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Grundlagen der Halbleiterphysik

  • Eberhard Spenke

Zusammenfassung

In den vorausgegangenen fünf Vorträgen haben wir im Interesse des hauptsächlich an den Anwendungen interessierten Lesers darauf verzichtet, in jedem einzelnen Fall die benutzten Begriffe und Lehrsätze wirklich von den Grundlagen der Halbleiterphysik aus zu entwickeln. Der Physiker, der sich auf längere Sicht dem Halbleitergebiet verschreibt, wird aber doch wissen wollen, was in der modernen Festkörperphysik zwangsläufig aus physikalischen Grundgesetzen folgt und was darüber hinaus auf Hypothesen und vereinfachenden Annahmen beruht. Die folgenden Grundlagenkapitel VI bis X sollen in dieser Beziehung eine Hilfe sein.

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Literatur

  1. 1.
    Heisenberg, W.: Z. Phys. Bd. 49 (1928) S. 619.Google Scholar
  2. 2.
    Hylleraas, E. A.: Z. Phys. Bd. 63 (1930) S. 771.Google Scholar
  3. 3.
    Landsxoff, R.: Z. Phys. Bd. 102 (1936) S. 201; Phys. Rev. Bd. 52 (1937) S. 246.Google Scholar
  4. 1.
    Siehe hierzu F. Smöckmann: Z. phys. Chem. Bd. 198 (1951) S. 215.Google Scholar
  5. 1.
    Deshalb brauchen wir auch nicht auf die verfeinerten Näherungsmethoden von S. C. Wang, Phys. Rev. Bd. 31 (1928) S. 579, oder von E. Hylleraas • Z Phys. Bd. 71 (1931) S. 739, oder von H. M. James u. A. S. Coolidge: J. Chem. Phys. Bd. 1 (1933) S. 825, einzugehen.Google Scholar
  6. 2.
    Es handelt sich hier nicht mehr um das ursprüngliche SchröDingexsche Störungsverfahren, bei dem sich das behandelte Problem von einem streng lösbaren Problem nur um eine kleine Störung unterscheidet und die Lösung des gestörten Problems nach den Eigenfunktionen des ungestörten Problems entwickelt wird. Dies ist ein im Prinzip unendliches Verfahren, das wenigstens theore - tisch einer beliebigen Verfeinerung fähig ist und im Fall der Konvergenz beliebig genaue Resultate liefern würde. Die oben zu schildernden Verfahren sind vielmehr spezielle Durchführungen einer endlichen Prozedur. Der historische Ausgangspunkt dafür ist die sogleich zu besprechende Behandlung des Wasserstoffmoleküls von W. Heitler und F. London: Z. Phys. Bd. 44 (1927) S. 455. Das allgemeine Schema wurde von J. C. Slater: Phys. Rev. Bd. 38 (1931) S. 1109 angegeben. Siehe hierzu auch F. Hund in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd Xxiv, Tl. 1. Berlin: Springer 1933. S. 572ff.Google Scholar
  7. 3.
    Ein Beispiel dafür, wie durch die Vertauschung von 2 Koordinaten oder Freiheitsgraden eine nicht identische Eigenfunktion mit gleicher Schwingungszahl entstehen kann, sind die EigenfunktionenGoogle Scholar
  8. 1.
    Der interessierte Leser wird auf F. Humn in Geiger/Scheel, Bd Xxiv, TI. 1, S. 572f. verwiesen.Google Scholar
  9. 2.
    Daß hier die in den Ortskoordinaten der Elektronen symmetrische Eigenfunktion beibehalten wird und nicht aus der Betrachtung ausgeschieden wird, ist nur scheinbar ein Verstoß gegen das Pault-Prinzip. Die von diesem geforderte Beschränkung auf die in den Elektronenkoordinaten antisymmetrische Eigenfunktion erfordert die Mitberücksichtigung des Elektronenspins, was wenigstens formal durch Einführung von Spinvariablen a und Spinfunktionen. a (a) und ß (a) geschehen kann. Siehe hierzu H. A. Bethe in Geiger/Scheel, Bd. Xxiv, Tl. 2, S. 587/598.Google Scholar
  10. 1.
    Hund, F.: Z. Phys. Bd. 51 (1928) S. 759; Bd. 63 (1930) S. 719.Google Scholar
  11. 2.
    Mulliken, R. S.: Phys. Rev. Bd. 32 (1928) S. 186, 761; Bd. 33 (1928) S. 730.Google Scholar
  12. 1.
    Das ist zweifellos eine gedankliche Härte in unserem Vorgehen; denn ein - gangs wurde ja festgestellt, daß die Hund-MuLlikensche Näherung gerade dem Fall dicht benachbarter Kerne entsprechen soll. Nun ergibt sich aber in diesem Grenzfall für die Eigenfunktion des Molekülions kein einfacher Zusammenhang mit den atomaren Eigenfunktionen yAt (ra) bzw. 7VAt (re,), und dieser Zusammenhang ist uns hier wegen des beabsichtigten Vergleiches mit den Ergebnissen von Heitler-London wichtiger als die Erzielung numerisch möglichst genauer Ergebnisse. Deshalb greifen wir auf den für großen Kernabstand geltenden Näherungsausdruck (VI 2.01) bzw. (VI 2.02) für die Eigenfunktion des Molekülions zurück.Google Scholar
  13. 2.
    Wasserstoffproblem, Grundzustand !Google Scholar
  14. 2.
    Dies ist auch schon ohne Rechnung anschaulich verständlich. Die Symmetrie-Ebene zwischen beiden Kernen ist ein Gebiet (verhältnismäßig) hohen Potentials. Beim Vorliegen der antisymmetrischen Eigenfunktion ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons auf der Symmetrie-Ebene selbst gleich Null (wegen rai = rbi) und in der Umgebung der Symmetrie-Ebene gering. Die in diesen Gebieten bei der symmetrischen Eigenfunktion entstehenden großen negativen Beiträge zur potentiellen Energie fallen also bei den antisymmetrischen Eigenfunktionen aus und die Gesamtenergie wird weniger stark abgesenkt. Deshalb gehört zur symmetrischen Eigenfunktion der Grundzustand mit der tieferen Energie und zur antisymmetrischen Eigenfunktion bereits ein angeregter Zustand mit höherer (also weniger negativer) Energie. Die symmetrische Eigenfunktion (VI 2.01) stellt also einen „bindenden Zustand“, die antisymmetrische Eigenfunk-tion (VI 2.02) also einen „lockernden Zustand” dar.Google Scholar
  15. 1.
    Den aus (VI 1.04) für u-=-9.)=y+ ganzen Eigenfunktion lassen wir weg, da rungsvorschriften doch wieder ändern wGoogle Scholar
  16. 2.
    Hier werden zum Schluß Faktoren — lassen.Google Scholar
  17. 1.
    Siehe J. D’Ars u. E. Lax • Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 113. Berlin: Springer 1943.Google Scholar
  18. 2.
    Siehe J. D’Ars u. E. Lax: Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 116. Berlin: Springer 1943.Google Scholar
  19. 1.
    Siehe H. A. Betre in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd Xxiv, Tl. 1, S. 541.Google Scholar
  20. 2.
    Siehe hierzu F. STÖCkmann • Z phys. Chem. Bd. 198 (1951) S. 215.Google Scholar
  21. 1.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794 (Natrium). — Millman, J.: Phys. Rev. Bd. 47 (1935) S. 286 (Lithium). — Seitz, F.: Phys. Rev. Bd. 47 (1935) S. 400 (Lithium). — Krutter, H. M.: Phys. Rev. Bd. 48 (1935) S. 664 (Kupfer). — Huvn, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d. Wiss., math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. S. 325 (Diamant). — Kimball, G. E.: J. chem. Physics Bd. 3 (1935) S. 560 (Diamant.) — Shockley, W.: Phys. •Rev. Bd. 50 (1936) S. 754. (NaC1). — Ewing, D. H., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 50 (1936) S. 760 (LiF und LiH). — Herring, C., U. A. G. Hill • Phys. Rev. Bd. 58 (1940) S. 132 (Beryllium).Lage, F. G. Von Der, u. H. A. Betre: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 612 (Natrium).Google Scholar
  22. 2.
    Das Aufelektron bewegt sich also streng genommen gar nicht in einem festen Potential, sondern in einem „Motiv“, wie wir es von der Behandlung der Bildkraft beim Austritt von Elektronen aus einem glühenden festen Körper her kennen. Siehe z. B. Artikel W. Schottky in Wien/Harms: Handbuch der Experimentalphysik. Bd. Xiii, Tl. 2, S. 254. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft 1928.Google Scholar
  23. 3.
