Zusammenfassung
Wir gehen nun zur ausführlichen Darstellung einer der modernen Begründungen der Mengenlehre über, nämlich der, die von E. Zermelo stammt. Sie hat neben manchem anderen auch den wesentlichen Vorzug gegenüber den beiden soeben erwähnten Systemen, daß bei ihr der rein mathematische Teil, nämlich die Zurückführung der Mengenlehre auf einige wenige scharf ausdrückbare Voraussetzungen (Grundsätze, Axiome), reinlich geschieden ist von der anderen (erst neuerdings ernstlich von Hilbert in Angriff genommenen) Aufgabe, diese Voraussetzungen ihrerseits zu begründen bzw. als widerspruchsfrei zu erweisen.
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Als die unter ihnen wohl am weitesten gehende sei die „vollständige Induktion“ innerhalb endlicher Mengen genannt (vgl. S. 238).
Auf einen nicht wesentlichen etwaigen Unterschied in der Fassung dieses Axioms braucht hier nicht eingegangen zu werden. Übrigens dürfte König (S. 169 ff.) die Auffassung Zermelos wesentlich mißverstanden haben (vgl. S. 200ff.).
Für Literatur zur axiomatischen Methode im allgemeinen vgl. die Fußnote auf S. 222; dem Anfänger sei vor allem die dort genannte Schrift K. Boehms empfohlen.
Daß „Sinn“ hier nur ganz formal zu verstehen ist, wird später zur Sprache kommen.
In diesem Sinn dient die axiomatische Methode in hervorragendem Maß der Ökonomie des Denkens, wie sie E. Mach als Ziel aller Wissenschaft betrachtet hat. Freilich ist von der Möglichkeit, verschiedene Wissensgebiete der nämlichen Axiomatik unterzuordnen, bisher nur beschränkter Gebrauch gemacht worden (der wichtigste wohl im Fall der Gruppe).
Das Wesen unserer „Identität“ wird durch Axiom I näher bestimmt. Auf die mehr philosophische Frage, ob an Stelle von „identisch“ besser „gleich“ zu setzen wäre, ist hier nicht der Ort einzugehen.
Die nachfolgende Darstellung stützt sich auf folgende Arbeiten, von denen Zermelo III die wesentliche Grundlage darstellt, während die danach genannten Aufsätze Fortbildungen und Modifikationen dieser Grundlage oder Besprechungen einzelner Teile (so Sierpinski) enthalten: Zermelo, E.: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann; Math. Annalen, 59 (1904), 514. — (Als Zermelo I zitiert.)
Zermelo, E.: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Math. Annalen, 65 (1908), 107–128. (Zermelo II.)
Zermelo, E.: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I (ohne Fortsetzung geblieben); ebenda, S. 261–281. (Zermelo III.)
Hartogs, F.: Über das Problem der Wohlordnung (mit einem z. T. auf O. Hessenberg zurückgehenden Anhang); Math. Annalen, 76 (1915), 438–443. (Hartogs.)
Sierpinski, W.: L’axiome de M. Zermelo et son rôle dans la théorie des ensembles et lanalyse; Bull. de lAcadémie des Sc. de Cracovie, Cl. des Sc. Math. et Natur., Série A, 1918 (Cracovie 1919), S. 97–152. (Sierpinski.)
Fraenkel, A.: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre (wesentlich Wiedergabe eines Vortrags a. d. deutschen Mathematikertag, Jena 921, vgl. Jahresb. d. D. Math.-Ver., 30 [1921], 97 f.); Math. Annalen, 86 (1922), 230–237. (Fraenkel I.)
Fraenkel, A.: Über den Begriff „definit“ und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms; Sitzungsber. d. Preuß. Akademie d. Wissensch. Berlin, Physik.-Math. Klasse, 1922, S. 253–257. (Fraenkel II.)
Skolem, Th.: Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre; Matematikerkongressen i Helsingfors 1922 (Helsingfors 1923), S. 217–232.
