Zusammenfassung
Wir wollen nunmehr das Riemannsche Abbildungsprinzip beweisen und die damit zusammenhängenden Fragen erörtern. Dabei wird sich zeigen, daß man von selbst zu sehr viel weiter reichenden Formulierungen und Ergebnissen geführt wird, als der in § 8 des vorigen Kapitels aufgestellte Satz besagt. Wir wollen zunächst zeigen, daß wirklich die Abbildungseigenschaften der analytischen Funktionen zu deren Charakterisierung hinreichen; sodann werden wir das Abbildungsprinzip gleich für einen n- fach zusammenhängenden Bereich formulieren und beweisen, wobei sich die Gültigkeit des Satzes für Bereiche sehr allgemeiner Natur ergeben wird. Es ist dabei wesentlich, daß der Bereich stets als aus nur inneren Punkten bestehend aufgefaßt wird, daß also die Berandung nicht zum Bereiche selbst gerechnet wird. Wir nennen ein solches Gebiet ein offenes Gebiet. Das Verhalten der Abbildungsfunktionen auf dem Rande werden wir besonders studieren. Ferner sollen noch diejenigen weitergehenden Existenztheoreme bewiesen werden, welche für den systematischen Aufbau einer tieferen Theorie insbesondere der algebraischen Funktionen nötig sind. Alle Existenzbeweise werden wir so führen, daß dabei gleichzeitig, wenigstens im Prinzip, ein Weg zur wirklichen Konstruktion der in Frage stehenden Funktionen gewiesen wird.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Vgl. Anm. 1) auf S. 43.
Wir denken uns z. B. die Oberfläche elektrisch leitend, und setzen in O einen elektrischen Dipol auf.
Falls, wie wir annehmen dürfen, der Punkt z = ∞ nicht auf der Begrenzung von G liegt.
Bei mechanischer bzw. thermischer Deutung würde die kinetische Energie bzw. die pro Zeiteinheit transportierte Wärmemenge zu betrachten sein.
Die von IVeyl herrührende Einführung der obigen Funktion S bringt bei der Durchführung des Beweises gegenüber früheren Ansätzen Vereinfachungen mit sich. Vgl. Weyl, Die Idee der Riemann sehen Fläche (Leipzig 1913).
Das Bestehen der Relation (3) ist, wie sich in den folgenden Seiten zeigen wird, entscheidend für die Einfachheit der Beweisführung.
Man erhält z. B. für das schlichte Gebiet G solche,,ineinandergeschachtelten11 Gebiete Gn indem man von einer Einteilung der Ebene in Quadrate der Seitenlänge 1 ausgeht und diese Quadrate durch fortwährende Seitenhalbierung in Quadrate der Seitenlänge zerlegt; dann definieren wir von einem gewissen n ab Gn als das Gebiet, welches aus allen Quadraten unserer Einteilung besteht, die ganz in G liegen und die Seitenlänge besitzen.
Wenn, wie dies hier der Fall sein wird, f durchweg nicht negativ ist, dann ist die Unabhängigkeit des Grenzwertes von der speziellenWahl der G}1 selbstverständlich.
Vgl. zum historischen Zusammenhang § 17.
Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß nach unserer Definition auf S. 328 diese Eigenschaft über das Verhalten der Ableitungen auf den in Frage kommenden Rändern nichts besagt, im Gegensatz zu einem sonst gelegentlich vorkommenden Sprachgebrauch.
Gerade dieser Punkt bedarf eines Beweises, da man leicht stetige Randwerte vorschreiben kann, für welche D[u] unendlich wird; z. B.
Die wirkliche, für den bloßen Existenzbeweis unerhebliche Konstruktion solcher Minimalfolgen macht keinerlei prinzipielle Schwierigkeiten. Ist z. B. G ein ganz im Endlichen gelegener Bereich, begrenzt von Kurven C ohne mehrfache Punkte, so denken wir uns denselben mit einem noch von dem Index j abhängigen Dreiecksnetz 7} überdeckt, dessen Maschen mit wachsendem j immer enger werden. Wir betrachten nun nur solche Funktionen (p bzw. die Differenz jedem Dreieck von T} eine lineare Funktion wird. Unter verstehen wir diejenige unter den so entstehenden zu Tj konstruierten Funktionen, für welche D [3>] einen möglichst kleinen Wert erhält. Diese Forderung D[4>] = Min. ist jetzt ein Problem eines Minimums, einer Funktion von einer endlichen Anzahl von Variablen, nämlich des Integrals, aufgefaßt in seiner Abhängigkeit von den Werten von q? in den Eckpunkten der Dreieckseinteilung; dieses Problem ist gewiß lösbar, und zwar, wie leicht ersichtlich, mittels linearer Gleichungen. Daß die so entstehenden Funktionen wirklich eine Minimalfolge bilden, folgt sofort aus der unschwer beweisbaren Tatsache, daß man jede zulässige Funktion $ und deren Dirichletsches Integral mit Hilfe unserer Konstruktion bei hinreichend großem j beliebig genau approximieren kann.