    Boer, J. H. DE, u. E. J. W. Verwey: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1935) S. 59. — Schottky, W.: Z. Elektrochem. Bd. 45 (1939) S. 33, namentl. S. 57. — Dressnandt, H.: Z. Phys. Bd. 115 (1940) S. 369. — Wagner, C.: Phys. Z. Bd. 36 (1935) S. 721, auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 327. — Wagner, C., u. E. Koci: Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 32 (1936) S. 439. — Peierls, R.: Proc. Phys. Soc. London Bd. 49 (1937) S. 72.Google Scholar
  24. 1.
    Krox1G, R. nE L., u. W. G. Penney: Proc. roy. Soc., Lond. Bd. 130 (1931) S. 499. — Morse, P. M.: Phys. Rev. Bd. 35 (1930) S. 1310. - Strutt, M. J. O.: LamÉsche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik und Technik. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 1. Bd., 3. Heft. Berlin: Springer 1932.Google Scholar
  25. 2.
    Die Dinge liegen ähnlich wie bei dem in § 1 des vorigen Vortrags besprochenen Zwei-Zentren-Ein-Elektronenproblem, das in dem speziellen Fall, daß es sich bei den zwei Zentren um Wasserstoffkerne mit rein CouLoMnschem Potential handelt, streng gelöst werden kann. Trotzdem zogen wir es vor, eine Näherungslösung zu benutzen, weil dies für den Vergleich mit dem Heitlzr-London-Verfahren fruchtbarer war.Google Scholar
  26. 1.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 34 (1929) S. 1293.Google Scholar
  27. 1.
    Hier liegen typische Beispiele vor für solche Feststellungen, die für sich allein genommen keinerlei physikalische Bedeutung haben, da sie selbst die willkürliche Zellenzahl G des Grundgebietes enthalten. In Verbindung mit anderen Überlegungen werden sie aber zu Aussagen führen, in denen das willkürliche G nicht mehr vorkommt und die dann von sehr großer physikalischer Bedeutung sind. Siehe z. B. S. 169, Fußnote 1 oder S. 253–254 Gl. (Vii 10.07) bis (Vii 10.09) oder S. 272–273, Ableitung von Gl. (Viii 1.07).Google Scholar
  28. 1.
    Die tiefere Rechtfertigung dieses Vorgehens liegt darin, daß man auf diese Weise die im Sinne eines RiTZschen Verfahrens beste Lösung eines Variationsproblems erhält, das mit der ScmtönInger-Gleichung äquivalent ist. Siehe hierzu z. B. F. Hund in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. Xxiv, Tl. 1, 5.575. Berlin: Springer 1933.Google Scholar
  29. 1.
    In den gegenüber dem Normierungsintegral fehlenden Gebieten oc < x < — a und + —2 < x < + pc entstehen wegen des starken Abklingens von yAt(x) keine wesentlichen Beiträge mehr.Google Scholar
  30. 2.
    In Abb. Vii 2.6 ist die Schlußweise von Bloch lediglich bildlich veranschaulicht. Ob die Verhältnisse in einem konkreten Fall so liegen, daß diese Schluß-weise quantitativ gerechtfertigt ist, bleibe dahin gestellt. Eine’ Prüfung dieser Frage führt auf die recht schwierige Untersuchung des Verlaufs des Gitterpotentials und müßte z. B. auch die Fälle unterscheiden, ob es sich bei dem Aufelektron um ein Valenzelektron der äußersten Schale oder um ein stark gebundenes Elektron der inneren Schalen handelt. Gerade bei dem letztgenannten Fall scheint es aber wieder fraglich, ob nicht an Stelle des HuNn-MuLlikzN-Verfahrens besser eine Hettler-LoNnoN-Näherung anzuwenden wäre. Es muß an dieser Stelle betont werden, daß es sich bei der BLocxschen Näherung um die historisch erste Behandlung von Kristallelektronen handelt, bei der viel mehr Wert auf die qualitativen Züge zu legen ist, während den Ergebnissen kaum eine quantitative Bedeutung beigelegt werden kann.Google Scholar
  31. 1.
    Das Entscheidende bei der Verifikation ist natürlich, daß in dem Wert (Vii 2.22) die Gleichungsnummer r nicht mehr vorkommt, d. h. daß mit ein und demselben E-Wert alle Gleichungen des unendlichen Gleichungssystems (Vii 2.21) durch das WertesystemGoogle Scholar
  32. 1.
    Siehe hierzu beispielsweise S. FLÜGge u. H. Marschall: Rechenmethoden der Quantentheorie. S. 162/164. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1947; oder auch H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd Xxiv, TI. 1, S. 335. Berlin: Springer 1933. Dort auch Näheres über die Bedeutung der Austauschenergie für die Platzwechselhäufigkeit.Google Scholar
  33. 1.
    In dieser Form ist die Aussage von der willkürlichen Zellenzahl G des Grundgebiets unabhängig und wird dadurch erst physikalisch bedeutungsvoll.Google Scholar
  34. 2.
    Dies wird erst in § 10 angegriffen werden.Google Scholar
  35. 1.
    Wie bei der Verwendung dieser Aussage in Kap. Viii, § 1 das Volumen des willkürlichen Grundgebietes herausfällt, s. S. 272–273 Ableitung von Gl. (Viii 1.07).Google Scholar
  36. 2.
    Siehe z. B. H. A. Betre in Geiger/Scheel: Bd. Xxiv, Tl. 2, S. 401/404.Google Scholar
  37. 3.
    Näheres zu diesem Begriff s. S. 259–261.Google Scholar
  38. 1.
    H. A. Bethe gibt in Geigerscheel, Bd. Xxiv, Tl. 2, S. 397 eine Formel (12.17) für das Energiespektrum eines Gitters mit Basis an, bei der offenbar auf den oben erwähnten Umstand keine Rücksicht genommen worden ist.Google Scholar
  39. 2.
    Siehe aber Fußnote 2 auf S. 182.Google Scholar
  40. 3.
    Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die ausgezeichneten Darstellungen von P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. Berlin: Springer 1923 und in Geiger-Scheel: Handbuch der Physik. Bd. Xxiii, Tl. 2.Google Scholar
  41. 1.
    Oder in Sonderfällen in der 4. Zone.Google Scholar
  42. 2.
    Eine sehr anschauliche Einführung der Mu.,LEaschen Indices gibt P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 20 u. 26. Berlin: Springer 1923.Google Scholar
  43. 1.
    Beweis s. z. B. P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 249/250. Berlin: Springer 1923. Für einen von Ewald ohne Beweis benutzten zahlentheoretischen Satz s. z. B. B. L. Van Der Waerder: Moderne Algebra. 1. Teil, S. 61. Berlin: Springer 1937 oder Arnold Scholz: Einführung in die Zahlentheorie, Sammlung Göschen, Bd. 1131 (1939) S. 22.Google Scholar
  44. 2.
    Wir haben zu Beginn dieses § 3 und in Abb. Vii 3.1 als Objekte der Brillouluschen Näherung Elektronen hoher Gesamtenergie angegeben. Da sich aber ein Elektron in einem Gebiet ortsunabhängiger potentieller Energie wie ein freies Elektron benimmt, werden die für gebundene Elektronen charakteristischen Eigenschaften durch die örtlichen Schwankungen der potentiellen Energie hervorgerufen. Schwach gebundene Elektronen sind hiernach solche, die sich in einem annähernd konstanten Potentialfeld bewegen und tatsächlich ist die entscheidende Näherungsannahme bei Brillouin die, daß der TVeehselanteil der potentiellen Energie als kleine Störung betrachtet werden darf.Google Scholar
  45. 3.
    Siehe Fußnote 3 auf Seite 183.Google Scholar
  46. 1.
    Um auf die Darstellung Vii 3.10b zu kommen, muß man in diesem Störungsverfahren von zwei durch die Rechnung gelieferten Eigenwerten jeweils einen unterdrücken, wofür eigentlich gar keine Veranlassung besteht.Google Scholar
  47. 1.
    Unsere räumliche Darstellung dieses zweidimensionalen Falles entspricht also der Abb. Vii 3.10b des eindimensionalen Falles Man darf sich aber dadurch nicht zu dem Irrtum verleiten lassen, daß die Möglichkeit der Darstellung Vii 3.10 c eine besondere Eigentümlichkeit des eindimensionalen Falles wäre. Bereits auf S. 170 und in Abb. Vii 2.9 wurde darauf hingewiesen, daß auch in mehrdimensionalen Fällen der Übergang von dem Wellenvektor t zu einem Wellenvektor t 27t 1) möglich ist, ohne daß sich Eigenfunktion und Eigenwert ändert.Google Scholar
  48. 1.
