Zusammenfassung
Die Rechentabellen bilden die am längsten bekannte Gruppe „mathematischer“ Texte. An den berühmten „Täfeichen von Senkereh“ (s. u. S. 71 Anm. 2) wurde zuerst (1854/55) der sexagesimale und zugleich positioneile Charakter der Keilschrift-Ziffern verifiziert, und Hilprechts große Publikation1) der „Mathematical, metrological and chronological tablets“ (1906) behandelte an „mathematischen“ Texten nur solche, wie sie in diesem Kapitel zusammengestellt sind. So beschränkte sich die Kenntnis von „mathematischen“ Keilschrifttexten bis 1916 (vgl. Kap. VI, VAT 6598) so gut wie ausschließlich auf derartige Tabellentexte.
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Referenzen
BEUP 20,1.
Es ist in fast allen Textpublikationen größerer Sammlungen ausgiebig vertreten.
Als Sexagesimalzahl gilt z. B. 47 natürlich als ein stellig, im Gegensatz zu der zweistelligen Zahl 1,3 = 63.
Bezüglich des Anordnungsprinzipes vgl. Neugebauer WM S. 29 f.
Dabei ist von der geschichtlichen Entwicklung dieser Schreibweise ebenfalls aus „Individualzahlzeichen“ hier ganz abgesehen. Ebenso davon, daß die Basis 60 viel praktischer ist als 10 wegen ihrer großen Teilerzahl, aber auch davon, daß man die Unbestimmtheit der positionellen Schreibung auch dann nicht durch eine „Null“ behoben hat, wenn dies an sich wünschenswert gewesen wäre. Vgl. zu allen diesen Fragen Neugebauer, VVM Kap. III, § 4.
Vgl. QS B 2, 199 ff., sowie das Referat von Cazalas RA 29, 183 ff. Die RA 29, 11 ff. erschienene Arbeit von Alotte de la Fuye über diesen Text betrifft in Wirklichkeit gar nicht diesen Text speziell. Es werden nämlich dort nur solche Gesetzmäßigkeiten aus den Zahlen des Textes erschlossen, die aus ganz allgemein mathematischen Gründen für das Rechnen mit Sexagesimalbrüchen gelten müssen.
nu al-til.
Herr Schott zieht eine Holztafel (GIŠ〈-DA〉) als Vorlage in Betracht. Thureau-Dangin übersetzt GIŠ in TU 38 Rs. 43 (Rit. acc. 79) durch „calame“; wenn dies das Richtige trifft, so ist der zuletzt genannte Inakibit-Anu ... wohl der Schreiber des Textes.
Scheil, Sippar 135. Durch freundliche Vermittlung von Prof. Unger befinde ich mich im Besitz eines Gipsabgusses, der meiner Bearbeitung als Grundlage diente.
Nur in Zeile 7 seiner Zählung (= Vs. 9) hat er bei igi 9 die 6 von 6,40 wegzulassen vergessen.
Im Text ist die 6 von 6,40 etwas weiter nach links gerückt als die folgenden Zahlen (s. die Autographie).
Durch das (U) wird der Winkelhaken von ü als „phonetisches Komplement“ zu Ú gefaßt.
Poebel GSG § 408.
Meine Zeilenzählung folgt der von Rawlinson und Lenormant. Die von AB 1 erhält man daraus durch Subtraktion von 5. — In den genannten Publikationen wird dieser Text irrtümlich als K 50 + K 56 bezeichnet (vgl. Bezold ZA 2, 456), worauf mich Dr. Gadd freundlichst aufmerksam machte.
Der Keil, den Haupt ASKT zu Anfang dieser Zeile angibt, ist zu streichen, da es sich nur um den Rundstrich handelt, der hier durch die Einrückung der Zeile deutlicher hervortritt (dasselbe geschieht Vs. II, 21).
Bezold, Cat. 1656*.
Vgl. Thureau-Dangin, Syria 12, 231 (1931). (Freundlicher Hinweis von Dr. Gadd.)
Meißner schreibt ZA 7, 31 šal-šá-a-tum. Kollation an Hand einer Photographie zeigt, daß einwandfrei šal-šá-a-ti dasteht. So auch Rawlinson IWA V, 40 Nr. 4 Rs. 52.
So nach einem mir freundlichst mitgeteilten Vorschlag von Thureau-Dangin, der meint: „igi-5-nà-a pourrait signifier „la partie qui (par)fait 5“ comme igi-5-gâl-la semble signifier „la partie qui complète 5″“. Die in meiner Hand befindliche Photographie des Textes schließt aber nicht mit Sicherheit aus, daß der Anfang der Zeile leer war und nur am Ende einfaches igi 5 steht (die Zeichen sind ziemlich beschädigt).
So wenigstens nach Meißner ZA 7; nach der Photographie ist bestenfalls der Anfang von tum zu erkennen — ti (vgl. Rm 2,200) ist aber nicht absolut auszuschließen.
So gegen die Autographie bei Meißner.
Auf diesen Text hat mich Dr. Gadd freundlichst aufmerksam gemacht. Er befindet sich jetzt im Louvre (Inventarnummer noch nicht festgelegt).