Im Anschluß an die Definition der Approximationsgebiete Gn in Anmerkung auf S. 329 können wir eine solche Kreiseinteilung einfach folgendermaßen erhalten: Wir schlagen um jeden zu G gehörigen Eckpunkt der Quadrateinteilung mit der Länge 1 einen Kreis vom Radius 1, falls dieser Kreis in G hineinfällt, sodann schlagen wir um jeden noch nicht als Kreismittelpunkt benutzten Eckpunkt der Quadrateinteilung mit der Seitenlänge x/2 einen Kreis vom Radius x/2, falls dieser Kreis ganz in G fällt usw. Offenbar liefern uns diese Kreise eine Einteilung der gewünschten Art.
Vgl. § 12.
Wir nehmen etwa h nur in einem schmalen an C angrenzenden Streifen von Null verschieden.
Im Quellpunkte O und seiner Umgebung bietet die Kurvenschar u—c ja, wie wir sahen, das Bild der Fig. 93, S. 281 (vgl. auch folgende Seite); die Kurvenschar bestreicht also diese Umgebung genau einmal, wenn c von — oo. bis -foo variiert.
Will man, um sich diese Tatsache einsichtig zu machen, die anschauliche Bezugnahme auf die Begrenzungsmannigfaltigkeit 2 vermeiden, so verfährt man zweckmäßig folgendermaßen. Man faßt in der auf S. 329 geschilderten Art G als Limes von ineinander geschachtelten Bereichen G±JG2,G3,...,Gj... auf, deren jeder von einer stückweise glatten Kurve Cj begrenzt ist. Das Bild des Gebietes Gj über der Ebene wird dann ebenfalls von einer stückweise glatten Kurve begrenzt sein. Wenn auf 2 zwei Punkte. mit v—vx und v—v2 liegen, so müssen bei hinreichend großem j die beiden von den Punkten At und A2 aus gezogenen Geraden v=v11v=v2 sicherlich auch jede Kurve C-f treffen und werden mit dieser zusammen ein Gebiet (5/ definieren, das an A±A2 anschließt; unter haben wir dann den Limes der ineinander geschachtelten Gebiete zu verstehen.
Die Definition des Gebietes (5’ kann hier genau ebenso wie in Anm. S. 347 ohne anschauliche Bezugnahme auf die Begrenzungsmannigfaltigkeiten 2V…, 2n gegeben werden.
In der Tat folgt dies sofort aus der Existenz einer ins Innere weisenden Normalen, die zur Definition von E benutzt werden kann.
Die Klärung- der im § 7 behandelten Fragen verdankt man Osgood und vor allem Carathiodory, welcher insbesondere die Eedeutung der Primenden erkannte (Math. Annalen, Bd. 73). Die hier gegebene Darstellung schließt sich an Arbeiten des Verfassers an.
Daß es keine andere Lösung geben kann, besagt der Satz des nächsten Paragraphen.
Vgl. Kap. 3, § 3, S. 287.
Wir können übrigens alle stetigen Verzerrungen, welche wir vorzunehmen haben, so treffen, daß R eine stückweise stetig gekrümmte Fläche wird und stückweise glatte Kurven auf G in ebensolche auf R übergehen.
Es sei vor allem auf das auf S. 328 zitierte Werk von Weyl verwiesen.
Vgl. Abschn. I, Kap. 5 § 8.
Wenn z2yz’f… alle in einer Kreisscheibe K liegen, ist diese Relation selbstverständlich, andernfalls dient sie als Definitionsgleichung. Wir werden sogleich sehen, daß diese Definition nicht eindeutig ist.
Jede lineare Kombination dieser Funktionen mit konstanten reellen Koeffizienten muß nämlich(wenn diese Koeffizienten nicht alle Null sind, mindestens einen nicht verschwindenden Periodizitätsmodul besitzen, kann also nicht identisch Null oder konstant sein.
Nämlich deswegen, weil eine überall auf G eindeutige reguläre Potentialfunktion eine Konstante sein muß.
Unter neueren Werken sei das schon zitierte Buch von Weyl genannt, sowie Hensel-Landsberg, Theorie der algebraischen Funktionen, Leipzig 1902.