    Floquet, G.: Ann. Ecole norm. Bd. 12 (1883) S. 47.Google Scholar
  49. 2.
    Kramers, H. A.: Physica, Haag Bd. 2 (1935) S. 483.Google Scholar
  50. 1.
    Wigner, E., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 43 (1933) S. 804.Google Scholar
  51. 2.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794.Google Scholar
  52. 1.
    Herring, C., u. A. G. Hill: Phys. Rev. Bd. 58 (1940) S. 132.Google Scholar
  53. 2.
    Siehe Fußnote 1 auf S. 153.Google Scholar
  54. 3.
    Als solche müßten sie ja reine Exponentialfunktionen e sein. Der gitterperiodische Faktor u(r; f) stört also in diesem Zusammenhang. Nur bei einem freien Elektron ist u(r; t) = const = A und ty (r) = A e9 ï r sowohl Eigenfunktion der Gesamtenergie wie des Impulses. Das ist in diesem Sonderfall möglich, weil wegen Epot = const beim freien Elektron die Operatoren der Gesamtenergie und des Impulses vertauschbar sind. Beim freien Elektron ist also zufälligerweise ein Zustand scharf definierter Gesamtenergie auch ein Zustand scharf definierten Impulses. Siehe hierzu vielleicht E. FuEs in Wien/Harms Handbuch der Experimentalphysik, Ergänzungswerk. S. 212. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1935, und H. A. Kramers• Die Grundlagen der Quantentheorie in Eucken-Wolf: Hand-und Jahrbuch der Chemischen Physik. S. 138 u. 162. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1938.Google Scholar
  55. 1.
    Die Gültigkeit der Vertauschungsregel bei einem HEnstrTEschen Operator ist nämlich an gewisse Eigenschaften der vertauschten Funktionen gebunden, was nicht immer beachtet wird. Der Impulsoperator ~Jpp = dx beispielsweise ist zwar Hermitesch. Die Beziehung beruht aber auf einer partiellen Integration: Sie gilt in der benutzten einfachen Form nur, wenn verschwindet. Das ist bei den meisten quantenmechanischen Problemen der Fall, weil dort nur Funktionen f und g betrachtet werden, die an den Grenzen xl und x2 verschwinden. Bei den Problemen des periodischen Potentialfeldes fällt diese Differenz aus einem andern Grund, nämlich wegen der Periodizität im Grund.Google Scholar
  56. 1.
    Da es sich aber um den quantenmechanischen Mittelwert handelt, kann bei einer Einzelmessung der betreffenden Impulskomponente auch in einem Zustand an der Bandgrenze durchaus ein von Null verschiedener Wert herauskommen. Im Mittel müssen bei vielen Messungen aber gleich große positive und negative Werte gleich häufig anfallen. Der quantenmechanische Mittelwert der kinetischen Energie ist dagegen in einem Zustand an der Bandgrenze keineswegs Null. Bei dieser Mittelung werden nämlich Meßergebnisse gemittelt, während bei den Impulsmessungen px selbst gemittelt wird und sich demgemäß positive und negative Werte kompensieren können. Diese Dinge hängen mit der Möglichkeit zusammen, die an der Bandgrenze zur stehenden Welle werdende i-Funktion durch Úberlagerung von gleich vielen nach rechts und nach links laufenden ebenen Wellen darzustellen.Google Scholar
  57. 2.
    Sommerfeld, A.: Atombau und Spektrallinien. Bd. II, S. 8, Gl. (14). Braunschweig: Vieweg & Sohn 1944. — Siehe auch W. Shockley: Electrons and holes in Semiconductors. S. 160, Fig. 6.2. New York: Van Nostrand Company 1950.Google Scholar
  58. 1.
    Hierfür würde dann die Gl. (Vii 6.17) gebraucht. Die obige Darstellung folgt übrigens W. V. Houston in Phys. Rev. Bd. 57 (1940) S. 184. In diesem Zusammenhang sind noch zu nennen: F. Bloch: Z. Phys. Bd. 52 (1928) S. 555; R. Peierls: Z. Phys. Bd. 53 (1929) S. 255; H. A. Bettie im Handbuch der Physik. Bd. Xxiv, Tl. 2, S. 507; H. Jones u. C. ZEnna: Proc. roy. Soc., Lond. Bd. 144 (1934) S. 101–117; J. C. Slater, Rev. Modern Phys. Bd. 6 (1934) S. 209, namentlich S. 259; A. H. Wilson: The Theory of Metals. Cambridge: Univ. Press. 1935. In den Büchern von FRÖHlich, Seitz und Mott-Jones wird für (Vii 6.12) ein sehr einfacher Beweis mit Hilfe eines Energiesatzes gegeben. Wir befürchten allerdings, daß bei diesem sehr einfachen Beweis ein sehr wichtiger Teil der zu beweisenden Tatsache — nämlich die dauernde Repräsentation des Kristallelektrons durch eine Lösung (r; f) dor zusatzkraftfreien stationären SchrÖDinger-Gleichung — bereits in die Formulierung dieses Energiesatzes gesteckt wird und die weiteren dortigen Ausführungen nur die Art der Zeitabhängigkeit von f präzisieren. Ein weiterer Einwand gegen diese Art der Beweisführung s. W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 424, 425. New York: Van Nostrand Co. 1950. Zu diesem ganzen Fragenkomplex s. auch D. Pfirscn u. E. Spenke: Z. Phys. Bd. 137 (1954) S. 309.Google Scholar
  59. 1.
    In dieser Allgemeinheit gilt diese scheinbar so selbstverständliche Aussage nicht. In dreidimensionalen Gittern können an den Bandgrenzen recht komplizierte Verhältnisse auftreten. Wir erwähnten das schon auf S. 170 Mitte in Hinweis auf das kubisch-flächenzentrierte Gitter.Google Scholar
  60. 2.
    Wir wollen darauf hinweisen, daß der Übergang von den positiven effektiven Massen im unteren Teil des Bandes zu den negativen Massen des oberen Teils des Bandes nicht über meff = 0, sondern über meet = co geht Man beachte aber, daß diese Aussage nur far jeweils eine Koordinatenrichtung, beispielsweise die x-Richtung gilt. Im dreidimensionalen Fall muß man berücksichtigen, daß ein Elektron mit der dazugehörigen speziellen Energie nur auf eine rein in x-Richtung wirkende Kraft wegen meff = oo nicht reagiert, dagegen im allgemeinen in der y-und z-Richtung endliche effektive Massen haben wird. Die obersten Elektronen eines „halbgefüllten“ Bandes werden also niemals auf Kräfte beliebiger Richtung nicht reagieren, sondern diese Unfähigkeit zu Geschwindigkeitsänderungen tritt höchstens für spezielle Richtungen ein.Google Scholar
  61. 1.
    ZExER, C.: Proc. roy. Soc., Lond. A Bd. 145 (1934) S. 523.Google Scholar
  62. 1.
    Zur Erläuterung des Begriffes der Kristallenergie EKristall des Elektrons bemerken wir, daß die Gesamtenergie des Kristallelektrons teils kinetischer und teils potentieller Natur ist. In der potentiellen Energie können wir wieder den Anteil unterscheiden, der vom Gitterpotential U(x) herrührt, und den Anteil, der von der äußeren Kraft F herrührt. Wir fassen nun die kinetische Energie des Kristallelektrons und den potentiellen Energieanteil, der von dem Gitterpotential herrührt, zur „Kristallenergie EKrlstalt des Elektrons“ zusammen, da dieser Anteil der Gesamtenergie E einfach davon herrührt, daß das Elektron im Kraftfeld des Kristalls einen gewissen Quantenzustand besetzt. Liegt an dem Kristall eine äußere Kraft F, so muß sich die Kristallenergie des Elektrons am Punkte x = 0 und am Punkte x um den Betrag F•x unterscheiden, damit die Differenz der vom äußeren Kraftfeld gelieferten potentiellen Energie gerade wieder ausgeglichen wird und die Gesamtenergie E des Elektrons in allen Intervallen denselben Wert hat, wie es bei einer Lösung des stationären Problems (Vii 7.02) der Fall sein muß. Die Aufteilung der Gesamtenergie E in einen von der äußeren Kraft F gelieferten Energieanteil —F•x und in die Kristallenergie EKrtstan ist natürlich nur deshalb sinnvoll, weil die in Frage kommenden Kräfte gegenüber den Gitterkräften so klein sind, daß —F.r verglichen mit den schnellen Schwankungen von — e U (x) nur äußerst langsam variiert. Es handelt sich also bei U (x) um ein Mikro-, 1 bei um ein Makropotential. In Kap. X wird diese Unterscheidung von größerer Bedeutung werden. Wir unterscheiden deshalb schon in der Bezeichnungs.Google Scholar
  63. 1.