Die folgende Darstellung weicht in gewissen Punkten von Zermelo III ab, z. T. noch über die angeführten Fortbildungen hinaus; die Abweichungen werden aber nachstehend (vgl. namentlich S. 219 f.) vermerkt und, soweit nicht schon hier geschehend, in einer demnächst erscheinenden Arbeit begründet werden. Der inhaltsreiche Vortrag Skolems wurde dem Verfasser erst während des Druckes zugänglich. Die Punkte 4, 6 und 8 dieses Vortrags stimmen im wesentlichen mit den betreffenden Bemerkungen in Fraenkel 1 überein und kommen nachstehend mehr oder weniger zur Besprechung; Punkt 1 dürfte durch die folgende Darstellung erschüttert werden; gegenüber Punkt 2 (Axiom der Aussonderung) wird man der nachstehend gegebenen, an Fraenkel II sich anschließenden Lösung zum mindesten den Vorzug der scharfen, rein mathematischen Definition ohne Heranziehung des Logikkalküls zuerkennen; bezüglich Punkt 7, worin der Verfasser derzeit in der Hauptsache mit Skolem übereinstimmt, hat man noch den Fortgang der Hilbertschen Untersuchungen abzuwarten (vgl. die Bemerkungen über die Frage der Widerspruchslosigkeit auf S. 237 ff.). Die eng miteinander zusammenhängenden Punkte 3 und 5 berühren eine bisher wohl nicht überwundene Schwierigkeit, die dem Begriff des nicht-abzählbar Unendlichen (namentlich schon dem Diagonalverfahren) überhaupt anzuhaften scheint und von der im vorigen Paragraphen bei Besprechung der Intuitionisten und Russells (S. 174 und 180) kurz die Rede war; die merkwürdige Tatsache, daß innerhalb eines abzählbar scheinenden Bereiches durch den Pro-zeß der Bildung der Potenzmenge vom Abzählbaren zum Überabzählbaren geschritten werden kann, hat ihren Grund in dem nichtprädikativen Charakter jenes Prozesses; dieser Charakter kann wohl nur entweder anerkannt oder unter Annahme des intuitionistischen Standpunktes abgelehnt werden. — Im ganzen dürfte die skeptische Haltung Skolems gegenüber Zermelos Axiomatik nicht gerechtfertigt sein, worüber sich der Leser auf Grund der nachfolgenden Darstellung selbst ein Urteil bilden mag.
Die Kritik der Axiomatik Zermelos bei Poincaré, Gedanken (IV, § 5) ist — abgesehen von den Bemerkungen zum Axiom der Aussonderung — nicht berechtigt; da sie das Wesen der axiomatischen Methode teilweise mißversteht (vgl. nachstehend unter b).
So sind wir formal schon früher (a. a. O.) verfahren.
Hier und im nächstfolgenden wäre eigentlich (im Sinn des Axioms der Paarung) noch die Bedingung zu stellen, daß die zu paarenden Mengen voneinander verschieden sind; von dieser Bedingung werden wir uns jedoch bald losmachen (S. 199 und 211).
Ganz wie in § 7 (S. 66) ist (auf Grund des Axioms der Bestimmtheit) leicht zu sehen, daß die Vereinigungsmengen SA und SC identisch sind. Es gilt also für die Vereinigung (zunächst dreier Summanden, aber auch im allgemeinen Fall des Axioms III) das assoziative Gesetz. Die Gültigkeit des kom-mutativen Gesetzes ist schon im vorigen Absatz festgestellt worden.
Vgl. den Schluß der Fußnote auf S. 188.
Das Unbefriedigende der Zermeloschen Umgrenzung jenes Eigenschaftsbegriffs hat z. B. auch für Weyl den Anstoß zu seiner (im vorigen Paragraphen besprochenen) Revolutionierung der Mathematik gegeben (vgl. Weyl, Das Kontinuum, S. 36).
Fraenkel II, S. 253 f.
Vgl. Sierpinski (Zitat vom Beginn dieses Paragraphen). Die nachfolgende Interpretation ist im Einklang mit Zermelos eigener Auffassung. — Für den Intuitionisten sind solche bloße Existenzaussagen natürlich bedeutungslos.
Hier ist allerdings von der Bestimmbarkeit transzendenter Zahlen gerade mittels des Diagonalverfahrens selbst (S. 41 f.) abgesehen. Dennoch wird der Zweck einer gewissen Klärung der Sachlage erreicht sein. Auf die grundsätzliche Frage, ob sich ohne das Auswahlaxiom Mengen bilden lassen, die nachweislich von 0 verschieden sind und in denen es dennoch unmöglich ist, ein einzelnes Element anzugeben, kann hier nicht eingegangen werden.
Vgl. als charakteristisch etwa G. Hantel in d. Math. Annalen, 60 (1905), 459–462; E. Steinitz im Journ. f. Math., 137 (1909), 170 und 286f.; W. Sierpinski in den Comptes Rendus ... de l’Acad. des Sc. Paris, 163 (1916), 688; W. Krull in den Math. Annalen, 88 (1923), 118–121.