Allgemein wird man eine über einer gegebenen Fläche G ausgebreitete Fläche G* dann Überlagerungsfläche zu G nennen, wenn jeder auf G* geschlossene Weg auch auf G geschlossen ist. Jede solche Überlagerungsfläche kann, wenn sie schlichtartig ist, zur Uniformisierung im Sinne der folgenden Ausführungen benutzt werden. Die hier zugrunde gelegte gibt den übersichtlichsten Fall. — Man kann unsere Überlagerungsfläche, wie auch jede andere, ohne den oben geschilderten Anheftungsprozeß definieren, indem man von der Bemerkung ausgeht, daß ein über der ^-Ebene ausgebreiteter Bereich B für unsere funktionentheoretischen Zwecke vollständig definiert ist, wenn von jedem in der ^-Ebene geschlossenen Wege feststeht, ob der entsprechende Weg auch in B geschlossen sein soll oder ob seinen Endpunkten verschiedene Punkte in B (in verschiedenen Blättern) zuzuweisen sind. Ebenso kann man zu einer Riemannschen Fläche G eine Überlagerungsfläche U definieren, indem man von jedem auf G geschlossenen Wege festsetzt, ob er auch auf der Fläche U geschlossen sein soll oder nicht. Dann kann man unsere Überlagerungsfläche G einfach definieren, indem man verlangt: Jeder auf G geschlossenen, stetig um einen Punkt zusammenziehbaren Kurve soll auch auf G eine geschlossene Kurve entsprechen; jeder anderen eine auf G nicht geschlossene Kurve. Der Leser wird die Äquivalenz beider Definitionen selbst nachprüfen können. Die zuletzt gegebene hat den Vorteil, von einer Zerschneidung des Gebietes G keinen Gebrauch zu machen; sieläßtsichdarumauchfürganzbeliebigeBereicheanwenden.
Dies folgt z.B. sofort aus Hilfssatz la in § 4, wenn wir diesen Hilfssatz auf ein Gebiet anwenden, welches ganz in T liegt und den Ausgangsfundamentalbereich F in sich enthält, etwa durch Hinzufügung der sämtlichen anstoßenden Fundamentalbereiche aus ihm entsteht; auch dieses Gebiet wird durch die betreffende Transformation noch auf eines mit beliebig kleinem Flächeninhalt abgebildet, und nun folgt aus dem Hilfssatz la, daß dann im ursprüngliche^ Fundamentalbereich die Abbildungsfunktion entsprechend der Kleinheit der Bildfläche annähernd konstant wird.
Diese Freiheit in der Bezeichnung rechtfertigt sich sofort, wenn wir statt einer ^r-Ebene eine Kugel zugrunde legen; der Existenzbereich der automorphen Funktionen ist dann das Äußere eines gewissen Kreises auf der Kugel, welcher sich im Grenzfalle auf einen Punkt zusammenziehen kann.
K0 ist ein beliebiger Kreis um O, der g-anz in G liegt (vgl. § 5).
Natürlich ist diese Bedingung im Grunde genommen unwesentlich.
Vgl. Kap. 2, § 2.
Man erkennt diese Möglichkeit sofort aus Kap. 8 §, 1, indem man berücksichtigt, daß man in einer linearen Transformation 6 wesentliche reelle Konstanten zur Verfügung hat.
Vgl. zu diesen Sätzen Koebe, Acta mathem., Bd. 41, S. 305ff.; Math. Zeitschr., Bd. 7, wo noch andere, allgemeinere Typen von Normalbereichen behandelt sind.’
Vgl. Courant, Math. Zeitschr., Bd. 3; Koebe, Gött. Nachrichten, Jahrgang 1918.
Vgl. z. B. Weyl loc. cit., S. 165.
G darf also keine „einseitige“ Fläche sein.
Vgl. z. B. Robert König, Math. Annalen, Bd. 71, S. 184.
Vor allen Dingen in seiner Inaugural-Dissertation und seinen „Abelschen Funktionen“.
Genauere Literaturnachweise findet der Leser in den später zitierten Koebe sehen Arbeiten.
Es kommen hier vor allen Dingen in Betracht Arbeiten über die Uniformisierung der algebraischen Funktionen, Math. Ann., Bd. 67 (1909); Bd. 69 (1910); Bd. 72 (1912); Bd. 75 (1914); Arbeiten über die Uniformisierung beliebiger analytischer Funktionen, Crelles Journ., Bd. 138 und 139; 5 Arbeiten zur Theorie der konformen Abbildung, Crelles Journ., Bd. 145; Acta math., Bd. 40; Crelles Journ., Bd. 147; Acta math., Bd. 41; Math. Zeitschr., Bd. 7. In diesen Arbeiten ist vielfach andere Literatur zitiert.
Für die vorliegende Darstellung möge der Leser die folgenden Arbeiten des Verfassers vergleichen: Über die Anwendungen des Dirichletschen. Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Math. Ann. 71. Über die Existenztheoreme der Potential- und Funktionentheorie Crelles Journal Bd. 144. Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung, Gött. Nachrichten, Jahrgang 1914
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Rights and permissions
Copyright information
© 1922 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Hurwitz, A. (1922). Das Riemannsche Abbildungsprinzip und die Existenztheoreme der Funktionentheorie. In: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-30693-2_19
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-30693-2_19
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-30626-0
Online ISBN: 978-3-662-30693-2
eBook Packages: Springer Book Archive