Zusammenfassung
Der Hauptzweck der folgenden Zeilen ist, zu zeigen, wie sich die dif f erentialgeometrische Theorie der einparametrigen Mannigfaltigkeiten von Schrauben sehr kurz und einfach als vollkommenes Analogon der kinematischen Differentialgeometrie der Raumkurven entwickeln läßt; dabei ist zunächst nur an Gebilde des dreidimensionalen euklidischen Raumes gedacht. Das Wort „Schraube“ ist hier in dem Sinne von Hyde 1) verstanden, der mit „screw“ das geometrische Substrat eines momentanen Geschwindigkeitszustandes des starr bewegten Raumes2) einerseits oder eines an einem starren Körper angreifenden Kräftesystemes 3) andrerseits bezeichnete; im abstrakten Sinn ist also der Begriff der Schraube, wie er hier verwendet werden soll, gleichbedeutend mit dem Grassmannschen Begriff der Stabsumme4) in der Punktrechnung5) oder mit dem Studyschen Begriff des Motorse6) in der v. MisEsschen Motor rechnung7).
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Literatur
HYDE, The directional theory of screws. Ann. of math. Bd. 4, S. 137ff. 5. Okt. 1888. HYDE erklärt seinen Begriff der Schraube im Anschluß an eine Ausdrucksweise von SIR ROBERT BALL (s. die beiden folgenden Fußnoten). Vgl. H. GRASSMANN D. J., Schraubenrechnung und Nullsystem, S. 4. Habilitationsschrift Halle 1899; H. GRASSMANN D. J. gebraucht das Wort Schraube im HYnrschen Sinne.
Twist upon a screw“ bei SIR ROBERT BALL, A treatise on the theory of screws, S. 7. Cambridge 1900. [Das Wort „screw” allein bedeutet bei BALL dasselbe wie „Gewinde“ („linearer Komplex”, „Nullsystem“); erst die Vereinigung von „screw” mit „twist“ oder „wrench” gibt den Sinn „Schraube”.] Von seiner kinematischen Bedeutung ausgehend führte CLIFFORD für den Begriff der Schraube (im Sinne des Textes) die Bezeichnung „Motor“ ein; Math. pap. (s. Fußn. 1, S. 211) p. 183.
Wrench on a screw“ in der BALIschen Schraubentheorie, 1. c. S. 10. Seine mechanische Bedeutung hervorhebend gab PLÜCKER dem Begriff der Schraube (im Sinne des Textes) die Benennung „Dyname”; Neue Geometrie des Raumes, S. 24. Leipzig 1868.
H. GRASSMANN, Die Ausdehnungslehre, S. 22off. Berlin 1862; vgl. auch schon S. 175ff. und H. GRASSMANN, Die lineare Ausdehnungslehre, S. 172ff. Leipzig 1844. —Auch in der Punktrechnung wird die Bezeichnung „Schraube“ für den Begriff der Stab-summe gebraucht; s. LoTZE, Systeme geometrischer Analyse II. Enz. d. math. Wiss. IIIAB 11, 34e, S. 1514ff.
R. MEHMKE, Vorl. ii. Punkt-und Vektorrechnung I. Leipzig und Berlin 1913. Viele Anwendungen der Schraubenrechnung gibt LoTZE in seiner Schrift: Die Grundgleichungen der Mechanik, insbesondere starrer Körper, neu entwickelt mit GRASSMANNS Punktrechnung. Leipzig und Berlin 1922.
STORY, Geometrie der Dynamen, S. 51f. Leipzig 1903.
Y. MIses, Motorrechnung, ein neues Hilfsmittel der Mechanik. Z. ang. Math. Mech. Bd. 4, S. 155ff. 1924. — S. auch Handbuch der Physik, herausgegeben von H. GREINER und K. Scnr.xl. Bd. IV, S. 247 ff. Berlin 1927.
CLIFFORD, Preliminary sketch of biquaternions. Proc. London Math. Soc. Bd. 4, S. 381–395. 1873. (Oder: Mathematical papers, p. 181–200. London 1582.)
Nämlich die der „parabolischen Zahlen“ nach Herrn MEHMKE. Vgl. auch BE1scn, Systeme geometrischer Analyse II. Enz. cl. math. Wiss. III A B 11, 38, S. 1556ff.
Hauptsächlich in dem in Fußnote 6 auf S. 210 zitierten Werke (s. dort besonders S. 195ff.). Den ersten Hinweis auf sein „Übertragungsprinzip“ macht STUDY in seiner Abhandlung: Eine neue Darstellung der Kräfte der Mechanik durch geometrische Figuren. Ber. cl. K. Sächs. Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse 1899, S. 29 67. — Vgl. auch E. Mi’Lr.1.R, Ein Übertragungsprinzip des Herrn E. S runv. Arch. d. Math. u. Phys. Bd. 5, S. 104ff. 1903.
Eine einfache Darstellung des Rechnens mit dualen Vektoren gibt W. Bc scnsr, Vorl. U. Differentialgeometrie I, S. 190ff. Berlin 1921.
s. Fußnote 3 diese Seite. 6) S. BLASCHKE, 1. c. S. 1931f.
Natürlich könnte man auch in der Art, wie HAMILTON das Rechnen mit den gemeinen komplexen Zahlen zum erstenmal ausreichend begründete, die dualen Größen zunächst als Paare von Zahlen oder Vektoren einführen.
STUDY, L c. S. 199, wo der Begriff noch allgemeiner gefaßt wird als hier; vgl. 13LASeIiKE, 1. c. S. 191.