Im letzten der auf S. 235 angeführten Aufsätze, S. 152.
Für eine umfassende Übersicht über solche Stellen innerhalb und außerhalb der Mengenlehre sowie für eine Besprechung der Frage, ob das Auswahlaxiom an diesen Stellen unvermeidlich ist, vergleiche man Sierpinski (Zitat von S. 187); ferner auch die in der vorigen Fußnote erwähnten (dort nur zum Teil genannten) Aufsätze. Hervorgehoben sei außer den oben im Text anzuführenden Stellen noch der Beweis der Gleichwertigkeit der naiven und der Dedekindschen Definitionen für endliche und unendliche Mengen (vgl. S. 18f.).
Die Menge aller möglichen Abbildungen zwischen zwei gegebenen äquivalenten Mengen erweist sich auf Grund unseres Axiomensystems als existierend; vgl. S. 213.
Andere mit dem Auswahlaxiom gleichwertige Aussagen bei A. Tajtelbaum-Tarski, Fundamenta Mathematicae, 5 (1923), 147–154.
R. Istituto Lombardo di Scienze e Lett., Rendiconti, (2) 35, 863.
Die anderen Argumente gegen den Wohlordnungssatz gründen sich z. T., in ihrer Art folgerichtig, auf die intuitionistische oder eine ihr nahestehende Anschauung, z. T. aber auf ungerechtfertigte, namentlich mit der Antinomie Burali — Fortis zusammenhängende Bedenken. Vgl. die scharfe und witzige Zurückweisung in Zermelo II, worauf auch wegen der Literaturangaben verwiesen werde.
Z. B. werden die meisten Geometer die Existenz ungleicher ähnlicher Figuren als. weit einleuchtender betrachten als das Parallelenaxiom, auf das sich die Möglichkeit ähnlicher Figuren im üblichen Sinn gründet.
Die Existenz der einzelnen Komplexe, die wir jetzt einfach als Mengen auffassen, muß freilich unserem jetzigen Standpunkt gemäß erst festgestellt werden. So bedurften wir noch des A. d. Auswahl, um die Existenz mindestens eines Komplexes überhaupt zu sichern für den Fall, daß die Nullmenge kein Element von M ist.
Von E. Zermelo und G. Hessenberg; vgl. Hessenberg, Kap. 28, Zermelo II, Hessenberg, Taschenbuch, S. 74, und namentlich Hartogs (Zitat vom Beginn dieses Paragraphen), S. 443. Eine andere, gleichwertige Einführung der Ordnung auf derselben axiomatischen Grundlage hat C. Kuratowski in den Fundamenta Mathematicae, 2 (1920), gegeben.
Fraenkel, A.: Axiomatische Begründung der transfinitenK ardinalzahlen. I; Math. Zeitschr., 13 (1922), 153–188. Die Fortsetzung dieses Aufsatzes wird einige darin noch offen gebliebene Fragen von geringerer Bedeutung behandeln.
Die Beschränkung auf elementefremde Mengen (hier wie auch bei der Bildung der Verbindungsmenge, siehe oben) läßt sich nachträglich beseitigen; bei Hausdorff, S. 32 f., wird sie von vorneherein vermieden.
Übrigens sind diese Mengen nach dem A. d. Bestimmtheit untereinander verschieden; denn es enthält z. B. 0 überhaupt kein Element, {0} dagegen das Element 0; usw.
Dedekind, R.: Was sind und was sollen die Zahlen? (ursprünglich 1887 erschienen; 4. Aufl., Braunschweig 1918), § 5. Vgl. auch schon B. Bolzanos Paradoxien des Unendlichen (Zitat von S. 241/2), § 13.
Solche und allgemeinere Mengen sind von D. Mirimanoff (Zitat von S. 152, S. 42) betrachtet und als „ensembles extraordinaires“ bezeichnet worden.
So ist, wie ich einem Hinweis C. Kuratowskis verdanke, in diesem Zusammenhang von Bedeutung das noch ungelöste Problem, ob es „reguläre Anfangszahlen mit Limesindex*’ gibt (vgl. Hausdorff, S. 131).
Vgl. A.Schoenflies im Jahresber. d.D. Mathematikerverein., 20 (1911), 242 f.
So verfährt schon G. Hessenberg im Journ. f. Math., 135 (1909), 83, wo dann allerdings auch ein (vorstehend vermiedener) Funktionsbegriff als ursprünglicher Grundbegriff eingeführt wird.
