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Die Addition und Multiplikation der Kardinalzahlen

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Wir haben in den letzten Paragraphen „unendlichgroße Zahlen“, nämlich unendliche Kardinalzahlen, wirklich kennen gelernt und sie ihrer Größe nach miteinander verglichen. Wir wollen nun untersuchen, ob und wie man mit den unendlichen Kardinalzahlen auch rechnen kann; es wird sich zeigen, daß die aus der gewöhnlichen Arithmetik bekannten Operationen der Addition, der Multiplikation und der Potenzierung sich in einer naturgemäßen Verallgemeinerung auf die unendlichen Kardinalzahlen übertragen lassen und auch hier völlig bestimmte Ergebnisse liefern. Dabei bleiben sogar die in der gewöhnlichen Arithmetik für diese Rechnungsarten gültigen Regeln1) auch für die unendlichen Kardinalzahlen bestehen. Die Umkehrung der genannten Operationen, also die Rechnungsarten der Subtraktion, der Division, des Wurzelziehens und des Logarithmierens, sind dagegen im Bereich der unendlichen Kardinalzahlen nicht ausführbar, insofern als sie hier, wie wir sehen werden, im allgemeinen nicht zu eindeutigen Ergebnissen führen.

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Referenzen

  1. 1).
    1) Diesen Gedanken hatte Cantor im Auge, als er der abschließenden Darstellung seiner Entdeckungen u. a. das Motto voranstellte: „Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus.“ (Beiträge, S. 481.)Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. Ztschr. f. Philosophie u. philos. Kritik, N. F., 88 (1886), 226; „Natur und Offenbarung“, 32 (1886), 47.Google Scholar
  3. 1).
    Für den Fall, daß unter diesen Kardinalzahlen gleiche vorkommen sollten, können wir sie uns formal in der Schreibweise voneinander unterschieden denken. Will man sich mit einer so formalen Beseitigung der angedeuteten Schwierigkeit nicht begnügen, so muß man hier statt des Begriffs der Menge, in der ein Element nur entweder vorkommen oder nicht vorkommen kann, einen anderen Begriff, den des Komplexes, einführen, für den es auch darauf ankommt, wie oft ein Element im Komplex auftritt. Wie man durch Vermittlung des Begriffs der Funktion (mit einer Menge als „Argument“) den Begriff des Komplexes einführen kann, ist bei Hausdorff, S. 32–36, ganz allgemein auseinandergesetzt. Vgl. auch die spezielleren diesbezüglichen Ausführungen im folgenden, S. 69. Vom rein grundsätzlichen Standpunkt aus gesehen, kann man der erwähnten Schwierigkeit ganz entgehen durch völlige Vermeidung der Kardinalzahlen und ausschließliche Benutzung von Mengen (vgl. oben S. 44); statt mit gleichen Kardinalzahlen operiert man dann mit (äquivalenten, aber) verschiedenen Mengen.Google Scholar
  4. 1).
    Auch hierfür gilt die (auf das Auftreten gleicher Summanden — hier: Faktoren — bezügliche) Fußnote von S. 64.Google Scholar
  5. 1).
    In dieser Beziehung sind die drei miteinander verglichenen Verbindungsmengen nicht miteinander identisch, sondern nur einander äquivalent. In der Tat ist z. B. das Element (a, (b, c)) der Menge A·(B·C) verschieden von dem Element ((a, b), c) der Menge (A · BC, und beide sind verschieden von dem Element (a, b, c) der Menge A·B·C. Ordnen wir aber diese drei Elemente und ebenso je drei im gleichen Sinne zusammengehörige andere Elemente der drei Mengen einander zu, so entstehen dadurch Abbildungen zwischen den Mengen A·B·C, A·(B·C) und (A·B)·C, die die Äquivalenz der drei Mengen erweisen. — Genau Entsprechendes gilt übrigens von den Mengen A·B und B·A, falls man im Sinn der Bemerkung von S. 68 bei der Bildung der Verbindungsmenge die Reihenfolge der einzelnen Elemente im Komplex als wesentlich betrachtet; dann sind A·B und B·A nicht mehr gleich, sondern nur noch äquivalent (was sich fürs Folgende als gleichgültig erweist).Google Scholar
  6. 1).
    Zuerst bewiesen von J. Lüroth 1878 (vgl. Math. Ann. 63 [1907], 222). Eine einfache Darstellung findet man in dem kurzen temperamentvollen, zur ersten Einführung überhaupt sehr empfehlenswerten Abschnitt über Mengenlehre in F. Kleins Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teil I (Autographierte Vorles., ausgearb. von E. Hellinger, 2. Aufl., Leipzig 1911), S. 580 ff.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1923

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität MarburgDeutschland

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