Integration durch trigonometrische Reihen

Zusammenfassung

In § 32 haben wir schon hervorgehoben, daß die Differentialgleichungen der Bewegung eines dynamischen Systems sich durch Reihen integrieren lassen, die nach steigenden Potenzen der von einem bestimmten Augenblick an gerechneten Zeit fortschreiten. Im allgemeinen konvergieren diese Reihen für Werte von t innerhalb eines endlichen Konvergenzkreises der t-Ebene, geben infolgedessen die Werte der Koordinaten nur für ein begrenztes Zeitintervall. Mittels analytischer Fortsetzung¹) könnte man aus diesen Reihen aufeinanderfolgende Systeme neuer Potenzreihen ableiten, die für Werte der Zeit außerhalb dieses Intervalls konvergieren. Für die Praxis ist das Verfahren der analytischen Fortsetzung jedoch zu umständlich, und die dabei erhaltenen Reihen gewähren keine Einsicht in den allgemeinen Charakter der Bewegung des Systems und keinen Aufschluß über den ferneren Verlauf. Die Bemühungen der Forscher haben sich deshalb dem Problem zugewandt, die Koordinaten eines dynamischen Systems durch Reihenentwicklungen darzustellen, die für alle Werte der Zeit konvergieren. Eine Methode²) erreicht dieses Ziel vermöge einer Transformation der t-Ebene.