Ursprünglich 1899 erschienen; 5. Auflage, Leipzig und Berlin 1922.
In dem ersten der auf S. 235, Fußnote 3, genannten Aufsätze, S. 161.
Zur näheren Orientierung über das Wesen der axiomatischen Methode im allgemeinen werde verwiesen auf:
Hessenberg, G.: Über die kritische Mathematik; Sitzungsber. d. Berliner Math. Gesellschaft 3 (1904), 21–28.
Enriques, Fr.: Probleme der Wissenschaft, 1. Teil (übers. v. K. Grelling, Leipzig und Berlin 1910), Kapitel III.
Perron, O.: Jahresber. d. D. Mathematikerver., 20 (1911), 208–211.
Zaremba, S.: Théorie de la demonstration dans les sciences mathématiques; L’Enseignement Mathématique, 18 (1916), 4–44.
Hilbert, D.: Axiomatisches Denken; Math. Annalen, 78 (1918), 405–419.
Pasch, M.: Mathematik und Logik (Leipzig 1919).
Bernays, P.: Die Bedeutung Hilberts f. d. Philosophie der Mathematik; „Die Naturwissenschaften“, 10 (1922), 93–99.
Boehm, K.: Begriffsbildung („Wissen und Wirken“, Bd. 2; Karlsruhe 1922). Für eine Würdigung der axiomatischen Methode vom philosophischen Standpunkt aus vergleiche man (neben Enriques) z. B. E. Husserl: Logische Untersuchungen, Bd. 1 (2. Aufl., Halle 1913), 248ff.; E. Cassirer; Substanzbegriff und Funktionsbegriff (Berlin 1910), 122ff.; M. Schlick: Allgemeine Erkenntnislehre (Berlin 1918), 30ff.; A Höfler: Logik (2. Aufl., Wien 1922); vor allem aber das 2. und 3. Kapitel von Fr. Londons Aufsatz „Über die Bedingungen der Möglichkeit einer deduktiven Theorie“, Jahrb. f. Philos. und phänomen. Forschung, 6 (1923), 335–384; siehe auch die dort (S. 383) angeführten Aufsätze von A. Padoa und G. Peano. Ablehnend gegenüber der Axiomatik (oder vielmehr vorzugsweise gegenüber ihrer Überschätzung und Übertreibung) verhält sich E. Study im Schlußabschnitt seiner Schrift „Die realistische Weltansicht und die Lehre vom Raum“ („Die Wissenschaft“ 54; Braunschweig 1914, z. Zt. in Neuauflage [1. Teil 1923] erscheinend); die dortige Polemik dürfte jedoch gegen die Axiomatik gerade der Mengenlehre um so weniger gemeint sein, als ja die Mengenlehre weder auf die Arithmetik noch auf Erfahrung gegründet werden kann und ihr intuitiv-genetischer Aufbau durch Cantor sich als unzureichend erwiesen hat.
Wie danach die übrigen Axiome aufzufassen sind, kann hier nicht einzeln erörtert werden.
Eine nähere Ausführung, die gleichzeitig ein Beispiel einer mit lückenlosen Beweisen durchgeführten Unabhängigkeitsuntersuchung darstellt, findet man in Fraenkel I. Auf das A. d. Beschränktheit ist in den vorangehenden Bemerkungen keine Rücksicht genommen worden.
Moore, E. H.: Introduction to a form of general analysis (New Haven 1910), S. 82;
vgl. auch z. B. R. D. Beetle: Math. Annalen, 76 (1915), 444.
Vgl. A. Padoa: C. R. du 2e congrés internat. des mathématiciens 1900 (Paris 1902), S. 250.
Zum Entscheidbarkeitsproblem vgl. noch H. Behmann, Math. Annalen, 86 (1922), 163–229.
Transact, of the American Math. Society, 5 (1904), 346; vgl. auch E. V. Huntington, ebenda 3 (1902), 264 und A. Fraenkel, Journ f. d. r. u. angew.Math., 141 (1911), 76. Veblen nennt ein derartiges Axiomensystem „categorical“.
Der Ausdruck „isomorph“ hat hier einen erheblich allgemeineren Sinn, als sonst (in der Gruppen- und Körpertheorie) üblich; näher darauf einzugehen ist hier überflüssig.
Z. B. die Existenz der Nichteuklidischen Geometrien, der stetigen nicht differentiierbaren Funktionen, der ein Quadrat vollkommen erfüllenden Kurven usw.
