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Über die Geometrie des Kreises in Babylonien

  • O. Neugebauer
  • W. Struve
Chapter

Zusammenfassung

Im folgenden sind einige Beobachtungen aneinandergereiht, die, zusammengenommen, geeignet erscheinen können, eine Basis für die bisher so sehr vernachlässigte Erforschung der babylonischen Geometrie, insbesondere der Geometrie des Kreises, abzugeben. Daß man auf diesem Gebiet bereits in altbabylonischer Zeit gewisse Kenntnisse besessen haben muß, die das trivialste Maß überschritten, war bereits seit der Veröffentlichung eines Textes der ersten babylonischen Dynastie durch Gadd zu vermuten2). Dort wird nämlich die Berechnung von Teilgebieten gewisser ornamentaler Figuren verlangt (sie haben etwa das Aussehen eines Fliesenbelages), in denen Kreise und Kreisbogen eine Rolle spielen. Mehr als eine flüchtige Formulierung solcher Aufgaben ist aber in diesem Text nicht enthalten. Sehr im Gegensatz dazu enthalten aber die in den ,,Cuneiform Texts from Babylonian Tabletts, &c., in the British Museum” seit 28 Jahren (in Keilschrift) veröffentlichten Tafeln „CT IX 8 bis 15” eine große Zahl von Aufgaben und Lösungen, die es gestatten, den Einzelheiten der Rechnung von Anfang bis zu Ende nachzugehen. Eine erste Probe einer solchen Interpretation wollen wir im folgenden vorlegen.