    Die Abb. Vii 3.10 bis 3.12 wurden bisher immer aufgefaßt als Darstellungen der Abhängigkeit der Kristallenergie E von der Wellenzahl k. Genau so stellen sie aber die Umkehrfunktion -- Wellenzahl k in Abhängigkeit von der Kristallenergie EKristan — dar.Google Scholar
  64. 1.
    Mit einer ähnlichen Begründung ließe sich auch die Lösung u (x;k (x)) e k (x) • x rechtfertigen. Gegenüber dem ZEuunschen Ansatz (Vii 7.03) hätte diese Lösung aber den Nachteil, daß für die Phasendrehung zwischen einem beliebigen Punkte x = x1 und dem Punkte x = 0 beispielsweise der Wellenvektor nur an einer Stelle, nämlich x = x1 maßgebend wäre. Bei der ZExERschen Näherung (Vii 7.03) wird dagegen durch die Integralform des Exponenten I f k (x) dx dafür gesorgt, x = O daß für das Fortschreiten der Phase an jeder Stelle des Intervalls 0 x1 der gerade an dieser Stelle maßgebende Wellenvektor eingeht.Google Scholar
  65. 1.
    Im übrigen ist die ZExERsche Näherungslösung die sinngemäße Übertragung des sogenannten WentzEL-Kramers-Brillouin-Verfahrens auf den Fall des Kristallelektrons. Die ZEuERsche Lösung entspricht dem nullten Schritt eines W.-K.-B.-Verfahrens. Bezüglich des W.-K.-B.-Verfahrens s. z. B. W. Weizel• Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II, S. 1010. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  66. 1.
    Hier setzt eine Kritik von F. Cerniiscri ein. Proc. Cambridge Phil. Soc. Bd. 32 (1936) S. 276. 2Google Scholar
  67. 2.
    Bei Zener heißt es hier fälschlicherweise aZa vor der Wurzel. Das Zenersehe Endergebnis ist aber wieder richtig.Google Scholar
  68. 1.
    Auf S. 205 wurde bereits festgestellt, daß eine Weiterverfolgung der im vorigen § 6 wiedergegebenen Ansätze von Houszox auch die Frage der Zenerübergänge beantworten muß. Houston selbst hat auf diese Weise ein von (Vii 7.08) um den Faktor (2:02 abweichendes Ergebnis erhalten. Tatsächlich liefert dieser Weg aber ebenfalls das ZExERsche Ergebnis (Vii 7.08) bis auf den gänzlich unwesentlichen Faktor (3)2. Das ist namentlich deswegen befriedigend, weil die ZExERsche Rechnung in mancher Beziehung nicht völlig überzeugt. Z. B. geht der ZExERsche Ansatz (Vii 7.03) im Gegensatz zu den HousToNschen Ansätzen des § 6 beim Grenzübergang von einem Kristallelektron zu einem freien Elektron (Amplitude der Potentialschwankungen 0) nicht in eine strenge Lösung über, wie man beim Versuch einer Verifikation ohne weiteres feststellt. Damit dürfte zusammenhängen, • daß in den Zenerschen Betrachtungen eine an der oberen Bandgrenze reflektierte Welle gar nicht auftritt.Google Scholar
  69. 1.
    Franz, W.: Ergebn. exakt. Naturw. Bd. 27 (1953) S. 16, 01. (34).Google Scholar
  70. 2.
    Siehe H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. Xxiv, T1. 2, S. 439, Gl. (19.12) u. (19.13).Google Scholar
  71. 1.
    FRÖHlich, H.: Elektronentheorie der Metalle. S. 44 unten, Gl. (24), Bd. Xviii der Sammlung Struktur und Eigenschaften der Materie in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer 1936.Google Scholar
  72. 1.
    Siehe z. B. K. B. Mcafee, E. J. Ryder, W. Shockley, M. Sparks: Phys. Rev. Bd. 83 (1951) S. 650. In Gl. (1) dieser Arbeit ist allerdings der Exponent um einen Faktor 2 zu groß. Es handelt sich dabei anscheinend aber nur um einen Druckfehler; denn in der Zahlenwertgleichung (3) loc. cit. hat der Exponent wieder die richtige Größe.Google Scholar
  73. 2.
    Wir haben S. 10ff. u. 16 gesehen, daß in einem isolierenden Kristall ein vollbesetztes und daher nicht leitendes „Valenzband“ und ein leeres „Leitungsband” vorliegt. (Siehe hierzu auch S. 253 ff. und S. 284 ff.) Der isolierende Kristall kann nur dadurch leitend werden, daß Elektronen in das leere Leitungsband gebracht. werden. Dies könnte durch den Zener-Effekt von gewissen Feldstärken ab erfolgen. Da der Effekt mit wachsender Feldstärke sehr plötzlich einsetzt (Abb. Vii 7.3) würde der Kristall oberhalb gewisser Feldstärken sehr plötzlich und in sehr starkem Maße leitend werden, d. h. das Phänomen des „Durchschlags“ zeigen.Google Scholar
  74. 3.
    Siehe auch G. K. McKay u. K. B. Mcafee: Phys. Rev. Bd. 91 (1953) S. 1079 und G. K. McKay: Phys. Rev. Bd. 94 (1954) S. 877.Google Scholar
  75. 4.
    Die Größe h 1 übernimmt also die Rolle eines verallgemeinerten Impulses, weshalb dafür auch in manchen Darstellungen der Name Kristallimpuls gewählt wird (W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 143. Toronto, New York, London: D. Van Nostrand Comp., Inc. 1950.) Für ein freies Elektron wird der quantenmechanische Mittelwert p des Impulses, für den wir ja die Formel p = h-grade E (f) abgeleitet haben, tatsächlich auch identisch mit der Größe h f s. Gl. (Vii 6.31)].Google Scholar
  76. 1.
    Die Situation wird dadurch nicht einfacher, daß die weiter unten wiederzugebende Rechnung für den Fall des elektromagnetischen Wechselfeldes zunächst formal den Grenzübergang „Kreisfrequenz 0“ gestattet und dabei die Übergänge zu Nachbarzuständen desselben Bandes nach wie vor verboten bleiben. Wir werden bei Durchführung der Rechnung nachdrücklich darauf hinweisen, auf Grund welcher Anfangsansätze eine derartige formale Durchführung des Grenzübergangs „Kreisfrequenz —> 0” unzulässig ist. Der Gegensatz mild ert sich aber schon dadurch in gewisser Weise, daß auch ein zeitunabhängiges Feld Übergänge in höhere Bänder auslöst; das wurde bisher allerdings nur bei starken äußeren Feldern beachtet (Zener-Effekt § 7). In letzter Zeit hat sich aber gezeigt, daß diese Übergänge in höhere Bänder auch bei schwachen zeitunabhängigen Feldern für gewisse Fragestellungen berücksichtigt werden müssen. (Siehe D. Pfirsch u. E. Spenke: Z. Phys. Bd. 137 (1954) S. 309.)Google Scholar
  77. 1.
    Hier erscheint vielleicht ein Vergleich der Kreisfrequenz w des Wechselfeldes mit der zum Übergang „Leitungsband Valenzband“ gehörigen Kreisfrequenz E„.j h eher angemessen.Google Scholar
  78. 2.
    Siehe z. B. H. FRÖHlich: Elektronentheorie der Metalle. S. 354 u. 355. Berlin: Springer 1936.Google Scholar
  79. 3.
    Der Einfachheit halber wird im folgenden ein Kristall mit e = 1 und u = 1 zugrunde gelegt. Andernfalls wäre in (Vii 8.02) ein Brechungsexponent n -=-1/ e zu berücksichtigen und (Vii 8.04) müßte uj = rot 91 lauten. Im übrigen ist c = Lichtgeschwindigkeit = 3 • 1010 cm sek-1.Google Scholar
  80. 1.
    Siehe z. B. W. Weizel• Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II, S. 881, G1. (24). Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950. Spenke, Halbleiter.Google Scholar
  81. 1.
    Der zu Beginn des § 6 behandelte Fall des freien Elektrons unter der Wirkung einer äußeren Kraft F ist scheinbar ein Gegenbeispiel. Auch hier enthält die Scunönmozn-Gleichung (Vii 6.06) ein nicht periodisches Glied. Gleichwohl ist die dort durch Verifikation bestätigte Lösung (Vii 6.07) in jedem Zeitmoment t periodisch. Dieses Gegenbeispiel ist trotzdem nicht stichhaltig, da die Periode zeitabhängig ist, während — wie schon oben betont — (Vii 8.09) in jedem Zeitmoment als Periode das feste, unveränderliche Grundgebiet hat.Google Scholar
  82. 2.
