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Die lösbaren Probleme der Punktdynamik

  • E. T. Whittaker
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 17)

Zusammenfassung

Als Beispiel für die in den voraufgehenden Kapiteln behandelten Methoden diskutieren wir die Fälle der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes, die eine Lösung durch Quadraturen gestatten.

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Literatur

  1. 1).
    Bei einem wirklichen Pendel wird die Kurve durch eine starre Stange ersetzt, die den Punkt mit dem Kreiszentrum verbindet und dem gleichen Zweck dient, den Punkt auf einer Kreisbahn zu halten. — Der Isochronismus kleiner Pendelschwingungen wurde von Galilei 1632 entdeckt; die Formeln für die Periode gab Huygens 1673. Schwingungen endlicher Amplitude untersuchte zuerst Euler (1736).Google Scholar
  2. 1).
    Vgl.’ Whittaker and Watson: Modern Analysis § 22, 11.Google Scholar
  3. 2).
    Comptes Rendus Bd. 87. 1878.Google Scholar
  4. 1).
    Newton: Principia Buch I, Abschnitt 11.Google Scholar
  5. 1).
    Im wesentlichen findet sie sich in Newton: Principia Buch I, §§2 und 3 und in Clairaut: Théorie de la Lune 1765. In der obigen Form ist sie in Whewell: Dynamics 1823, enthalten.Google Scholar
  6. 1).
    Proc. Roy. Irish Acad. 1846.Google Scholar
  7. 1).
    Diese Fälle sind zuerst untersucht von Legendre: Théories des Fonctions Elliptiques 1825; dann von J. F. Stader: Journ. f. Math. Bd. 46, S. 262. 1853.zbMATHGoogle Scholar
  8. 2).
    Whittaker and Watson; Modern Analysis § 22, 7.Google Scholar
  9. 1).
    Newton fand, daß, wenn eine nach einem festen Punkt gerichtete Kraft einen Körper auf einer Ellipse um diesen Punkt als Mittelpunkt führt, die Kraft dem Abstand proportional ist. Principia Buch I, § 2, Prop. X.Google Scholar
  10. 2).
    Newton: Principia Buch I, §2, Prop. IX; R. Cotes: Harmonia Mensu-rarum S. 31, 98.Google Scholar
  11. 1).
    Die Bahnkurven wurden diskutiert und klassifiziert von W. D. MacMillan: Amer. Journ. Math. Bd. 30, S. 282, 1908.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  12. 1).
    Vgl. Whittaker and Watson: Modern Analysis §20, 4.Google Scholar
  13. 1).
    Newton: Principia Buch I, § 3, Prop. XI, XII, XIII.Google Scholar
  14. 1).
    Diese Reihenentwicklung wird gewöhnlich nach Bessel benannt, obwohl sie schon von Lagrange stammt : Oeuvres Bd. III, S. 130.Google Scholar
  15. 2).
    Fouriersche Reihenentwicklung, vgl. Whittaker and Watson: Modern Analysis Chapt. 9.Google Scholar
  16. 3).
    Ebenda Chapt. 17.Google Scholar
  17. 1).
    Lamberts ursprünglicher Beweis war geometrisch und synthetisch; der Satz wurde verallgemeinert und analytisch bewiesen von Lagrange: Oeuvres de Lagrange Bd. IV, S. 559. 1778.Google Scholar
  18. 1).
    Man beachte, daß in dem Lambertschen Satz durch das Auftreten der Wurzeln ein Vorzeichen unbestimmt bleibt. Der Leser wird ohne Schwierigkeit entscheiden können, welches Vorzeichen einer gegebenen Anfangs- und Endlage entspricht.Google Scholar
  19. 2).
    Dies Resultat gab Euler in seiner Determinatio Orbitae Cometae Anni 1742 (1743), ehe Lambert den allgemeinen Satz veröffentlichte.Google Scholar
  20. 1).
    Journ. de math. Bd. 9, S. 113. 1844; und Note IV von Bd. II der letzten Auflage von Lagranges Méc. Anal.; Oeuvres de Lagrange Bd. XII, S. 353.Google Scholar
  21. 1).
    Giornale di Mat. Bd. 18, S. 271. 1880.Google Scholar
  22. 2).
    Euler: Mém. de Berlin 1760, S. 228; Novi Comm. Petrop. Bd. 10, S. 207–1764; Bd. 11, S. 152. 1765; Lagrange: Mém. de Turin Bd. 4, S. 118, 215–1766–69, oder Oeuvres Bd. II, S. 67.Google Scholar
  23. 1).
    Einige Verallgemeinerungen des Problems der zwei Gravitationszentren finden sich in einer Abhandlung von Hütebeitel: Amer. Journ. Math. Bd. 33, S. 337. 1911.CrossRefGoogle Scholar
  24. 2).
    Die früheste Untersuchung einer Bewegung auf einer Fläche ist Galileis Untersuchung der Bewegung eines schweren Massenpunktes auf einer schiefen Ebene. Die Bewegung eines schweren Massenpunktes auf einem wagerechten Kreis einer Kugel wurde von Huygens untersucht: Horologium oscillatorium 1673.Google Scholar
  25. 1).
    Dieser Satz ist von Euler: Mechanica Bd. II, Kap. 4. 1736.Google Scholar
  26. 1).
    Vgl. Whittaker and Watson: Modern Analysis §20, 33.Google Scholar
  27. 1).
    Die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Rotationsfläche wurde untersucht von Newton: Principia Buch I, Abschnitt 10.Google Scholar
  28. 1).
    Lagrange; Mécanique Analytique. Die vollständige Lösung mit Jacobischen elliptischen Funktionen gab A. Tissot: Journ. de math. (1) Bd. 17, S, 88. 1852; Jacobis eigene Lösung des Problems eines rotierenden starren Körpers mit Hilfe elliptischer Funktionen war schon vorher (1839) veröffentlicht. Das Problem des sphärischen Pendels kommt im wesentlichen auf die Behandlung der Lamé-schen Differentialgleichung zweiter Ordnung hinaus.Google Scholar
  29. 1).
    Vgl. Whittaker and Watson: Modem Analysis §20, 53, Ex.2.Google Scholar
  30. 1).
    Darboux hat die Möglichkeit weiterer Fälle untersucht: Bull, de la Soc. de France Bd. 5. 1877.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • E. T. Whittaker
    • 1
  1. 1.Universität EdinburghUK

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