Zusammenfassung
Das Problem der Erweiterung des Definitionsbereiches stetiger Funktionen ist bereits in mehreren Arbeiten untersucht worden 1). Es handelt sich dabei um folgendes: Im n-dimensionalen Kaum ℜ n sei eine abgeschlossene Punktmenge gegeben und eine reelle Funktion, die auf dieser Menge erklärt und stetig ist. Es läßt sich zeigen, daß man immer eine im ganzen ℜ n definierte und stetige Funktion angeben kann, die auf der gegebenen Menge mit der gegebenen Funktion übereinstimmt.
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Literatur
H. Tietze, Journ. f. Math. 145 (1915), S. 9; C. Carathéodory (nach H. Bohr), Vorl. üb. reelle Funkt. (1918), S. 617
L. E. J. Brouwer, Math. Annalen 79 (1918), S. 209
F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), S. 296; Rado, Sitzber. math. nat. Abt. Bayer. Akad. Wiss. (1931), S. 81-84.
Wie ich von Herrn Prof. Tietze erfahre, von dem ich die Anregung zur vorliegenden Arbeit erhielt, hat er in einem Vortrag im Münchener Mathematischen Kolloquium am 7. 7. 1925 „Über Erweiterung des Definitionsbereiches differenzierbarer Funktionen“ auf dieses Problem der Erweiterung (ein oder mehrmals) differenzierbarer Funktionen von einer oder mehreren Veränderlichen hingewiesen; vgl. Jahresber. D. M. V. 36 (1927), Abt. 2, S. 95.
In bestimmten Fällen, in denen außer der Stetigkeit von f′(x) auf M noch gewisse weitere Voraussetzungen gelten, ist die Erweiterung des Definitionsbereiches von f(x) bereits von H. Whitney, Transact. of the Am. Math. Soc. 36 (1934), S. 63 und 369 nachgewiesen worden. Es wird nämlich dabei eine gewisse Gleichmäßigkeitsbedingung als erfüllt angenommen, die dafür sorgt, daß die Ableitung auch nach der Fortsetzung noch stetig ist. H. Whitney behandelt dann a. a. O. auch entsprechende Probleme für Funktionen von mehreren Veränderlichen [vgl. auch H. Whitney, Transact, of the Am. Math. Soc. 40 (1936), S. 309].
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Seebach, K. (1939). Über die Erweiterung des Definitionsbereiches differenzierbarer Funktionen. In: Über die Erweiterung des Definitionsbereiches differenzierbarer Funktionen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29601-1_1
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