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Lineare Punktmengen

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Wir wollen uns jetzt des Begriffs der geordneten Menge zu einigen Überlegungen bedienen, die nicht unmittelbar auf die Definition „unendlicher Zahlen“ gerichtet sind. Sie führen uns statt dessen auf anschauliches Gebiet und zeigen, wie die Methoden der Mengenlehre gleich einem Mikroskop von unendlicher Vergrößerung noch Feinheiten unterscheiden lassen, die sich dem Auge des ohne Mengenlehre arbeitenden Geometers vollkommen entziehen.

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Referenzen

  1. 2).
    Um diese mehrfach benutzte umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen allen reellen Zahlen und allen Punkten einer Geraden in aller Strenge zu begründen, muß man, abgesehen von einer vollständigen Theorie der reellen Zahlen (vgl. nachfolgende Fußnote), auch eine geometrische Forderung zugrunde legen, die einer geraden Linie eine genügend starke Besetzung mit Punkten garantiert. Neben Dedekind (vgl. nachfolgende Fußnote) hat auch Cantor sich mit dieser Frage frühzeitig beschäftigt: Math. Ann. 5 (1872), 128. Man vergleiche etwa die Darstellung bei Loewy (Zitat von S. 16), S. 188–191, wo man auch weitere Literaturangaben findet, zu denen noch Hölders Aufsatz in den Berichten der math.-phys. Klasse d. Sachs. Ges. d. Wiss. 1901, bes. S. 30, hinzugefügt sei.Google Scholar
  2. 1).
    Der für die Grundlegung der Arithmetik (Theorie der irrationalen — d. h. der [reellen] nicht rationalen — Zahlen) wie auch der Geometrie überaus wichtige Begriff des „Schnittes“ ist von Dedekind in seiner Schrift „Stetigkeit und irrationale Zahlen“ (Braunschweig 1872, 4. Aufl. 1912) eingeführt worden. Unabhängig von Dedekinds Schnitttheorie hat im nämlichen Jahre (Math. Ann 5, 123 ff.) Cantor seine Ideen über den Begriff der Fundamentalreihe entwickelt, auf den er die Theorie der irrationalen Zahlen gründet und der ihm — wie oben im Text der Begriff des Schnittes — als methodisches Werkzeug zur Untersuchung der Punktmengen dient. Trotz der bequemeren Anwendbarkeit der Cantorschen Methode ist hier der Auffassung Dedekinds um ihrer begrifflichen Einfachheit willen der Vorzug gegeben. Für eine vergleichende Betrachtung der beiden Theorien (sowie einer dritten, von Weierstraß herrührenden) in ihrer Verwendung zur Definition der Irrationalzahlen vergleiche man Cantor, Grundlagen, S. 21–27, sowie die S. 16, Fußnote, angeführte Literatur.Google Scholar
  3. 1).
    Zu dieser Definition vgl. die folgende Fußnote.Google Scholar
  4. 1).
    Diese Tatsache ist geometrisch nicht beweisbar; vielmehr pflegt man sie, da sie unserer Anschauung vom Wesen einer „kontinuierlichen“ geraden Linie zu entsprechen scheint, postulatorisch in den Begriff der eine gerade Linie erfüllenden Punktmenge aufzunehmen (vgl. S. 105, Fußnote 2). Dagegen wird die entsprechende Tatsache für die Menge der reellen Zahlen beweisbar, falls man durch Definition den Begriff der reellen Zahl entsprechend weit faßt, so weit nämlich, daß sich die obige Tatsache für die Menge aller reellen Zahlen (evtl. zwischen zwei festen Zahlen) nachweisen läßt (vgl. die Darstellung in den auf S. 33 genannten Schriften Loewys und Knopps). Betrachtet man also die gerade Linie nicht eigentlich als geometrisches Gebilde, sondern als Abbild der Gesamtheit der reellen Zahlen (Zahlengerade), so wird die obige Tatsache in dem angegebenen Sinne beweisbar.Google Scholar
  5. 1).
    Dieser erste Fall kann übrigens, wie man unschwer einsieht, überhaupt nicht eintreten; wir werden aber von dieser Tatsache keinen Gebrauch machen.Google Scholar
  6. 2).
    Punktmengen dieser Art sind zuerst von H. J. St. Smith (Proc. of the London Math. Soc., (1) 6 [1875], 147 f.) und seitdem vielfach behandelt worden.Google Scholar
  7. 1).
    Vgl. Cantor, Beiträge I, S. 504–506.Google Scholar
  8. 2).
    Für die historischen und grundsätzlichen Gesichtspunkte vergleiche man Cantor, Grundlagen, § 10. Die folgende Stelle daraus, die sich an eine Skizze der Geschichte unseres Problems im Altertum und Mittelalter anschließt, sei hier angeführt: „. . . Hier sehen wir den mittelalterlich-scholastischen Ursprung einer Ansicht, die wir noch heutigentages vertreten finden, wonach das Kontinuum ein unzerlegbarer Begriff oder auch, wie andere sich ausdrücken, eine reine aprioristische Anschauung sei, die kaum einer Bestimmung durch Begriffe zugänglich wäre; jeder arithmetische Determinationsversuch dieses Mysteriums wird als ein unerlaubter Eingriff angesehen und mit gehörigem Nachdruck zurückgewiesen; schüchterne Naturen empfangen dabei den Eindruck, als ob es sich bei dem „Kontinuum“ nicht um einen mathematisch-logischen Begriff, sondern viel eher um ein religiöses Dogma handle. Mir liegt es sehr fern, diese Streitfragen wieder heraufzubeschwören, auch würde mir zu einer genaueren Besprechung derselben in diesem engen Rahmen der Raum fehlen; ich sehe mich nur verpflichtet, den Begriff des Kontinuums, so logisch nüchtern wie ich ihn auffassen mufi und in der Mannichfaltigkeitslehre ihn brauche, hier möglichst kurz und auch nur mit Rücksicht auf die mathematische Mengenlehre zu entwickeln. Diese Bearbeitung ist mir aus dem Grunde nicht leicht geworden, weil unter den Mathematikern, auf deren Autorität ich mich gern berufe, kein einziger sich mit dem Kontinuum in dem Sinne genauer beschäftigt hat, wie ich es hier nötig habe.“Google Scholar
  9. 1).
    Man kann an Stelle von „perfekt“ auch „stetig“ setzen, ohne daß sich dadurch etwas an den im nächsten Absatz angeführten Tatsachen ändert. Cantor hat mit „perfekt“ operiert.Google Scholar
  10. 1).
    Bei der gewöhnlichen Definition der abgeschlossenen Menge (vgl. Fußnote 2 auf S. 112) ist diese zweite Eigenschaft von selbst in der ersten eingeschlossen.Google Scholar
  11. 2).
    Cantor, Beiträge I, S. 510–512.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1923

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität MarburgDeutschland

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