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Die Ermittlung der inneren Spannungen

  • M. Foerster

Zusammenfassung

Durch Versuche, namentlich von Schüle, Probst und Müller1) u. a. ist zwar der Beweis erbracht, daß — wie bei dem nicht homogenen Baustoffe „Eisenbeton“ zu erwarten steht — die vorher ebenen Querschnitte der Verbundbalken bei Biegung nicht mehr eben bleiben, aber auch zugleich gezeigt, daß innerhalb der bei Eisenbetonbauten vorkommenden Spannungsgrenzen die Abweichung keine sehr erhebliche ist, so daß für praktische Fälle damit gerechnet werden kann, daß die Querschnitte auch bei der Biegung eben verbleiben.

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Literatur

  1. 1).
    Vgl. Schule, Mitteilungen aus der Material-Prüfungsanstalt Zürich 1906, Heft 10 und 1907, Heft 12. E. Probst, Mitteilungen aus dem Material-Prüfungsamt Groß-Lichterfelde W. Ergänzungsheft I, 1907 (Dr.-Diss.). Probst, Vorlesungen über Eisenbeton Bd. I, S. 253ff. (Versuche in Dresden ausgeführt.) R. Müller, Neue Versuche mit Eisenbetonhaiken über die Lage und das Wandern der Nullinie und die Verbiegung. Herausgeg. von R. Wolle, Leipzig. (Verlag Ernst & Sohn, Berlin.)Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. die auf S. 141 in Anm. 1 angeführte Arbeit von Dr. R. Müller.Google Scholar
  3. 2).
    Vgl. Heft 38, Versuche mit Eisenbetonbalken zur Ermittelung der Beziehungen zwischen Formänderungswinkel und Biegungsmoment, I. Teil. Stuttgarter Versuche 1912–1914. Von C. Bach und O. Graf. Berlin 1917. Vgl auch Arm. Beton 1918, Heft 7.Google Scholar
  4. 1).
    Vgl. Abschnitt 1 S. 4, und Zentralbl. d. Bauverw. 1886, sowie die Monier-Broschüre: Das System Monier, Eisengerippe mit Zementumhüllung; herausgeg. von G. A. Wayß, Berlin 1887.Google Scholar
  5. 1).
    Hierbei sind allerdings die Trägheitsmomente der Eiseneinlagen auf ihre eigene Schwerachse nicht berücksichtigt, da sie vernachlässigbar klein sind in bezug auf den Wert: nF′ e y′ 2 bzw. nF e y 2.Google Scholar
  6. 1).
    Die Gleichungsnummern entsprechen den für doppelte Bewehrung gefundenen; sie sind ihnen gegenüber nur durch einen * unterschieden.Google Scholar
  7. 1).
    Wäre z. B: die Eiseneinlage ein Quadratstab von 1 cm Seitenlänge, so würde seine Ersetzung durch ein Rechteck von 15 cm Seite und 1 cm Höhe zu erfolgen haben, das mit dem Eisenquadrat die gleiche Achse erhält. Die Trägheitsmomente wären alsdann: (math) ständen also auch im Verhältnisse von 1 : 15, was zu beweisen war.Google Scholar
  8. 1).
    Vgl. Zentralbl. d. Bauw. 1919, Nr. 48.Google Scholar
  9. 1).
    Zur Elitwickelung dieser Berechnung vgl. Arm. Beton 1918, Heft 7, von Dr. L. Wierzbicki-Wien.Google Scholar
  10. 1).
    Die Tabellen sind berechnet von B, Löser-Dresden.Google Scholar
  11. 1).
    Vgl. Arm. Beton 1917, Heft 7, S. 159: Querschnittsbemessung doppelt bewehrter Eisenbetonplatten und Balken. Von Dipl.-Ing. Bundschuh-Essen a. d. R.Google Scholar
  12. 2).
    Es empfiehlt sich, die Querschnittsverminderung durch die Druckeisen alsdann stets zu berücksichtigen, wenn eine starke Druckbewehrung zu erwarten steht. Bei der praktischen Ausführung ergeben sich in solchem Falle durch die enge Aufeinanderfolge der Druckeisen im Querschnitte schon solche konstruktiven Mängel, daß man für eine möglichst große Sicherheit bei der Berechnung Sorge tragen, jedenfalls die Unsicherheit aber nicht vermehren soll.Google Scholar
  13. 1).
    Aufgestellt von Dipl.-Ing. Bundschuh, Arm. Beton 1917, S. 162.Google Scholar
  14. 1).
