Das Verhältnis von Mathematik und Ideenlehre bei Plato

  • Otto Toeplitz

Zusammenfassung

Die Größe der Rolle, die Plato für die Mathematik gespielt hat, ist stets empfunden, oft gerühmt worden. Auch die Größe der Rolle, die die Mathematik für Plato und seine Ideenlehre gespielt hat, ist nie geleugnet worden. Man hat diejenigen Stellen seiner Werke, in denen die aus dem Euklid geläufigen Fachausdrücke vorkommen, sorgsam zusammengetragen2). Und doch ist das schwerste Stück der Arbeit bisher nicht getan worden. Die Historiker der Mathematik auf der einen Seite haben einen guten Teil ihrer Kraft darauf verbraucht, in die „Zahlenmystik“ der Hochzeitszahl, in die Hypothesisstelle aus dem Menon mathematische Klarheit zu bringen und sind im übrigen über die unbestimmte Formel von der methodischen Einwirkung Platos auf die Mathematiker seiner Zeit und von der Propaganda Platos für ihren didaktischen, logisch schulenden Wert im Prinzip nicht weit hinausgegangen. Die Philologen auf der anderen Seite scheuten bis vor kurzem in der Mehrzahl vor der Sachinterpretation der mathematischen Stellen zurück und bemerkten an vielen Stellen, die von der allgemeinen Ideenlehre handeln, gar nicht die mathematischen Anklänge und Bezüge, die oft viel tiefere Aufschlüsse enthalten, als die sogenannten „mathematischen Stellen“.