Ob neuere Untersuchungen von P. Hertz (Math. Annalen, 87 [1922], 246–269 und 89 [1923], 76–102) eine Einengung dieses Spielraums durch objektive Kriterien auch für nicht ganz einfache Fälle anbahnen, läßt sich heute noch kaum entscheiden.
D. i. der Satz, daß jede algebraische Gleichung mindestens eine (reelle oder komplexe) Wurzel besitzt.
Wenn der erste Satz noch als zu kompliziert erscheint, um als Axiom zu dienen, können an seine Stelle einfachere Axiome gesetzt werden, deren Folge er ist.
In Wirklichkeit bestimmen beide Sätze, wenn man jeden mit anderen Axiomen der üblichen Art verbindet, zwei durchaus verschiedene Geometrien, so daß z. B. der Begriff „Gerade“ in der ersten einen wesentlich anderen Sinn hat als in der zweiten. Jede dieser Geometrien ist für sich widerspruchslos, sie sind logisch gleichmöglich.
Siehe z.B. A. Loewy (Zitat von S. 16), S. 1 ff. und die dort angeführte Literatur; vgl. dazu J. A. Gmeiner und H. Hahn im Jahresber. d. D. Mathematikerver., 30 (1921), 82–91 und 170–179.
Von Bedenken im Sinn der Intuitionisten wird hier natürlich abgesehen.
Als charakteristische Beispiele anderer Auffassung des Problems der Widerspruchslosigkeit seien z. B. die (einander selbst scharf entgegengesetzten) Standtpunkte Couturats und Poinarés genannt; vgl. Poincaré, Methode (Zitat von S. 152), S. 164ff. und 276.
Die Methoden, die einerseits von G. Frege (Zitat von S. 181), andererseits von R. Dedekind (Zitat von S. 215) zu einer selbständigen Begründung der Lehre von den ganzen Zahlen herangezogen wurden, sind namentlich Einwänden ausgesetzt, die mit den Paradoxien der Mengenlehre zusammenhängen.
Ob eine völlige Zurückführung der Zahlenlehre auf die Mengenlehre möglich ist, kann man mindestens bezweifeln; das Umgekehrte ist (für die nicht-intutionistische Mengenlehre) sicher unmöglich.
In einem (mehrfach abgedruckten) Vortrag „Mathematische Probleme“ vom 2. internat. Mathematikerkongreß zu Paris 1900, zweites Problem; siehe z. B. Archiv d. Math. u. Physik, (3) 1 (1901), 54–56.
In einem Vortrag „Über die Grundlagen der Logik und Arithmetik“ vom 3. internat. Mathematikerkongrefi zu Heidelberg 1904; abgedruckt z. B. in den neueren Auflagen von Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ als Anhang VII. — Man vergleiche andererseits auch die Bemerkungen Perrons (Zitat von S. 222), S. 210 Fußnote.
Hilbert, D.: Neubegründung der Mathematik (1. Mitteilung). Abh. a. d. Math. Seminar d. Hamburgischen Universität, 1 (1922), 157–177. — Bernays, P.: Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik. Jahresb. d. D. Mathematikerver., 31 (1922), 10–19. — Hilbert, D.: Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Annalen, 88 (1923), 151–165.
Der Kern dieser Bemerkungen berührt sich mit dem letzten Teil eines älteren Aufsatzes Brouwers (De onbetrouwbaarheid der logische principes; Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 2 [1908]). Für den Intuitionisten ist indes „Widerspruchslosigkeit“ keineswegs gleichbedeutend mit „Existenz“, so wenig „wie ein mit vorgegebenen Untersuchungsmitteln unentdeckbares Verbrechen aufhört ein Verbrechen zu sein“ (Brouwer). Er erkennt sogar an, daß die Anwendung des Prinzips vom ausgeschlossenen Dritten nie zu einem Widerspruch führen kann; das bedeutet für ihn aber keine Ehrenrettung jenes Prinzips und keine Befreiung von der Pflicht, die wirkliche Berechtigung des Prinzips zu prüfen (und innerhalb unendlicher Mengen im allgemeinen zu verneinen). Für den konsequenten Intuitionisten sind daher Hilberts Untersuchungen im entscheidenden Punkte bedeutungslos.
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Fraenkel, A. (1923). Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre. Die axiomatische Methode. In: Einleitung in die Mengenlehre. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 9. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-25900-9_13
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