    Aufgestellt von Dipl.-Ing. Bundschuh, Arm. Beton 1917, S. 164.Google Scholar
  15. 1).
    Siehe AnmerkungGoogle Scholar
  16. 1).
    folgende Seite.Google Scholar
  17. 1).
    Entnommen den Musterbeispielen für Ausführung der Bauten aus Eisenbeton vom 13. Januar 1916. Vgl. Zentralbl. d. Bauw. 1919, Nr. 48, S. 265.Google Scholar
  18. 1).
    12 cm besteht aus der Abdeckung von Schlackenbeton von 10 cm Dicke und der 2 cm starken Asphaltschicht. Vgl. oben.Google Scholar
  19. 1).
  20. 1).
    auf S. 202.Google Scholar
  21. 1).
  22. 1).
    auf S. 202.Google Scholar
  23. 1).
    Es ist zu berücksichtigen, daß die 2. Bewehrung um den Durchmesser der Eisen höher liegt.Google Scholar
  24. 1).
    Naturgemäß kann man bei dieser Probierart auch die Momente auf die obere Querschnittskante als Achse beziehen.Google Scholar
  25. 1).
    Vgl. Stock: Bestimmung der Mindesthöhe von einfach armierten Plattenbalken. Arm. Beton 1910, Augustheft (Nr. 8), S. 316–320.Google Scholar
  26. 2).
    Vgl. hierzu die Abhandlung von B. Barck- München im Arm. Beton 1917, Nr. 9, S. 201 in der zudem die bekannteren wirtschaftlichen Dimensionierungs-verfahren der Plattenbalken kritisch gegeneinander und gegen das von Barck vorgeschlagene Verfahren abgewogen werden, und zwar werden zum Vergleiche benutzt die Rechnungsart von Ed. Proksch (Beton u. Eisen 1911 S. 200) und die von A. M. Mayer (Die Wirtschaftlichkeit als Konstruktionsprinzip im Eisenbeton S. 56–63; Verlag Jul. Springer 1915). Durch eingehende Untersuchungen weist Barck nach, daß bei Trägerhöhen bis zu 70 cm das Mayersche Verfahren zwar die geringsten Kosten liefert, bei größeren Höhen aber seine Anwendbarkeit verliert und daß das Verfahren von Procksch, da es die Wahl der Stegbreite der persönlichen Schätzung des Konstrukteurs überläßt, eine erhebliche Unbestimmtheit in sich schließt, zumal eine nicht günstige Wahl von b 0 den Plattenbalken wirtschaftlich sehr ungünstig zu beeinflussen vermag. Hiergegen bietet das Barcksche Verfahren innerhalb des ganzen Spielraums von Höhen zwischen 25 und 125 cm brauchbare Ergebnisse, die, wenn sie auch in manchen Fällen nicht die rechnerisch billigste Konstruktion ergeben, sich aber durch erhebliche Herabminderung der Trägerhöhe gegenüber den Feststellungen nach Mayer vorteilhaft auszeichnen.Google Scholar
  27. 2).
    Wegen der zur Zeit stetig wechselnden Einheitspreise sind noch die früheren Preise oben eingesetzt.Google Scholar
  28. 1).
    Vgl. Arm. Bet, 1912, Heft XI, S. 429 über wirtschaftliches Dimensionieren der Eisenbetonbalken.Google Scholar
  29. 1).
    Vgl. Zentralbl. d. Bauverw. 1914, Nr. 25, S. 204, und 1905, S. 391.Google Scholar
  30. 1).
    Vgl. Hager, Theorie des Eisenbetons, 1916 S. 105, und Gehler Erläuterungen mit Beispielen zu den Eisenbetonbestunmungen, 1916, 2. Aufl., 1917, S. 64.Google Scholar
  31. 1).
    Vgl. Taschenbuch für Bauingenieure, III. Aufl. Jul. Springer, 1919, S. 783ff. in dem Abschnitt: Anwendungen des Eisenbetons im Hochbau von Ing. u. Dozent B. Loeser, Dresden.Google Scholar
  32. 1).
    Berechnet v. B. Löser, Dresden; vgl. Taschenbuch für Bauingenieure, IV. Auflage, Abschnitt: Die Anwendung des Eisenbetonbaus im Hochbau.Google Scholar
  33. 1).
    Vgl. S. 220.Google Scholar
  34. 1).
    Vgl. hierzu: Bach, Mitteil. über Forschungsarbeiten, Heft 90/91 u. Heft 122/123 (1910 u. 1912); und Mörsch, Der Eisenbetonbau, 4. Aufl., 1912, S. 315: „Soweit die vorliegenden Versuche den Schluß zulassen, würde man mit einer zulässigen Schubspannung von 9 kg/qcm rechnen können, wobei noch in Betracht käme, daß hier ein Beton von geringer Festigkeit vorhanden war.“Google Scholar
  35. 1).