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Notes

Literatur

  1. 2).
    J. C. Gadd, Form and Colours, Rev. d’Ass. 19 (1922), S. 149ff.Google Scholar
  2. 3).
    Vgl. S. 70.Google Scholar
  3. 4).
    Or. Lit.-Ztg. 19 (1916), 364, Anm. 1.Google Scholar
  4. 5).
    Vgl. S. 67 u. 68 Anm. 3. Die eingeklammerten Zahlen sind von mir hinzugefügt. Welcher Stellenwert ihnen zuzuschreiben ist, kann aus der Übersetzung des ganzen Abschnittes auf S. 83 entnommen werden.Google Scholar
  5. 6).
    Eine analoge Verkürzung eines anderen Ausdruckes für a • b = ? findet sich bei Frank l. c. S. 67 Tafel 10, Rs. 3: an Stelle von „(a) a-na (b) nim (c) ta-mar“ tritt „(a) a-na (b) (c) ta-mar“.Google Scholar
  6. 7).
    Man beachte die Analogie dieser ganzen Aufgabe mit der von Frank veröffentlichten Tafel 10! Vgl. oben S. 70.Google Scholar
  7. 8).
    Im Text ist die Multiplikation mit der Länge 1,00 = 60 der Mauer unterdrückt die nötig ist, um aus dem Querschnitt das Volumen (,,Erdmassen“) zu erhalten. Dasselbe Übergehen der Multiplikation mit ,,1“ findet sich auch sonst in CT IX. Hier zeigt sich deutlich der Einfluß des Fehlens eines Sexagesimalbommas.Google Scholar
  8. 9).
    nigin. Daß es sich hier um diesen, aus den sumerischen Wirtschaftstexten wohlbekannten Terminus für „Summe“, „Gesamtheit“ handelt, verdanke ich einem Hinweis von Prof. Götze. In den mathematischen Texten von CT IX steht nigin immer am Ende von Abschnitten der Rechnung, abwechselnd mit gar-ra „fertig“ (vgl. hierzu OLZ 19, 364 Anm. 6).Google Scholar
  9. 10).
    Ungnads Übersetzung „sende davon“ ließe sich damit auch in Beziehung setzen. — Was der Wechsel zwischen ur-dam und tu-ur-dam zu bedeuten hat, ist nicht klar. — Vgl. auch Anm. 31.Google Scholar
  10. 11).
    Vgl. 1. ? S. 67.Google Scholar
  11. 12).
    Vgl. Frank S. 21.Google Scholar
  12. 13).
    Vgl. S. 69.Google Scholar
  13. 14).
    Das Problem gehört vermutlich zu den in der vorangehenden Arbeit behandelten Aufgaben quadratischen Charakters. Eine endgültige Klärung ihres Sinnes würde die definitive Bestimmung der mathematischen Bedeutung des von Frank mit „Schenkel (Basis)“ übersetzten Wortes erfordern. Im übrigen scheint mir das Wort UR-DAM auch in der stark fragmentierten Aufgabe Frank 8, Rs. 26 bis 28 vorzukommen: 28. 4 UR-D[AM. ..]. Diese ,.Senkrechte 4“ wird wohl auch in der Zeichnung einzusetzen sein, an Stelle des von Frank gegebenen„4,13 “.Google Scholar
  14. 15).
    Mathematisch treffender wäre vielleicht das Wort „Bogenlänge“ im allgemeinen Sinne. So gebraucht z. B. CT IX 13, Iff.Google Scholar
  15. 16).
    1-š? als Abkürzung von šuššu, wie Zimmern Sitzungsber. Sachs. Ges. Wiss. 53 (1901) S. 51 Anm. 1 ausgeführt hat. Vgl. auch CT IX 8, 37 und 9, 19 sowie 2-su für 120 in 9, 13. (N)Google Scholar
  16. 17).
    RI; vgl. oben S. 81.Google Scholar
  17. 18).
    igt 3 gál 1-šu kippatum usuh.Google Scholar
  18. 19).
    Unverständlich; 5 ist die Breite des Kreisringes zwischen erstem und zweitem Kreis.Google Scholar
  19. 20).
    nigin. Bezieht sich noch auf das Vorangehende. Vgl. Anm. 9.Google Scholar
  20. 22).
  21. 23).
    Vgl. S. 82. Daß die von Ungnad konsequent als ganze Zahlen umschriebenen Keilschriftzeichen z. T. als Brüche zu lesen sind, ist eine Beobachtung von A. P. Riftin.Google Scholar
  22. 24).
    D. h. soviel wie „Volumen“.Google Scholar
  23. 25).
    RI“. Vgl. oben S. 82.Google Scholar
  24. 26).
    De facto wird im folgenden nicht diese Aufgabe gelöst, sondern die einfachere, das Volumen des einheitlichen Gesamtkörpers zu bestimmen. Erst die nächste Aufgabe beschäftigt sich mit der Zerlegung des Kegelstumpfes in zwei Teile (CT IX 10, 31–37). Vgl. §4.Google Scholar
  25. 27).
    Verkürzt aus: „Du verfährst dabei so:“. Vgl. oben S. 68. 21) Siehe Anm. 21 S. 86.Google Scholar
  26. 28).
    Vgl. B. Touraeff, The Volume of the truncated Pyramid in Egyptian Mathematics, Ancient Egypt 1917, S. 100ff.Google Scholar
  27. 29).
    Vgl. Borchardt in Bassermann-Jordan, Geschichte der Zeitmessung und Uhren, Altägyptische Zeitmessung S. 11.Google Scholar
  28. 30).
    pa-e-li wohl ša(?) e-li.. Inhaltlich muß die Schnitthöhe h’ (vgl. Fig. 3) gemeint sein.Google Scholar
  29. 31).
    te-lu-ú. Vgl. auch Zimmern in Orient. Lit.-Ztg. 19 (1916), 323, Anm. 1. Prof. Götze weist mich auf die Möglichkeit hin, daß hier ein bewußter Gegensatz gegen den Terminus ur-dam (vgl. S. 82) zum Ausdruck kommen sollte, ur-dam wäre das (senkrecht) ,,h er abfallende“ Lot, während têlû (mêlû, sukud) die aufwärts gerichtete Höhe bedeutete. In der Tat ließe sich dies mit der Bezeichnung h = ur-dam in Fig. 1 und h’ = têlû in Fig. 3 in Einklang bringen. — Als weiterer Terminus für „Höhe“ (oder „Tiefe“) sei noch zi-g&#x00E1us CT IX 12, 9 und 14 II 5, 9, 16, 18, 22 erwähnt.Google Scholar
  30. 32).
    UR-DAM. Vgl. S. 82.Google Scholar
  31. 33).
    RI. Vgl. S. 82.Google Scholar
  32. 34).
    Vgl. Anm. 27.Google Scholar
  33. 35).
    Irrtümlich wiederholt.Google Scholar
  34. 36).
    RI. Vgl. S. 82 sowie S. 85.Google Scholar
  35. 37).
    { } Schreibfehler des Textes.Google Scholar
  36. 38).
    Eine solche Verkürzung der einleitenden Redewendung ist auch sonst zu belegen: vgl. CT IX 11, 21; 12, 42 und 13,1.Google Scholar
  37. 39).
    Vgl. oben S. 84.Google Scholar
  38. 40).
    Verkürzung aus „So ist das Verfahren“. Vgl. oben Z. 38.Google Scholar
  39. 41).
    Über die „1“ am Umfange vgl. oben S. 85.Google Scholar
  40. 42).
    Die Figuren sind also genau so angelegt, wie die Figuren in den Tafeln 8 und 10 bei Frank (vgl. die vorangehende Arbeit).Google Scholar
  41. 43).
    Die speziellen Zahlen 20, 16 und 12 bewirken, daß die Wurzeln rational ausfallen. Daß es aber „Pythagoreische“ Zahlen sind, ändert nichts an der Allgemeinheit der obigen Schlußfolgerungen, da sich die angegebenen Formeln ganz zwangläufig aus der Verfolgung der einzelnen Schritte der Rechnung ergeben. „So ist das Verfahren“ drückt ja aus, daß die speziellen Zahlen nichts Wesentliches an der Sache zu tun haben.Google Scholar
  42. 44).
    Vgl. auch Neugebauer, Zur Geschichte des Pythagoreischen Lehrsatzes, Göttinger Nachrichten, Math.-nat. Kl. 1928, S. 45 ff.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1926

Authors and Affiliations

  • O. Neugebauer
    • 1
  • W. Struve
    • 2
  1. 1.GöttingenDeutschland
  2. 2.LeningradRussland

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