Als praktische Rechenregel kann man angeben: f (z -z) ist formal in eine TAYLOR- sche Reihe nach rz zu entwickeln; dabei und auch sonst überhaupt beim Rechnen mit dualen Größen ist e so zu behandeln, als ob es eine „unendlich kleine“ Größe wäre, deren Potenzen von der zweiten an zu „vernachlässigen” sind (CLIFFORD, F. KLEIN).
STUDY, 1. c. S. 199ff.
v. MisEs, 1. c. S. 161.
In BALLS Theorie: „pitch“; 1. c. S. 6f.
Vgl. STUDY, 1. c. S. 205. 2) STUDY, 1. C. S. 202; BLASCHKE, 1. C. S. 193.
Vgl. V. MISES, 1. c. S. 165. 4) STUDY, I.C. S. 206.
LOTZE, Die Grundgleichungen der Mechanik, S. 48. Leipzig und Berlin 1922.
V. MISES, 1. C. S. 163f. u. S. 175ff.; v. MISES, Anwendungen der Motorrechnung. Z. ang. Math. Mech. Bd. 4, S. 195, Gleich. (4). 1924.
Vgl. die in den Fußnoten 6 und 7 auf S. 210 angeführte Literatur. Es möge hier besonders darauf aufmerksam gemacht werden, daß sich mit Hilfe der dualen Größen nur die Beziehungen von Schrauben untereinander, nicht aber clie zu anderen geometrischen Gebilden darstellen lassen, die ersteren allerdings auf unübertreffliche Weise; vgl. eine hierauf bezügliche Bemerkung von CARTAN in der Enc. d. scienc. math. I, 1, 3 (Nombres complexes) S. 461. Ähnliches gilt von der Motorrechnung. Im Gegensatz hierzu ist die aus der GRASSMANNschen Ausdehnungslehre hervorgegangene Punktrechnung imstande, auch die Verknüpfungen von Schrauben mit Punkten und Ebenen einfach zum Ausdruck zu bringen; auf die dualen Größen führen die Gedankengänge der Punktrechnung zwangsläufig.
Es ist auch dasselbe wie das „äußere Produkt“ zweier Schrauben in der Terminologie der Punktrechnung, während ihr „inneres Produkt” mit dem ersten Teil ihres skalaren Produktes übereinstimmt.
des „DAaßouxschen Vektors“ bei LAGALLY, Vorl. ü. Vektorrechnung, S. 60 ff. Leipzig 1928.
Fragt man nach solchen Paaren von Schraubenscharen, deren Begleitkörper in starrer gegenseitiger Verbindung beweglich sind, so wird man auf das Analogon der BLR’raANLschen Kurven geführt; es zeigt sich, daß die gemeinsame Geschwindigkeitsschraube der beiden Begleitkörper c1.1= C2S2 ist und daß im allgemeinen die Krümmungsschrauben jeder der beiden Scharen, vom Begleitkörper aus gesehen, je ein lineares Büschel mit der beiden Scharen gemeinsamen Hauptnormalenschraube als Scheitelachse bilden, dein die mit geeigneten dualen Zahlen multiplizierten Tangentenschrauben beider Scharen angehören. Diese Aussage umfaßt alles über BeeTaANnsche Kurvenpaare Bekannte; insbesondere folgt aus ihr, daß die momentanen Schraubenachsen des gemeinsamen Begleitkörpers zweier BERTRANDSCher Kurven — von trivialen Ausnahmefällen abgesehen — vom Begleitkörper aus betrachtet ein Zylindroid mit der Hauptnormale als Achse bilden, dem die Tangenten beider Kurven als Erzeugende angehören (i\IANNnranl, Principes et développements de géométrie cinématique, S. 374. Paris 1894 ). ( Natürlich ist (lies nicht so zu verstehen, als ob bei jederBLRraANuschen Kurve die Tangente wirklich einmal oder mehrmals Schraubenachse würde; dies hängt vielmehr noch von der bekanntlich in weitem Umfang willkürlichen Gestalt der Schraubenachsenfläche im Raum, an der das Zylindroid entlang schrotet, ab. )
In der Kurventheorie — diese geht hier in der Theorie der Torsen auf, die durch die Bedingungen r2 = 1 und i2 = 0 charakterisiert sind verwendet Herr MEHMKE schon seit langer Zeit eine Formel, in die die Schraube e, die momentane Geschwindigkeitsschraube des begleitenden Dreikants bei Wahl der Bogenlänge als Zeitskala, eingeht und die gleichermaßen auf Punkte, Ebenen, Vektoren und Schrauben anwendbar ist, somit nicht allein die FidENEischen Formeln im gewöhnlichen Sinn, sondern auch die oben angegebene Ableitformel, soweit sie auf Torsen angewandt gedacht wird, als Spezialfälle umfaßt und trotz dieser großen Allgemeinheit nicht weniger schmiegsam ist.
Die Darstellung einer Geraden durch einen dualen Vektor, (lessen skalares Quadrat einen verschwindenden zweiten Teil hat, ist gleichbedeutend mit ihrer Darstellung durch PLüciEltsche Linienkoordinaten; vgl. hierüber STUDY, 1. C. S. 199ff.
Siehe BLASCHKE, 1. C. S. 193ff.
Die Größe Q bei BLASCHKE, 1. c. S. 195; s ist dort mit P bezeichnet. (Auf S. 197 a. a. O. wird die Bezeichnung „duale Länge“ für s benützt.)
Wir bezeichnen von jetzt an (lie Ableitung nach s durch einen Strich.
Auf dieselbe Weise kann man alle sphärischen Kurven e (e2 = 1) mit gegebenem Tangentenbild t in der Form
S. auch BLASCHKE, 1. C. S. 90f.
Siehe Fußnote S. 220
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Löbell, F. (1929). Aus der Differentialgeometrie der Schraubenscharen. In: Festschrift der Technischen Hochschule Stuttgart. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-28741-5_19
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