    Es erklärt sich dies u. a. dadurch, daß die Bügel nur so große Sehubspannungen aufzunehmen vermögen, als wie ihr Widerstand gegen Herauslösen aus dem Verbunde zuläßt. Dieser ist aber in erster Linie durch ihre Haftfestigkeit im Beton bedingt, vgl, S. 132.Google Scholar
  36. 1).
    Vgl. zu dieser viel umstrittenen Frage u. a.: Schlüter, Schubsicherung der Eisenbetonbalken durch abgebogene Hauptarmierung und Bügel nach Vorschrift der neuen Bestimmungen vom 13. Januar 1916. Berlin 1917. Verlag von H. Meuser, und ebenda Nachlieferung hierzu 1919. ‘ Aussprache zwischen Dr. Sonntag und B. Loeser in: Bauingenieur 1920, Nr. 20 u. ff., sowie B. Loeser: Die konstruktive Gestaltung der Eisenbetonbalken. Bauingenieur 1920, Nr. 2 (die vorgenannte, sehr ausführliche Aussprache veranlassend).Google Scholar
  37. 2).
    Zu welchen großen Unterschieden und falschen Ergebnissen eine solche Berechnung der einseitigen Rippenbalken führt, weist Hager in seinem Werke: Theorie des Eisenbetons (München 1916) S. 157, nach, indem er zeigt, daß bei Annahme eines symmetrischen Trägers σ b = 39,4 kg/qcm, bei richtiger Rechnung aber = 75 kg/qcm, also annähernd doppelt so groß wird.Google Scholar
  38. 1).
    Hierbei ist also die vorerwähnte Pyramide als Druckdiagramm in Rechnung gestellt.Google Scholar
  39. 1).
    Eine genauere, aber umständliche Art der Verteilung der Eisen auf rechnerischer Grundlage gibt Hager in seinem Werke: Theorie des Eisenbetons (München 1916), S. 155 ff. Vgl. auch dessen Aufsatz in der Deutschen Bauztg. Betonbeilage, 1914, Nr. 15.Google Scholar
  40. 2).
    Vgl. Hager: Theorie des Eisenbetons. S. 158.Google Scholar
  41. 1).
    Bemerkenswert ist hierbei die geringe Einwirkung des zweiten Gliedes, aber erklärt durch den geringen Unterschied von x und d=3,l cm.Google Scholar
  42. 1).
    Entnommen den Musterbeispielen zu der Bestimmung vom 13. Januar 1916. Zentralbl. d. Bauw. 1919, Nr. 48, S. 265ff.Google Scholar
  43. 1).
    Entnommen den Musterbeispielen, vgl. Anm.Google Scholar
  44. l).
    auf S. 265.Google Scholar
  45. 2).
    Notwendig sind zwar nur 6 Eisen. Das siebente ist aber hinzügefügt, um 2 Eisen im Untergurte durchführen zu können.Google Scholar
  46. 1).
  47. 1).
    , auf S. 265; das Beispiel ist ebenfalls der dort angegebenen Stelle entnommen.Google Scholar
  48. 1).
    Da es sich hier um eine theoretische Erörterung handelt, sind die früheren Einheitspreise beibehalten.Google Scholar
  49. 1).
    Für umschnürte Säulen ist u. a. auch von Fuchs eine recht zweckmäßige Tabelle aufgestellt worden — vgl. Arm. Bet. 1919, Heft 12, S. 318.Google Scholar
  50. 1).
    Vgl. dessen Werk: Der Eisenbetonbau. 4. Aufl. Stuttgart 1912, S. 135ff, 5. Aufl., S. 235 (m im Mittel = 45).Google Scholar
  51. 2).
    Der Wert m wird also um so kleiner, je größer σ bB ist.Google Scholar
  52. 1).
    Vgl. dessen Lehrbuch: Theorie des Eisenbetons, S. 32.Google Scholar
  53. 2).
    Vgl. Mörsch, Der Eisenbetonbau. 4. Aufl. Stuttgart 1912. S. 155; 5. Aufl., S. 214ff., im besonderen S. 235 ff.Google Scholar
  54. l).
    Vgl. dessen Eisenbetonbau. 4. Aufl. 8. 136/37.Google Scholar
  55. 1).