    Siehe Anm. 1, Seite 227.Google Scholar
  83. 1.
    Das ist zu Beginn des Vorgangs bestimmt eine Zeitlang der Fall. Diese „Kleinheit der Störung“ bleibt um so länger erhalten, je kleiner die Kraftamplitude F ist.Google Scholar
  84. 1.
    Bei der Absorption von RöNtgen-Strahlen gilt das freilich wegen der kleinen Wellenlänge der RÖNtgen-Strahlen nicht mehr.Google Scholar
  85. 2.
    Außerdem würde bei Elektronengeschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit die in den bisherigen Ausführungen benutzte einfache ScunönucuER-Gleichung nicht mehr ausreichen. Alle abgeleiteten Beziehungen würden sich sowieso relativistisch modifizieren.Google Scholar
  86. 1.
    Siehe hierzu vielleicht: N. Riehl u M. SchÖN: Z. Phys. Bd. 114 (1939) S. 682, namentlich S. 687. — Oder N. Riehl: Physik und technische Anwendung der Lumineszenz. S. 103ff. Bd. Iii der Sammlung Technische Physik in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer 1940.Google Scholar
  87. 2.
    Siehe zu den Begriffen der „Fehlordnung“ und der „Baufehler” Helmut G. F. Winkler: Struktur und Eigenschaften der Krystalle. Berlin/Göttingen/ Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  88. 1.
    Als Stoßpartner dachte man damals naturgemäß an die Gitteratome und die anderen Elektronen. Zu welchen Schwierigkeiten das führte, werden wir später auf S. 239 sehen.Google Scholar
  89. 1.
    Die „mittlere“ Stoßzeit r wäre hiernach gleich dem halben arithmetischen Mittelwert der einzelnen Stoßzeiten Sr-,, r5,, x,;g,…, x~,,,. Ein derartiger im Rahmen dieser rohen Betrachtung gewonnener Faktor 1/2 ist aber nicht ernst zu nehmen. In Wirklichkeit sind viel kompliziertere Mittelbildungen vorzunehmen, bis von einer endgültigen mittleren Stoßzeit x die Rede sein kann, und dabei ändern sich solche Zahlenfaktoren noch mannigfaltig. Für die folgenden skizzenhaften Bemerkungen genügt es, x zunächst einfach mit dem arithmetischen Mittelwert rü zu identifizieren.Google Scholar
  90. 1.
    Die metallischen Beweglichkeiten liegen tatsächlich zwischen 10 und cm2Google Scholar
  91. 1.
    Volt sek ’ Siehe z. B. F. SE1TZ: The Modern Theory of Solids. S. 183. New York: McGraw-Hill Book Company 1940.Google Scholar
  92. 2.
    Zu diesem Wert s. Gl. (Viii 4.09).Google Scholar
  93. 1.
    Bei Germanium sogar bis etwa 500 Gitterkonstanten.Google Scholar
  94. 2.
    Wenn man hier einen Ausweg in der Form sucht, daß die Wirkungssphäre - der Atome bei der Wechselwirkung mit ihren Nachbarn und daher bei den Gitterbindungsfragen viel größer ist als der Wirkungsquerschnitt gegenüber schnellen Leitungselektronen, so ist dies nur eine andere Formulierung des für klassische Vorstellungen unverständlichen Sachverhalts.Google Scholar
  95. 3.
    Pauli, W.: Z. Phys. Bd. 41 (1927) S. 81.Google Scholar
  96. 4.
    Sommerfeld, A.: Naturwiss. Bd. 15 (1927) S. 825; Bd. 16 (1928) S. 374.Google Scholar
  97. 5.
    Pauli machte die Temperaturunabhängigkeit und Schwäche des Paramagnetismus der Alkalien verständlich, Sommerfeld den Ausfall der Leitungselektronen für die spezifische Wärme des Festkörpers (neben anderen Ergebnissen).Google Scholar
  98. 2.
    Bloch, F.: Z. Phys. Bd. 52 (1928) S. 555; Bd. 57 (1929) S. 545. Kurz vorher hatte der Sommerfeld-Schüler W. V. Houston die Streuung der Elektronenwellen analog zur Debyeschen Streuung von RÖNtgen-Strahlen durch die thermischen Dichteschwankungen im Kristall behandelt. Z. Phys. Bd. 48 (1928) S. 09.Google Scholar
  99. 1.
    Gordon, W.: Z. Phys. Bd. 48 (1928) S. 180. — Mott, N. F.: Proc. roy. Soc., Lond. (A) Bd. 118 (1928) S. 542. — Temple, S.: Proc. roy. Soc., Lond. (A) Bd. 121 (1928) S. 673.Google Scholar
  100. 1.
    Beim Vergleich der höchsten akustischen und der niedrigsten optischen Schwingung verwischt sich also der Unterschied zwischen akustischen und optischen Schwingungen, der beim Vergleich tiefer und mittlerer akustischer Schwingungen mit den optischen Schwingungen noch offensichtlich Ist. Siehe im übrigen zu diesen Schwingungstypen ausführlicher z. B. Walter Weizel• Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd.Google Scholar
  101. 1.
    Siehe S. 13–14 u. Abb. I 2.9.Google Scholar
  102. 1.
    Auf der Ordinatenachse der linken Darstellung in Abb. Vii 10.1 ist die Differenz E — EF, nicht die Energie E selbst aufgetragen Man darf sich also durch diese Darstellung nicht zu dem Mißverständnis verleiten lassen, daß die Fermi-Kante temperaturunabhängig wäre. Dies ist zwar bei Metallen annähernd, aber auch nicht streng der Fall. Bei Halbleitern dagegen ist das Fermi-Niveau im allgemeinen sogar stark temperaturabhängig.Google Scholar
  103. 1.
    Vertauschen zwei Elektronen ihre Plätze, so ändert die Eigenfunktion des Mehr-Elektronen-Problems (in nullter Näherung die sogenannte Slater-Determinante) nur ihr Vorzeichen. Das bedeutet aber nicht eine Änderung der „physikalischen Situation“, des Zustandes des Viel-Elektronen-Systems. Das wellenmechanische Äquivalent der „korpuskularen” Behauptung von der Ununterscheidbarkeit der Elektronen ist das Axiom, daß von allen Lösungen der ScuRöDinger-Gleichung eines Vielteilchen-Problems nur die symmetrische oder die antisymmetrische Lösung physikalische Realität haben und deshalb in Betracht gezogen zu werden brauchen. Daß sich von diesem Standpunkt aus die Abzählungsvorschriften der Bose- und der Fermi-Statistik einfach als Abzählung der symmetrischen bzw. der antisymmetrischen Eigenfunktionen eines Viel-ElektronenProblems darstellen, s. z. B. bei L. Nordheim in MÜLler-Pouillet: Lehrbuch der Physik. Bd. IV, Tl. 4, S. 251.Google Scholar
  104. 2.
    Nyquist, H.: Phys. Rev. Bd. 32 (1928) S. 110. Daß wir das mittlere Stromschwankungsquadrat s2 eines kurzgeschlossenen Leiters heranziehen und nicht das mittlere Spannungsquadrat u2 an den Enden eines Leiters mit offenen Klemmen (Leerlauf), ist damit begründet, daß in letzterem Fall eine primäre spontane Schwankung ein elektrisches Feld in dem Leiter erzeugt. Es liegt dann nicht mehr der von uns betrachtete kräftefreie Fall vor. Im übrigen ist für die folgende Argumentation wichtig, daß das Theorem von Nyquist mit thermodynamischen Mitteln bewiesen wird, so daß es von modellmäßigen Voraussetzungen weitgehend frei ist. Es kann also mit voller Beweiskraft auf ein so spezielles Modell wie das Bändermodell eines Isolators angewendet werden.Google Scholar
  105. 1.
    Siehe z. B. J. D’ANs u. E. Lax: Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 164 bzw. 178. Berlin: Springer 1943.Google Scholar
  106. 1.
    Siehe z. B. P. P. Ewald: Kristalle u. Röntgenstrahlen. S. 150. Berlin: Springer 1923.Google Scholar
  107. 2.
    S. 118 des in Fußnote 1 auf S. 259 zitierten Taschenbuches.Google Scholar
  108. 3.
    Genauer: alle und nur alle Gitterpunkte. Siehe hierzu die Ausführungen auf S. 260 unten über das Diamantgitter und die zugehörige Abb. Vii 11.4.Google Scholar
  109. 4.
    Ewald, P. P.: S. 272 des in Fußnote 1 zitierten Werkes.Google Scholar
  110. 1.
