Zusammenfassung
Im folgenden werden unter I Hilfsmittel zur geometrischen Darstellung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen gezeigt, brauchbar vor allem für die graphische Auflösung komplexer Gleichungen, aber auch für die Herstellung konformer Abbildungen. Einem neuen Verfahren zur Integration komplexer Funktionen ist II gewidmet. Die übliche geometrische Darstellung der komplexen Zahlen durch Vektoren oder durch Punkte in der Zahlenebene wird anhangsweise mit der Vektorrechnung und der Punktrechnung in Verbindung gebracht.
Diese Beiträge stammen aus einer mehrmals gehaltenen Vorlesung über Rechnen mit komplexen Zahlen sowie aus Mitteilungen im physikalischen und mathematischen Kolloquium an der Technischen Hochschule Stuttgart.
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Literatur
C. Ruxue hat in der Einleitung zu seiner Arbeit über „Graphische Auflösung von Gleichungen in der komplexen Zahlenebene“, Göttinger Nachrichten 191 7, S. 213 gesagt, es biete „das graphische Rechnen in der komplexen Zahlenebene gegenüber dem numerischen Verfahren ohne Frage noch größere Vorteile als im Reellen”. Das scheint mir noch mehr zuzutreffen, wenn man, statt wie Ruxui, und seine Vorgänger (HERM. SCHEFFLER, E. Lu.t., vgl. Anm. 3 und 4 S. 243) sich auf Konstruktionen in der Ebene zu beschränken, in den Raum aufsteigend Hilfsmittel der darstellenden Geometrie heranzieht, wobei das logarithmische Verfahren besondere Vorteile hat, ähnlich denen beim logarithmischen Rechnen mit reellen Zahlen.
lias erste Modell davon befand sich 1893 auf der mathematischen Ausstellung in München, s. 1)vcKS Katalog mathematischer u. mathem.-physikal. Modelle…, Nachtrag, München 1593, S. 40. Der nach einem neuen Modell von der Firma E. O. Richter & Co. in Chemnitz i. Sa. hergestellte logarithm. Zirkel ist in den Geschäften zu haben, die Richters Reißzeuge führen.
Ich habe sie anfangs der neunziger Jahre des letzten Jahrhunderts mit 5 Stellen berechnet und 1893 in 13d. 40 der Zeitschr. f. Mathem. u. Physik auf 3 Stellen abgerundet veröffentlicht.
Parallelperspektivische Zeichnungen davon waren 1893 in München ausgestellt, S. DYCia Katalog, Nachtrag, S. 31.
An einem Zahlenbeispiel habe ich in der erwähnten Abhandlung Zeitschr.Math. Phys. Bd. 40, S. 21 und 22, 1895 gezeigt, wie außerordentlich groß die Ersparnis an Arbeit ist, wenn man diese Tafel statt einer gewöhnlichen Logarithmentafel zu dem angegebenen Zweck benützt.
1) S. meinen Leitfaden zum graphischen Rechnen, 2. Aufl. Wien 1924, S. 68ff.
Hiermit lassen sich auch die „graphischen Tafeln zur mechanischen Bestimmung sämtlicher Wurzeln von trinomischen Gleichungen mit (reellen oder) komplexen Koeffizienten“, DYCKS Katalog, Nachtrag, München 1593 S. 16 Nr. 40f, erklären.
In der Encyklopädie der mathem. Wiss. Bd. I, Teil 2, S. 1022 (der betreffende Abschnitt ist 1901/02 erschienen) habe ich dieses Verfahren schon kurz beschrieben, während ich es 1893 in Dvcxs Katalog, Nachtrag S. 31, nur angedeutet hatte.
H. SCHEFFLE R, Arch. Math. Phys. Bd. 15, S. 375, 1850 und besonders „Die Auflösung algebraischer und transzendenter Gleichungen“, S. 100, 103, Braunschweig 1859.
E. LILL, Nouv. Ann. math. (2) Bd. 7, S. 363. 1868.
S. hier Anm. 2 auf S. 236.
S. DOUGLAS KILLAM, Über graphische Integration von Funktionen einer komplexen Variabeln mit speziellen Anwendungen, Göttingen 1912.
S. meinen Leitfaden zum graphischen Rechnen, S. 142.
Ebenda S. 102.
Weil das Wort Vektor in verschiedenen Bedeutungen gebraucht wird, empfiehlt es sich, mit A. LOTZE (Die Grundgleichungen der Mechanik insbesondere starrer Körper neu entwickelt mit GRASSMANNS Punktrechnung, Diss. Tübingen, Leipzig 1922) für gerichtete Strecke „Pfeil“ zu sagen.
Das von GRASSMANN 1844 eingeführte äußere Produkt bedeutet bei zwei Pfeilen in der Ebene die Flächenzahl des durch die Pfeile bestimmten Parallelogramms.
H. GRASSMANN, Crelles J. Bd.S4, S.273, 1877 =Werke II1, S.282. — Das algebraische Produkt zweier Pfeile ist der Inbegriff dieser als vertauschbar angesehenen Pfeile, das „Pfeilpaar“ als neuer geometrischer Begriff. ( Wenn die Vertauschbarkeit fehlt, hat man es mit GRASSMANNS „bestimmungslosem” Produkt zu tun, das von J. W. GIBBS dyadisches Produkt genannt worden ist. )
Das äußere Produkt eines (mit dem Gewicht oder „Zahlwert“ 1 versehenen) Punktes und eines Stabes in der Ebene entspricht dem statischen Moment der durch den Stab dargestellten Kraft in bezug auf den Punkt, ist also gleich der Flächenzahl des durch beide bestimmten Parallelogramms.
Das algebraische Produkt zweier Punkte ist ein Punktepaar, nämlich der Inbegriff dieser, als vertauschbar angesehenen Punkte, wieder als neuer Begriff des geometrischen Kalküls. Besteht keine Vertauschbarkeit, so hat man das dyadische Produkt beider Punkte, eine „Punktdyade“. (Vgl. hierzu meine Vorlesungen über Punktrechnung, Bd. 1, S. 265 bis 268, Leipzig 1913, und meine Abhandlung „Dyaden und Kontrajektivität”. Jahresber. Deutsch. Mathematiker-Vereinigung Bd. 26, S. 1. 1917.) Es lassen sich auch Dyaden aus je einem Punkt und einem Pfeil, „Punktpfeile“, bilden, was die einfachste analytische Darstellung der Astatik und der Lehre vom Virial ergibt.
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Mehmke, R. (1929). Beiträge zum graphischen Rechnen mit komplexen Zahlen. In: Festschrift der Technischen Hochschule Stuttgart. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-28741-5_22
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