Zusammenfassung
Die erste Frage der n-dimensionalen Krystallographie, nach den möglichen Symmetrieoperationen, ist bereits behandelt worden [Acta crystallogr. 2, 139–143 (1949). Hier möge die Zusammenfassung genügen, daß ein transitives, m-zähliges Symmetrieelement nur möglich ist in einem Raume von n = φ (m) Dimensionen, wo φ (m) nach Euler die Anzahl der teilerfremden Restklassen von m bedeutet. Der Beweis wurde damals geführt, indem die Symmetrieoperationen im n-dimensionalen Raum als n-reihige quadratische Matrizen mit ganzzahligen Komponenten geschrieben und auf (im allgemeinen komplexe) Hauptachsen transformiert wurden.
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Literatur
Die erste Abschätzung beruht darauf, daß kürzeste Vektoren miteinander Winkel von mindestens 60° einschließen müssen, daß also Kegel vom Öffnungswinkel 30° um diese Vektoren sich nicht überschneiden können. Die Ungenauigkeit kommt daher, daß diese Kegel die Kugeloberfläche nicht restlos erfüllen, sondern mit steigender Dimensionszahl einen immer höheren Anteil unbedeckt lassen. Die MIxKowsxische Schranke gibt an, wieviel Gitterpunkte höchstens auf einer überall konvexen Fläche liegen können, die in ihrem Innern außer dem Nullpunkt keinen Gitterpunkt enthält. Wie weit sie herabgesetzt wird, wenn man nur Kugelflächen zum Vergleich heranzieht, ist nicht bekannt. Beide Abschätzungen verlieren ihre Begründung, wenn als Grundvektoren nicht die kürzesten Translationen gewählt werden können, doch ist nicht anzunehmen, daß sie, selbst in diesem Fall, je einen zu kleinen Wert angeben.
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Hermann, C. (1952). Translationsgruppen in n Dimensionen. In: Zur Struktur und Materie der Festkörper. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29427-7_2
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