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Das Kontinuum. Begriff der Kardinalzahl oder Mächtigkeit. Die Kardinalzahlen a, c und f

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Wir betrachten die Gesamtheit aller positiven (reellen) Zahlen, die kleiner als 1 sind, einschließlich der Zahl 1 selber und wollen die aus all diesen Zahlen bestehende Menge im Laufe der nächsten Betrachtungen dieses Paragraphen stets mit M bezeichnen. Um von dieser Menge von vornherein eine anschauliche Vorstellung zu gewinnen, bedienen wir uns wieder der Zahlengeraden; da es sich um positive Zahlen handelt, haben wir die rechts vom Nullpunkt liegende Halfte der Geraden zu betrachten und erkennen, daß der Menge M die Menge aller zwischen dem Nullpunkt 0 und dem Einspunkt 1 (letzteren Endpunkt eingeschlossen) gelegenen Punkte der Zahlengeraden entspricht (vgl. S. 9 f.). Diese Punktmenge ist der Zahlenmenge M Equivalent; es sind sind also beide Mengen entweder gleichzeitig abzahlbar oder gleichzeitig nicht abzahlbar.

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Referenzen

  1. 1).
    Für die strenge Begründung des Wesens der Dezimalbrüche und ihrer in diesem Absatz angeführten Eigenschaften vgl. z. B. die Darstellung in den oben (S. 16, Fußn. 2) angeführten Werken von W eber-Epstein (S. 106ff.) und Loewy (S. 84ff.); man findet in ihnen, ebenso z. B. im ersten Kapitel von K. Knopps „Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen“ (Berlin 1922), auch eine scharfe Entwicklung des in der vorliegenden Schrift nicht erörterten Begriffs der reellen Zahl.Google Scholar
  2. 2).
    In der auf S. 31, Fußnote, angeführten Abhandlung. — Die nachfolgende Darstellung schließt sich an den zweiten Cantorschen Beweis an, der einfacher ist und den entscheidenden Grundgedanken in einer reineren und bequemer verallgemeinerungsfähigen Form darbietet: Jahresber. d. Deutschen Mathematikerverein igung, 1 (1892), 75 ff.Google Scholar
  3. 1).
    Dieser Beweis beruht auf dem nämlichen Gedanken, den wir bereits auf S. 21 zum Nachweis der Abzählbarkeit der Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen benutzt haben. Wie der Leser unmittelbar erkennt, zeigt dieses Verfahren allgemein, daß eine abzahlbare Menge auch dann noch abzahlbar bleibt, wenn zu ihren Elementen die Elemente einer weiteren abzählbaren Menge hinzugefügt werden. Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1923

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität MarburgDeutschland

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