    Hund, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d. Wiss. math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. 325, besonders S. 192. Da im einzelnen C-Atom nicht nur zwei 2s-Elektronen, sondern auch zwei 2p-Elektronen vorhanden sind, liegt es nahe, nach der Durchführung der BLocxschen Näherung mit p-Funktionen zu fragen. Hund und MrownA haben sich aber bei Durchführung der BLocxschen Näherung nur auf s-Funktionen beschränkt und ziehen erst bei der Wignerseitzschen Zellularmethode p-Funktionen heran. Gl. (Vii 11.02) gibt also nur die Bandaufspaltung des atomaren 2s-Niveaus wieder und besagt nichts über die Bandaufspaltung des darüber liegenden atomaren 2p-Niveaus.Google Scholar
  111. 1.
    Siehe Anm. 1, Seite 264.Google Scholar
  112. 2.
    Siehe z. B. Artikel A. Sommerfeld u. H. A. Bethe in Geigerscheel: Handbuch der Physik. Bd. Xxiv, Ti. 2, S. 387, Gl. (12.15). Berlin: Springer 1933.Google Scholar
  113. 1.
    Ewald, P. P.: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 91. Berlin: Springer 1923.Google Scholar
  114. 2.
    Die Bedingung dafür ist, daß der „Strukturfaktor“ für die Reflexionen an der Ebenenschar 1) verschwindet. Der Summationsindex t = 1, 2,…, m kennzeichnet in diesem Ausdruck die einzelnen Teilgitter; die m Vektoren rt spannen innerhalb einer Elementarzelle die Basis auf. Siehe z. B. P. P. Ewald, S. 279 des in Fußnote 1 zitierten Werkes.Google Scholar
  115. 3.
    Siehe N. F. MoTT u. H. Jones: Properties of Metals and Alloys. S. 159. Oxford: Clarendon Press 1936.Google Scholar
  116. 1.
    Hund, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d. Wiss. math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. 325. — Kimball, G. E.: J. them. Physics Bd. 3 (1935) S. 560.Google Scholar
  117. 2.
    Großangelegte Untersuchungen über die Bänderstruktur der Diamantgitter hat in den letzten Jahren Herman (Radio Corporation) unternommen. Siehe F. Herman• Phys. Rev. Bd. 88 (1952) S. 1210 und Phys. Rev. Bd. 93 (1954) S. 1214, F. Herman und J. Callaway: Phys. Rev. Bd. 89 (1953) S. 518; F. Herman, J. Callaway u. F. S. Acton: Phys. Rev. Bd. 95 (1954) S. 371.Google Scholar
  118. 3.
    Siehe J. D’ANs u. E. Lax: Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 180.Google Scholar
  119. 4.
    Hiind, F.: Phys. Z. Bd. 36 (1935) S. 725, namentl. S. 728; auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 331, namentl. S. 334.Google Scholar
  120. 1.
    Siehe Anm. 4, Seite 268.Google Scholar
  121. 2.
    Boer, J. H. DE, u. E. J. W. Verwey: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1935) S. 59. — Schottky, W.: Z. Elektrochem. Bd. 45 (1939) S. 33, namentl. S. 57. - Dressnandt, H.: Z. Phys. Bd. 115 (1940) S. 369. — Wagner, C.: Phys. Z. Bd. 36 (1935) S. 721; auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 327. — Wagner, C., u. E. Koma: Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 32 (1936) S. 439. — Peierls, R.: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1937) S. 72. Bei der Bewertung der bisherigen experimentellen Befunde an diesen Verbindungen dürfte man niemals aus den Augen verlieren, daß die Herstellung einwandfreier Proben wegen der Abweichungen von der stöchiometrischen Zusammensetzung, wegen inhomogenen Aufbaues der Proben und wegen des polykristallinen Materials sehr schwierig ist. In den oben erwähnten Fehlschlüssen über den Leitungscharakter des Si und des Ge haben wir aber gesehen, zu welchen fundamentalen Irrtümern Messungen an nicht einwandfreien Proben führen können.Google Scholar
  122. 3.
    Wigner, E., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 43 (1933) S. 804.Google Scholar
  123. 4.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794.Google Scholar
  124. 5.
    Die neuere Entwicklung auf diesem Gebiet findet der Leser zusammengestellt bei G. V. Raynor: Reports an progress in Physics. Bd. XV (1952) S. 173 (Physical Society, London).Google Scholar
  125. 1.
    Dehlinger, U.: Chemische Physik der Metalle und Legierungen. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1939. — Eucken, A.: Lehrbuch der chemischen Physik. Bd. II, Tl. 2. 3. Aufl. Leipzig 1949. — Halla, Franz: Kristallchemie und Kristallphysik metallischer Werkstoffe. Leipzig: Joh. Ambrosius Barth. — Hume-RoTxEry, W.: The structure of metals and alloys. London 1950. (Monograph and report Series of the Institute of Metals. No. 1). — Pauling, L.: The nature of the chemical bond. 2. Aufl. New York/London 1945. — Wells, A. F.: Structural inorganic chemistry. Oxford 1945. — Winkler, H. G. F.: Struktur und Eigenschaften der Krystalle. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  126. 1.
    So wird es verständlich, daß das Emissionsgesetz für ein FEinil-Gas aus dem RIcm hD5Onbchen Emissionsgesetz für ein Maxwell-Gas dadurch hervorgeht, daß man in die für das Maxwell-Gas geltende Gleichung als Konzentration des Gases einfach den durch (Viii 1.04) definierten Wert N und als Tiefe des Potentialtopfes die Differenz zwischen der potentiellen Energie außen und dem Fermi-Niveau EF einsetzt. Bezüglich des Emissionsgesetzes für ein Fermi-Gas siehe z. B. A. Sommerfeld in Geiger/Scheel: Bd. Xxiv, Tl. 2, S. 350, Gl. (413). In dieser Gleichung ist G = 2 zu setzen (loc. cit. S. 337 Mitte). Bezüglich des Richardsonsehen Emissionsgesetzes für ein Maxwell-Gas siehe loc. cit. S. 351, Gl. (4.15).Google Scholar
  127. 1.
    Wir denken hierbei zunächst einmal an die Ortsveränderlichkeit des elektrostatischen Makropotentials, wie wir sie in den Vorträgen IV und V in den Randschichten von Gleichrichtern und p-n-Übergängen kennengelernt haben.Google Scholar
  128. 1.
    Die folgenden Ausführungen lassen sich mit einigen Vorzeichenänderungen auf Defektelektronen übertragen. Siehe S. 359 u. 362.Google Scholar
  129. 1.
    Es ist bei diesen Begriffen nicht üblich, zwischen „Potential“ und „potentieller Energie” zu unterscheiden. In der Mechanik geschieht dies aber auch nicht, und so stellt das Vorgehen in der Elektrostatik gewissermaßen den Sonderfall dar. Im übrigen stammen die Begriffe chemisches und elektrochemisches Potential aus der Thermodynamik. Dort wird die Gleichgewichtsbedingung: elektrochemisches Potential = const aus dem zweiten Hauptsatz abgeleitet. Siehe hierzu W. Schottky u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden in Wien/Harms: Handbuch der Experimentalphysik. Bd. Xiii, Tl. 2, S. 18, Gl. (5). Leipzig: Akad. Verlagsges. 1928.Google Scholar
  130. 1.
    Nernst, W.: Z. phys. Chem. Bd. 2 (1888) S. 613, namentl. S. 615. — Towns-End, J. S.: Trans. roy. Soc., Lond. A Bd. 193 (1900) S. 129, namentl. S. 153. —EinsTErN, A.: Ann. Phys., Lpz. Bd. 17 (1905) S. 549, namentl. S. 554 u. 555.Google Scholar
  131. 2.
    Die Gedankengänge dieser Arbeiten verallgemeinert C. Wagner in Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 11 (1931) S. 139 und vor allem in Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 21 (1933) S. 25, indem er die funktionale Abhängigkeit des chemischen Potentials 4 von der Konzentration offen läßt. Er erhält deshalb auch die Beziehung zwischen der Stromdichte (bzw. Wanderungsgeschwindigkeit) und dem Gradienten des elektrochemischen Potentials in allgemeiner Form [siehe Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 21 (1933) S. 29, Gl. (6)]. Ebenfalls in allgemeiner Form hat W. Schottky in Wiss. Veröff. Siemens-Werk Bd. Xiv Heft 2 (1935) S. 1 [insbesondere S. 4, Gln. (1), (1’), (2), (2’) und S. 12, Gl. (15)] die Proportionalität zwischen der Stromdichte und dem Gradienten des elektrochemischen Potentials gefunden. Das gleiche gilt schließlich für C. Herring und M. H. Nichols in Rev. of Modern Physics Bd. Xxi (1949) S. 185 [insb. S. 196, Gl. (I 6.2)].Google Scholar
  132. 3.
