Fläch en des Längsschnittes ungefähr wie 7: 1.
Wenn ŠI-DU als šiddu zu fassen ist, was aber keineswegs sicher ist. Möglicherweise handelt es sich aber um igi-gub „Koeffizient“. Vgl. dazu VAT 6598, S. 283 und Anm. 3 a dort.
Die sehr abgekürzte Ausdrucksweise für eine Division durch eine irreguläre Zahl ist dabei beachtenswert.
Der Platz reicht kaum aus, so daß entweder sí oder ri ausgelassen sein dürfte.
Bezüglich dieser Lesung (verursacht durch Vs. I, 8 und Rs. 5) vgl. Thureau-Dangin SA S. 35 s. v. tam. Abgesehen davon würde man natürlich einen Genitiv erwarten.
„Mann der Kanal-Verbauung“ = wohl Bezeichnung für Flußbauarbeiter.
Diese Normierung der Sexagesimalstelle wird durch die letzte Aufgabe nahegelegt; andernfalls würden sich dort ganz sinnlose Zahlen für die Anzahl der Arbeiter ergeben (vgl. unten f, Anm. 6). Wenn diese Normierung richtig ist, so sollte in Vs. I, 2 wohl nicht „20 GAR“ stehen, sondern nur „20“ oder „1/3 GAR“.
Die Übersetzung „Höhe“ ist gesichert durch die beiden Stellen Vs. II, 3 und 13, die explizite „sukud“ sagen. Für dieselbe Größe werden noch zwei andere Termini verwandt, nämlich šubdum(?) (Vs. I, 8; I, 10; I, 21; II, 21; Rs. 5) bzw. ein Terminus, der etwa il-ki(?)-il heißen müßte (Vs. I, 4 und bes. II, 31); ihre Herleitung ist mir unbekannt.
Würde man w nicht = 0;20 GAR gesetzt haben, sondern 20 GAR (vgl. Anm. 4), so zeigt (1), daß man dann K = 20,0, V = 10,0 setzen muß. Also folgt aus (3), daß dann λ = 5,20,0 wird (der Stellenwert von v liegt ja absolut fest). Dies würde die Interpretation von λ als Anzahl von Arbeitern praktisch ausschließen, denn 5,20,0 = 19 200 Mann.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Rights and permissions
Copyright information
© 1935 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Neugebauer, O. (1935). VAT Texte des Berliner Museums. In: Mathematische Keilschrift-Texte. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-32794-4_7
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-32794-4_7
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-31967-3
Online ISBN: 978-3-662-32794-4
eBook Packages: Springer Book Archive