    Vgl. hierzu die Ausführungen von Domke in Beton u. Eisen 1912, Heft 4, die nachweisen, daß mit einer Addition der Festigkeiten, wie oben vorgenommen, auch tatsächlich gerechnet werden kann, sowie: Eine neue Verwendung des Gußeisens für Säulen (von v. Emperger). Berlin 1911. Verlag von Ernst & Sohn, Berlin-Wien 1913. S. 137. Österreich. Wochenschrift f. d. öffentl. Baudienst. 1914, Heft 30 und 1915, S. 160 (Aufs. von v. Thullie) und Zeitschr. Gießerei 1914, Heft 5 und 6. Versuche über zulässige Lasten bei Säulen aus umschnürtem Gußeisen; sowie Beton u. Eisen 1911 u. folg. Jahrg.Google Scholar
  56. 1).
    Vgl. Beton u. Eisen 1917.Google Scholar
  57. 1).
    Vgl. Schweizer Bauzeitung 1899.Google Scholar
  58. 1).
    Vgl. auch Tabelle XVI b, Spalte 5.Google Scholar
  59. 1).
    Entnommen den Musterbeispielen zu den Bestimmungen vom 13. I. 1916 nach dem Zentralbl. d. Bauv. 1919, Nr. 48.Google Scholar
  60. 1).
    Vgl. Stock, Dimensionierung von auf Biegung mit Axialdruck beanspruchten rechteckigen Querschnitten. Arm. Beton 1911, Heft XII, S. 433.Google Scholar
  61. 1).
    Vgl. Anm. 1 auf S. 326.Google Scholar
  62. 1).
    Vgl, die vorerwähnte Arbeit von Stock. Arm, Beton 1911, Heft XII, S. 438.Google Scholar
  63. 1).
    Ein Vergleich der Ergebnisse der Beispiele 1b, 1c läßt erkennen, daß an dem am stärksten beanspruchten Rande in lc eine größere Einlage erforderlich wird, als wenn man den Querschnitt nur einseitig bewehrt. Es erklärt sich dieses daraus, daß in letzterem Falle der Schwerpunkt des Querschnittes nach der Eiseneinlage zu sich verschiebt und somit die Exzentrizität der letzteren Kraft kleiner, also auch M kleiner wird. Es ist deshalb hier eine einseitige Armierung, wenn möglich, vorzuziehen.Google Scholar
  64. 2).
    Vgl. die holländ. Zeitschrift Gewapened Beton, Maiheft 1908, und die Veröffentlichung hierüber im Armierten Beton 1919 von Dr.-Ing. W. Kunze.Google Scholar
  65. 3).
    Vgl. hierzu auch die später folgende Berechnungsart von Dr. W. Kunze für auf Druck und Zug belastete gebogene Verbundquerschnitte auf S. 352 u. flgd.Google Scholar
  66. 2).
    Vgl. zu diesem Abschnitte neben den weiter unten angegebenen Literaturstellen u. a. : Bestimmung einseitig gedrückter oder gezogener Eisenbetonquerschnitte ohne und mit Berücksichtigung der Betonzugfestigkeit von E. Elwitz Beton u. Eisen 1918.Google Scholar
  67. 3).
    In den meisten Fällen wird aus praktischen Gründen ein anderer als der Normalquerschnitt zur Anwendung gelangen. An den stärkst beanspruchten Stellen wird man in der Regel, um zu plumpe Abmessungen zu vermeiden und das Eigengewicht herabzumindern, einen niedrigeren Querschnitt wählen, der alsdann eine Druckbewehrung erfordert, während an den weniger stark belasteten Stellen sich von selbst ein höherer Querschnitt ergibt, der demgemäß sogar eine vollkommene Ausnutzung der zulässigen Druckspannung σ b nicht mehr gestattet. Alle diese Verhältnisse kann man aber sofort überblicken, wenn man sich vorher die Normalhöhe ausgerechnet hat. Vgl. hierzu: Stock, Dimensionierung von auf Biegung mit Axialdruck beanspruchten rechteckigen Eisenbetonquerschnitten. Arm. Beton 1911, Heft XI u. XII, S. 388 u. 433.Google Scholar
  68. 1).
    Einen genauen rechnerischen Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung erbringt Stock in seiner vorgenannten Arbeit in Arm. Beton 1911, Heft XI, 8. 391.Google Scholar
  69. 1).
    Entnommen der auf S. 333 erwähnten Stockschen Veröffentlichung, vgl. Arm.-Beton 1901, Heft XII, S. 436 ff.Google Scholar
  70. 1).
    Vgl dessen Eisenbetonbau S. 192 ff.Google Scholar
  71. 1).