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Literatur

  1. 2).
    B. Rothlauf, Die Mathematik zu Piatons Zeiten und seine Beziehungen zu ihr, nach Piatons eigenen Zeugnissen und den Zeugnissen älterer Schriftsteller, Diss. Jena 1878;Google Scholar
  2. 2a).
    R. Ebeling, Mathematik und Philosophie bei Plato, Jahresber. des Gymn. zu Hann.-Münden, 1909, Progr. Nr. 420.MATHGoogle Scholar
  3. 3).
    Die näheren Nachweisungen findet man am Anfang von § 5 gesammelt.Google Scholar
  4. 4).
    Auch hierfür vgl. § 5.Google Scholar
  5. 5).
    Teubner (Leipzig) 1924, VIII + 146 S.Google Scholar
  6. 6).
    Besprechung des Stenzelschen Buches, Gnomon 1926, pag. 396 – 405, sodann ,Forms and Numbers, a study in Platonic metaphysics”, Mind, quaterly review of psychology and philosophy 35, N. S., No. 140, pag. 419 – 440 und 36, N. S., No. 141, pag. 12–33. Im folgenden werden diese drei Abhandlungen zitiert als (0), (1) und (2).Google Scholar
  7. 8).
    Der Hauptteil von Buch XII der Metaphysik schließt, wie W. Jaeger, Aristoteles, Berlin 1923, pag. 186 (oben) darlegt, mit einer Bemerkung (1086a15_20), es hätte wenig Zweck, mehr zu sagen; denn wer nun nicht überzeugt sei, würde es doch nicht begreifen — eine Bemerkung, die Jaeger auf anwesende Studenten von der Gegenseite bezieht.Google Scholar
  8. 9).
    Wenn man auf ihn beziehen darf, was der Athener in den Gesetzen VII, 819d5 darüber sagt.Google Scholar
  9. 10).
    Ich verschiebe diese Interpretation, die einen genauen Vergleich mit dem schwierigen und meines Wissens noch nirgends bis auf den letzten Grund analysierten Buch X der Euklidischen Elemente voraussetzt, auf eine andere Gelegenheit. Daß die Epinomis vermutlich nicht von Plato selbst herrührt, würde hier nicht so sehr ins Gewicht fallen; die Einwendungen, die Fr. Müller (Stilistische Untersuchung der Epinomis des Philippos von Opus, Diss. Berlin 1927) erhebt, betreffen mehr den Stil und die literarische Form als den materiellen Inhalt, der doch sichtlich echt platonisches Gut ist.Google Scholar
  10. 11).
    So übersetze ich im Gegensatz zu Eva Sachs, die die Stelle etwas anders interpretiert und daraus eine Anspielung auf die höheren Irrationalitäten Theätets, die wir aus Euklid X kennen, herausgelesen hatte. Sie stimmt — nach mündlicher Mitteilung — meiner abweichenden Übersetzung bei und der damit gegebenen Auffassung, daß es die Proportionenlehre von Euklid V ist, die Plato hier in erster Reihe im Auge hat.Google Scholar
  11. 12).
    Die Schwierigkeiten liegen in der Frage, was mit der Meßbarkeit von Strecken und Flächen, also von verschiedenartigen Größen aneinander gemeint sein kann. Wir, die wir durch die Lektüre von Euklid wie durch moderne Übung gewohnt sind, uns vor der Vergleichung solcher ungleichartiger Dinge zu hüten, haben Mühe, uns in eine Denkweise hineinzuversetzen, die darin noch eine Entdeckung sieht. Tut man das, so scheint sich die Sache ganz ungezwungen zu deuten. Das griechische Rechnen stellt jede Multiplikation als rechteckiges Anordnen (Aufmarschieren einer Kompagnie Soldaten in so und so vielen Gliedern) vor und begleitet jede Multiplikation zweier Zahlen m, n durch die Figur eines aus m-n quadratischen Maschen bestehenden Rechtecks; ebenso stellt sie die dreier Zahlen als Körper vor. Dieselbe Kompagnie könnte man auch im Gänsemarsch, alle m-n Mann in einer Reihe, antreten lassen, also eindimensional geordnet. Gäbe es keine Inkommensurabilität, so hätten sich der modernen Gewohnheit, alle Größen der verschiedenen Dimensionen durch ihre Maßzahlen zu ersetzen und mit diesen Maßzahlen abstrakt, ohne Rücksicht auf ihre Deutung, zu hantieren überhaupt gar keine Schwierigkeiten in den Weg gestellt; der moderne Zahlbegriff hätte sich ungehindert entwickeln können. Erst die Möglichkeit der Inkommensurabilität — das vergißt man jetzt gar zu leicht — hat diese Schwierigkeiten aufgetürmt, die sich dann zwischen die griechische und die heutige Mathematik gestellt haben.Google Scholar
  12. 14).
    Euklid V, Def. 9 und 10; vgl. dazu auch das in § 1 über 23 = 8 in griechischer Redeweise Gesagte.Google Scholar
  13. 15).
    W. Jaeger hat mir diese Stelle angegeben.Google Scholar
  14. 16).
    Die Deutung dieser These unten, im übrigen lehnt sich die Übersetzung an die Marquardsche an.Google Scholar
  15. 17).
    Die unbenannte Zahl 3 z. B. ist das µv, das alle in der Wirklichkeit vorkommenden Tripel von 3 Dingen in einen abstrakten Begriff zusammenfaßt.Google Scholar
  16. 18).
    Z. B. zwischen dem Begriff des Dreiecks einerseits und den wahrnehmbaren Dreiecken andererseits, die aus zwar dünnen, aber doch eine Breite aufweisenden Strichen oder Kanten bestehen, nimmt er die Dreiecke der Mathematik an, deren Seiten ideale Geraden sind, deren es aber unendlich viele gibt, von denen eines etwa dem anderen einbeschrieben sein kann u. dgl., während es nur eine Idee des Dreiecks gibt.Google Scholar
  17. 19).
    Stenzels Erörterungen auf pag. 54 seines Buches stehen der hier entwickelten Auffassung sehr nahe; ja, pag. 59 (ganz unten) redet er explizite von „Brüchen”, ohne aber daraus Folgerungen zu ziehen.Google Scholar
  18. 20).
    Eine Deutung als „mit Ausnahme der ersten”, wofern ihr ein klarer Sinn beigelegt werden könnte, würde an sich unserer These durchaus nicht widersprechen.Google Scholar
  19. 23).
    Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates, ed. F. Rudio, Teubner, Leipzig 1907, Urkunden zur Geschichte der Math, im Altertume, 1. Heft.Google Scholar
  20. 24).
    Man vgl. hierzu, worauf Jaeger in seinem „Aristoteles” p. 243 hinweist, auch Aristoteles, Eudemische Ethik I8, 1218a16–19 Google Scholar
  21. 25).
    Die Polemik von XII geht sehr systematisch vor. Er schildert erst die Beschaffenheit der Mathematik seiner Zeit, dann die der Ideenlehre bei ihren verschiedenen Vertretern, um dann zu der Vereinigung von beidem, der Ideenzahlen-lehre überzugehen. Im Zentrum der Beschreibung der Mathematik steht unzweideutig die allgemeine Proportionenlehre (1077a9); von der Exhaustion habe ich bisher hier nichts gefunden. Es ist also von der Gesamtanalyse dieser Partien noch wichtiges zu erhoffen.Google Scholar
  22. Umsomehr ist es zu begrüßen, daß von seiten der Beweislehre des Aristoteles (Analytica) ein Schüler von Jaeger, Fr. Solmsen es in seiner Berliner Dissertation unternommen hat, auch den mathematischen Gehalt dieser Beweislehre einheitlich zu erfassen, und daß er diese mathematische Partie seiner noch ungedruckten Arbeit für den Abdruck in dieser Zeitschrift eigens bearbeitet und neu dargestellt hat. Dieser Abdruck würde sich bereits als gerechtfertigt erweisen, wenn die sehr prägnante Auffassung des Verfassers vom Werden der griechischen Mathematik, die dem Gefühl des Mathematikers noch eine Fülle von Fragen aufgibt, zu einer lebendigen und förderlichen Aussprache über diese Materie den Anlaß gäbe.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1926

Authors and Affiliations

  • Otto Toeplitz
    • 1
  1. 1.BonnDeutschland

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