    In Bell Syst. techn. J. Bd. Xxviii (1949) S. 435 behandelt W. Shockley den Fall des Maxwell-Gases und führt hier die elektrochemischen Potentiale der Elektronen und Defektelektronen in Form der „quasi fermi levels“ oder „imrefs” ein, wodurch er die Proportionalität des Gesamtstromes der betreffenden Teilchensorten mit dem Gradienten eines verallgemeinerten Potentials — eben des elektrochemischen Potentials — nachweisen kann (loc. cit. S. 451, Gl. (3.5)).Google Scholar
  133. 1.
    Bezüglich dieses Begriffs s. S. 16–19.Google Scholar
  134. 2.
    Wenn man das Ausfallen des „Valenzbandes“ für die Leitungsvorgänge nicht mit den Überlegungen von S. 253, 254 u. 257 begründet, sondern damit, daß die dieses Band besetzenden Elektronen in den homöopolaren Paarbindungen zu den vier Nachbaratomen fest gebunden sind, so verläßt man mit dieser Begründung eigentlich das Begriffsschema des Bändermodells (der Hund-MuLliken.Näherung) und seht zum atomistischen Bild (Heitler-LoNdon-Näherung) über. Das gleiche gilt, wenn man beispielsweise die Isolatornatur eines NaCl-Kristalls mit der festen Bindung der Elektronen in der M-Schale des Cl-Ions begründet (die ebenfalls vollbesetzte L-Schale des Na+ liegt tiefer, zu ihr gehört also nicht das oberste vollbesetzte Band. Siehe z. B. F. Hum): Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 333, Abb. 3). In einem solchen Schwanken zwischen dem Bändermodell und dem atomistischen Bild ist übrigens nichts Bedenkliches zu erblicken. Man wird im Gegenteil zu einer Aussage des einen Bildes dann besonderes Vertrauen haben dürfen, wenn sie auch durch das andere Bild geliefert wird, wie es hier eben mit dem Ausfall eines vollbesetzten Bandes für die Leitungsvorgänge der Fall ist.Google Scholar
  135. 3.
    Bezüglich des Falles extrem hoher Temperaturen siehe weiter unten S. 288.Google Scholar
  136. 1.
    Bezüglich des in Abb. Viii 4.1 nur schematisch angedeuteten D (E)-Verlaufs s. S. 287, Fußnote 1 und S. 291, Fußnote 2.Google Scholar
  137. 1.
    Es muß aber die Warnung von S. 170 Mitte bzw. S.189 wiederholt werden, daß ea sich bei (Vii 2.23) bzw. (Vii 4.04) bzw. (Viii 4.02) um eine vereinfachende Annahme handelt, die z. B. schon beim kubisch-flächenzentrierten Gitter an einer Bandgrenze (der oberen bei negativem Austauschintegral, der unteren bei positivem Austauschintegral) nicht erfüllt ist. Selbst wenn aber am Bandrand f = fc. die Gl. (Viii 4.02) erfüllt ist, so dürfte weiter oben im Bande eigentlich nicht mehr mit demselben meff gerechnet werden.Google Scholar
  138. 1.
    Aus (Viii 4.03) geht hervor, daß die Hypothese (Viii 4.02) zur Folge hat, daß am Bandrand E = Ec die Zustandsdichte D (E) verschwindet. Nur im linearen Fall trifft dies nicht zu, s. Abb. Vii 2.7 S. 168.Google Scholar
  139. 1.
    ist dann nämlich positiv und die FEnan-Kante EF = Ec-c liegt bei allen in Frage kommenden Temperaturen innerhalb des Leitungsbandes. Das unter dem Leitungsband liegende Band liegt so tief unter der Feriu-Kante EF, daß es auch dann noch mit außerordentlicher Genauigkeit voll besetzt bleibt, wenn der Abfall der Fermi-Verteilung infolge Übergangs zu höheren Temperaturen flacher wird und die Elektronen von Zuständen unterhalb E, zu Zuständen oberhalb von EF übergehen. Das Band unterhalb des Leitungsbandes liegt aber bei n > N1 viel zu tief unter EF,merkbar erfaßt zu werden.Google Scholar
  140. 2.
    Wegen dieser Temperaturunabhängigkeit reicht die Näherung (A II.3) nicht aus bei Fragen der spezifischen Wärme des Elektronengases.Google Scholar
  141. 1.
    Siehe z. B. F. Herman: Phys. Rev. Bd. 88 (1952) S. 1210, wo für das Valenzband des Diamants eine Breite von 22 eV errechnet wird.Google Scholar
  142. 1.
    Bezüglich dieses Begriffs s. S. 16–19.Google Scholar
  143. 2.
    Dies war zwar im soeben betrachteten Fall der Abb. Viii 4.1 im Prinzip auch schon der Fall. Die Zahl der unbesetzten Plätze oder „Löcher“ im Valenzband II spielt dort aber praktisch gar keine Rolle gegenüber den Elektronenzahlen im Leitungsband Iii. $ Streng genommen müßten auch die Löcher in der Elektronenbesetzung des Bandes I berücksichtigt werden. Ihre Anzahl ist aber wieder vernachlässigbar klein.Google Scholar
  144. 4.
    Die Zulässigkeit dieses Vorgehens ist keineswegs auf den Eigenhalbleiter beschränkt. Die im folgenden abgeleiteten Gleichungen gelten also ganz allgemein für Halbleiter — mit Ausnahme von (Viii 4.24, 4.25 und 4.26), wo der den Eigenhalbleiter definierende Ansatz n = p (Viii 4.24) entscheidend eingeht.Google Scholar
  145. 1.
    Die effektive Masse der Elektronen an der oberen Grenze des Valenzbandes ist negativ, also —m0.Google Scholar
  146. 2.
    Hierbei verschwindet natürlich am oberen Bandrand E = Ey die Zustandsdichte D (E). Siehe hierzu auch Fußnote 1 auf S. 287.Google Scholar
  147. 2.
    Wird beachtet, daß näherungsweise mit m,, also NC. Nv gilt, so sieht man, daß das spätere Ergebnis Viii 4.25 diese Annahmen auch für beliebig tiefe Temperaturen bestätigt. In dem hier behandelten Fall des Eigenhalbleiters nehmen die Konzentrationen n und p eben mit der Temperatur viel schneller als N0 und N ab. Vorsichtshalber sei aber — ähnlich wie in Fußnote 4 auf S. 290 — noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, daß auch die Gln. (Viii 4.20 bis 4.23) nicht etwa nur für den Eigenhalbleiter, sondern auch für Störstellenhalbleiter gelten, in denen ja bei nicht allzu starker Dotierung die Voraussetzung (Viii 4.19) der Nicht-Entartung auch erfüllt ist. Erst durch die Annahme (Viii 4.24) wird die Beschränkung auf den Fall der Eigenleitung vorgenommen.Google Scholar
  148. 1.
    Einen über diese scheinbaren potentiellen Energien Ec und E, noch hinaus gehenden Gittereinfluß enthalten die Substitutionen m --›- mit und m -›- m2.Google Scholar
  149. 2.
    Mittlere Energie pro Freiheitsgrad = 1/2 k T (Gleichverteilungssatz ! Siehe hierzu vielleicht G. Joos: Lehrbuch der theoretischen Physik. 6. Aufl. S. 521. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1945).Google Scholar
  150. 1.
    Weitere derartige Untersuchungen siehe H. MüsER: Z. Naturforsch. Bd. 5a (1950) S. 18. — Seiler, K.: Z. Naturforsch. Bd. 5a (1950) S. 393. — Hiitner, R. A., E. S. Rittrer U. F. K. Du Pre: Philips Res. Rep. Bd. 5 (1950) S. 188. - Shockley, W.: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 465ff.Google Scholar
  151. 1.
    Vergleichen wir (Viii 5.17) mit Fußnote 1 von S. 370, so sehen wir, daß sich das Kontinuum der besetzbaren Zustände im Leitungsband effektiv verhält wie N~ Zustände pro cm3 mit einem einheitlichen Energieniveau Ec. Dies war für Shockley der Grund, für N, die Bezeichnung „effektive Zustandsdichte“ zu wählen. (Siehe W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors. New York: D. van Nostrand Company 1950. S. 240.) Siehe hierzu auch Fußnote 1 auf S. 273.Google Scholar
  152. 1.