Mit einer Ausnahme: HS 205 (§ 3c, 124) kombiniert eine Reziprokentabelle mit Multiplikationstabellen für 30, 25 und 24. Wie die Rekonstruktion zeigt, war aber diese Reziprokentabelle nicht vollständig (vgl. Teil II, Tafeln III), wie es sich ja überhaupt offenbar um einen Schultext handelt. Vermutlich war der Abschluß der Reziprokentabelle bereits bei 30 der Anlaß, die Multiplikationstabellen auch mit 30 beginnen zu lassen. Ein zweiter, ganz irregulärer Text ist die Tabelle Ist. Ni 2937 (§ 3 c, 120). Auf Multiplikationstabellen (Kopfzahl zerstört bzw. 18) folgt eine Reziprokentabelle, auf diese, wie üblich, wieder eine Multiplikationstabelle für 50. Auch dieser Text ist wohl nur ein „Schultext“.
BM 85 194 Vs. I, 17, Vs. II, 13, Rs. I, 15; BM 85 200 Vs. I, 13; Strßbg. 367 Rs. 3; VAT 8522 Vs. I, 2a, Vs. II, 4b, Vs. II, 3d, Rs. 1, Rs. 1e.
Die erste der beiden Möglichkeiten scheint nach Kollation von Dr. Krückmann die wahrscheinlichere zu sein.
Freundliche Mitteilung von Professor Langdon; er datiert den Text etwa auf Darius.
Diese Umfangsangabe beruht auf der in Teil II, Tafeln II gegebenen Rekonstruktion. Der Anfang von Vs. 1 ist dadurch festgestellt, daß auf dem Textbruchstück
So statt 7,0,30; vgl. die Bemerkungen S. 77.
So soll es heißen. Text: 11,14,20(??).
Ob hier zwischen 26 und 29 wirklich ein besonderes Nullzeichen steht, ist leider bei dem schlechten Erhaltungszustand des Textes nicht mit Sicherheit zu entscheiden; mir scheint es möglich.
„Schultexte“ ist natürlich hier in einem weiteren Sinne zu nehmen als bei der ganz scharf umschriebenen Textgruppe, die Deimel WDOG 43 behandelt hat.
Statt 10 der rechten Seite wäre auch immer ig[i] denkbar; die erhaltenen Zahlen links wären dann als rechte Seite einer linken Kolumne aufzufassen. In Zeile 5 könnte die erste Zahl auch als 51 ergänzt werden (vgl. Teil II, Tafeln I).
Quadrate und Kuben kommen nicht in Frage, höchstens allgemeinere Tabellen (vgl. § 5). Innerhalb aller zu höchstens 7-stelligen Zahlen gehörigen Reziproken kommen nur zwei Möglichkeiten für Zeile 2 in Frage, nämlich [11,56,38,10,10,33,36 = 5,1,24,2]9,26,40 und [51,50,24 = 1,]9,26,40, in deren Umgebung sich aber die andern Zeilen nicht unterbringen lassen.
Die Lesung scheint mir besser als 40 14 wie bei Scheil. Insbesondere in Zeile 6 scheint mir 53 viel wahrscheinlicher als Scheils 40 13.
Die Unmöglichkeit von Opperts phantastischen Rekonstruktionen (ZA 17, 60) hat schon Hilprecht BE 20, 1 S. 25 betont.
Vielleicht ist dieser Text astronomisch zu interpretieren?
Vgl. Neugebauer, ESS, S. 22, Anm. 6.
In der älteren Literatur meist mit den Silbenzeichen KAS-BU umschrieben.
Vgl. z. B. die Zusammenstellungen bei Deimel, ŠL, Teil 1 (2. Aufl.) S. 38*. Für die prinzipiellen Fragen, die sich an diese äußerst auffallenden Schreibweisen knüpfen (sie bedeuten ja, äußerlich genommen, eine Mehrdeutigkeit im Gebrauch der Zahlzeichen) vgl. Neugebauer, ESS, Kap. II, § 3 oder Neugebauer, WM, Kap. III, g 4.
Mit liegenden Zahlzeichen geschrieben. Die Relationen der Tabelle beziehen sich auf das „gur-lugal dŠul-gi-ra“, d. h. eine in der III. Dyn. von Ur getroffene Regelung der Maßverhältnisse, die aber bis in die Kassitenzeit Gültigkeit behielt (s. z. B. Deimel ŠL Teil 1 (2. Aufl.) S. 38*).
Im Schriftbild ist zwischen den Volum- und Flächen-Einheiten nicht zu unterscheiden.
Rs. II Ende zerstört. Rs. II und III würden nach der Ergänzung von Teil II, Tafeln III bzw. als Rs. IV und V zu bezeichnen sein.
Deimel transkribiert 5 [5 DI 1/4], aber autographiert 5 [6 DI 1/4].
GAR-DU ist die ältere Schreibweise für das Längenmaß GAR.
Schon Lepsius hat auf die ausgezeichnete Stellung des GAR (bei ihm als „Doppel-Qanu“ bezeichnet) hingewiesen (AAWB 1877, Phil.-hist. Kl. S. 126).
Man beachte, daß es sich bei den letzten 4 Zahlen um keine arithmetische Reihe handelt!
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Neugebauer, O. (1935). Tabellentexte. In: Mathematische Keilschrift-Texte. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-32794-4_2
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