    Vgl. Arm. Beton 1918, Heft 3, S. 51. Biegung mit Axialkraft, eine Tabelle zur direkten Dimensionierung nach dem Verfahren von Wuczkowski von Dipl.-Ing. Georg Ehlers. Über das Verfahren von Wuczkowski vergl.: Die Bemessung der Eisenbetonkonstruktionen. Berlin 1911. Wilh. Ernst & Sohn.Google Scholar
  72. 1).
    Vgl. Arm. Beton 1918, Heft 2, S. 31: Tabelle zur Querschnittsfestsetzung bei exzentrisch belasteten Eisenbetonkörpern von Dr.-Ing. W. Kunze.Google Scholar
  73. 1).
    Vgl. hierzu : Allgemeine Beziehungen für die Bemessung rechteckiger Eisenbetonquerschnitte bei Kraftangriff außerhalb des Kernes. Von Direktor Dipl.-Ing. Spangenberg in: Otto Mohr zum achtzigsten Geburtstag. Berlin 1916. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. S. 193 ff.Google Scholar
  74. 2).
    Bei der Aufstellung der Tabelle ist die Annahme gemacht, daß der Randabstand der Druckeisen von der meist gedrückten Faser (Querschnittsrand) pro-portional der gesuchten Querschnittshöhe ist, und zwar 0,06 derselben beträgt. Nach dem Vorschlag von Stark und Dankelmann (Deutsche Bauztg., Zement-Mitteil. 1914, S. 182) kann angenommen werden, daß der Prozentsatz, welcher das Verhältnis a′ : h′ darstellt, zweckmäßig anzunehmen ist:Google Scholar
  75. für h′ > 45 cm = 0,10Google Scholar
  76. für h′ = 45 bis 90 cm = 0,06Google Scholar
  77. für h′ = 90 bis 200 cm = 0,03Google Scholar
  78. Da bei der Spangenberg sehen Tabelle also ein Verhältnis =0,06 zugrunde gelegt ist, gilt sie im allgemeinen mit besonderer Genauigkeit auch nur für Quer-schnittshöhen von 45 bis 90 cm, kann aber naturgemäß mit durchaus ausreichender Annäherung auch für nicht allzuweit hiervon abweichende h′-Werte angewendet werden.Google Scholar
  79. 1).
    Vgl. Zur Dimensionierung exzentrisch gedrückter T-Querschnitte von Dr. M. Ritter von Thullie. Österreich. Wochenschr, f. d. öffentl. Baudienst, 1918, Heft 9.Google Scholar
  80. 1).
    Tabellen III—VI siehe Seite 362–365.Google Scholar
  81. 1).
    σu bedeutet die Spannung an der Plattenunterkante.Google Scholar
  82. 2).
    Forts. S. 366.Google Scholar
  83. 1).
    Vgl. hierzu u. a. des Verfassers Repetitorium für den Hochbau, Teil I: Oraphostatik und Festigkeitslehre, S. 128 und 129 (Verlag Jul. Springer, Berlin 1919) und die besondere Anwendung des Mohrschen Verfahrens im vorliegenden Falle in „Zemento“ 1906, Nr. 1, ausführlich u. a. wiedergegeben in Mörsch: Der Eisenbetonbau, 5. Aufl., S. 450–453. Dort ist auch das Verfahren für eine Querschnittsbeanspruchung durch Biegung und Axialzug dargelegt. Es unterscheidet sich grundsätzlich nur durch eine andere gegenseitige Lage der unter sich gleichen Flächen zueinander.Google Scholar
  84. 1).
    Der nutzbare Querschnitt bestünde alsdann aus allen einzelnen Eiseneinlagen und den in der Druckzone liegenden Flächen, die b 1 bis etwa b 4 in sich schließen. Demgemäß sind die äußersten Seilstrahlen: der Strahl bei A, d. i. 1′ und Strahl 14′.Google Scholar
  85. 1).
    Hierbei soll freilich nicht die Unstimmigkeit übersehen werden, daß rein theoretisch das Eisen bei einer Zugspannung von 1200 kg/qcm eine erheblich stärkere Dehnung erfährt. Gleichwohl hat aber die vorstehende angenäherte Berechnung zu in der Praxis bestens bewährten Verbundbehältern geführt. Das günstige Verhalten dieser dürfte einmal auf die Wirkungen der Haftfestigkeit und zum. anderen auf den Umstand zurückzuführen sein, daß der Beton wahrscheinlich größere Zugspannungen aufnimmt, als sie vorstehend ihm zugewiesen werden.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • M. Foerster
    • 1
  1. 1.Technischen Hochschule DresdenDeutschland

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