    Außer diesem statistischen Beweis haben wir schon auf S. 46 einen kinetischen Beweis für das Massenwirkungsgesetz angedeutet, den wir im folgenden Kap. IX ausführlicher darstellen werden. Schließlich kann das Massenwirkungsgesetz aus der allgemeinen Gleichgewichtsbedingung von Fußnote 1 auf S. 281 (elektrochemisches Potential) Phase I = (elektrochemisches Potential)Pbase II entnommen werden, wenn der in der Thermodynamik für das chemische Potential eines Maxwell-Gases abgeleitete Ausdruck in diese Gleichgewichtsbedingung eingesetzt wird. Wegen der in der Thermodynamik unbestimmt bleibenden Konstante bei der Entropie bleibt aber die Konstante des Massenwirkungsgesetzes ebenfalls unbestimmt, solange nicht die Statistik herangezogen wird. Siehe hierzu W. WeizEL: Theoretische Physik. S. 732, 733 u. 1237. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1949.Google Scholar
  153. 2.
    Siehe hierzu W. Schottky: Z. Elektrochem. Bd. 45 (1939) S. 33.Google Scholar
  154. 1.
    Ne = effektive Zustandsdichte im Leitungsband. S. 01. (Viii 1.04) und 01. (Viii 4.04).Google Scholar
  155. 2.
    Siehe z. B. W. Weizel• Lehrbuch der theoretischen Physik. S. 732/33. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1949.Google Scholar
  156. 1.
    SchottgY, W.: Z. Phys. Bd. 132 (1952) S. 261.Google Scholar
  157. 2.
    Schottky, W.: Ann. Phys., Lpz. Bd. 6 (1949) S. 193.Google Scholar
  158. 1.
    Für die restlichen Ausführungen des § 1 können unter der Sorte S neben Dx, D+, Ax, A— auch die Minoritätsträger verstanden werden, also die Defektelektronen in einem n-Leiter oder die Elektronen in einem p-Leiter. Die durch (IX 1.01) definierte Relaxationszeit ZRel wird dann die „Lebensdauer r„ bzw. x, “ der Defektelektronen bzw. der Elektronen. Eine ausführliche Behandlung der Lebensdauern von Minoritätsträgern in Zusammenhang mit Haftstellen (traps) findet man bei W. Shockley D. W. T. Read JR.: Phys. Rev. Bd. 87 (1952) S. 835.Google Scholar
  159. 2.
    Gegenbeispiel: Fermi-Gas !Google Scholar
  160. 3.
    Gegenbeispiel: Eine Gruppe von Lebewesen. Bei diesen geht das bereits erreichte Lebensalter in das künftige Schicksal entscheidend ein.Google Scholar
  161. 4.
    Gegenbeispiel: Siehe Schluß von § 2. Namentlich Fußnote 1 auf S. 313.Google Scholar
  162. 1.
    Nun braucht keineswegs jeder Zusammenstoß zur Vereinigung zu führen. Unter Umständen ist dies nur bei einem Bruchteil aller Zusammenstöße der Fall Man berücksichtigt dies, indem man an Stelle des Querschnittes vstoB den „Wirkungsquerschnitt vD+ für die Assoziation D+ + e Dx“ einführt und hat dann (Zeiteinheit) • (Volumeneinheit) — aD+ • vyh • nD+ • no (IX 2.03) Durch Vergleich von (IX 2.01) und (IX 2.03) ergibt sich die Gl. (IX 2.02). Es muß hier noch darauf hingewiesen werden, daß es wohl berechtigt ist, den Wirkungsquerschnitt aD+ für die Assoziation kleiner oder höchstens gleich dem Stoßquerschnitt anzusetzen. Den Stoßquerschnitt aber mit dem „geometrischen” Querschnitt der D+ und daher. 10–15 cm2 anzunehmen, ist eine gänzlich unberechtigte Willkür. Quantitative Angaben über astoll sind nur auf Grund einer gründlichen und meist recht schwierigen Analyse des Stoßvorganges zulässig, ganz abgesehen davon, daß die Festlegung des „geometrischen“ Querschnittes mit (3. 10–8 cm)2 auch auf Grund recht willkürlicher Festsetzungen erfolgt.Google Scholar
  163. 1.
    Es liegt hier ein Beispiel für den in § 1 erwähnten Fall vor, daß eine „Lebensdauer“ zeitlich nicht konstant ist wegen Zeitveränderlichkeit des „Milieus”. Zum Milieu gehört nämlich neben der Dielektrizitätskonstante des Grundgitters, der Temperatur des Kristalles usw. auch die Konzentration etwaiger Reaktionspartner.Google Scholar
  164. 1.
    Siehe S. 273 G1. (Viii 1.04) und S. 287 Gl. (Viii 4.04).Google Scholar
  165. 1.
    Siehe hierzu auch Fußnote 3 von S. 47.Google Scholar
  166. 1.
    Die zur Ableitung von (IX 3.01) benutzte Gl. (IX 4.05) wurde zwar durch eine Betrachtung des Gleichgewichtsfalles erschlossen. (IX 4.05) ist aber eine Beziehung zwischen konzentrationsunabhängigen Konstanten, und ihre Beschränkung auf den Gleichgewichtsfall ist deshalb gar nicht möglich.Google Scholar
  167. 1.
    Diese Bindungskräfte werden manchmal auch als chemische Bindungskräfte bezeichnet und dementsprechend die Kristallenergie als chemische Bindungsenergie. Man will mit diesen Bezeichnungen betonen, daß sich die stoffliche Eigenart des jeweils betrachteten Festkörpers gerade in diesem Energieanteil auswirkt.Google Scholar
  168. 2.
    Ob hiernach in allen denkbaren Fällen die Aufteilung der Gesamtenergie in elektrostatische Energie und in Kristallenergie eindeutig festliegt, erscheint zum mindesten zweifelhaft. C. Herring R. M. H. Nichols definieren in Rev. of Modern Physics Bd. 21 (1949) S. 185 bis 270 das elektrostatische Makropotential durch Mittelwertbildung über das elektrostatische Mikropotential. W. Schottky hat in „Die Physik in regelmäßigen Berichten“ Bd. 3 (1935) S. 17 insbes. S. 19 Fußnote 1 ein sogenanntes „Leerraumpotential” eingeführt, um das elektrostatische Makropotential exakt zu erfassen. Wir glauben, daß in den im folgenden behandelten Halbleiterrandschichten jedenfalls kein Zweifel bestehen kann, wie man die elektrostatische Energie — e V der Halbleiterelektronen anzusetzen hat und wie groß ihre Kristallenergie E ist.Google Scholar
  169. 3.
    Auch in der Quantenmechanik ist die Aufteilung E = Ekín -i- Epot möglich. Dabei müssen allerdings Ekín und Epot als quantenmechanische Mittelwerte aufgefaßt werden. Die Operatoren der kinetischen und der potentiellen Energie sind nämlich mit dem HaMrLTox-Operator (Ekín -I- Epot)op im allgemeinen nicht vertauschbar. Eine yy-Funktion kann also nicht gleichzeitig Eigenfunktion aller drei Operatoren sein. Gewöhnlich wird eine stationäre Lösung der ScxnönicGer-Gleichung betrachtet, also eine Eigenfunktion des Hamiltox-Operators (Ekín -I-Epot)op • Dann hat das durch eine solche y-Funktion repräsentierte Elektron nur eine scharf definierte Kristallenergie E. Kinetische Energie Ekín und potentielle Energie Epot lassen sich nur als quantenmechanische Mittelwerte angeben.Google Scholar
  170. 1.
    Das gilt auch für die untersten und obersten Terme eines jeden Bandes, obwohl dort die y,-Funktion den Charakter einer stehenden Welle hat und man daher unzutreffenderweise das Verschwinden der kinetischen Energie in diesen Bandgrenzen anzunehmen versucht sein wird. Näheres s. S. 195, Fußnote 1.Google Scholar
  171. 2.
    Daß eine chemische Bindungsenergie nicht rein potentieller Natur ist, sondern auch kinetische Anteile enthält, könnte auf den ersten Blick befremden Man wird aber auch bei einem einzelnen Atom unbedenklich als Bindungsenergie eines Elektrons an den Atomrumpf die Ionisierungsenergie des betreffenden Elektrons angeben. Bei der üblichen Nullpunktfestsetzung (das abgetrennte in Ruhe befindliche Elektron hat die Energie Null) wird sie also gleich der Energie des Elektrons in dem betreffenden Atomterm und besteht deshalb im Grundzustand des H-Atoms beispielsweise aus einem potentiellen Anteil — n2 a und einem kinetischen Anteil Kernladungszahl = 1 beim H-Atom, n = Hauptquantenzahl = 1 im Grundzustand, ao = Radius der ersten Boxaschen Bahn. Siehe im übrigen Handbuch der Physik von Geiger/Scheel. Bd. Xxv, 1. 2. Aufl. Art. H. A. Bethe, S. 287, Gl. (3.29)]. Auch hier enthält also die chemische Bindungsenergie einen beträchtlichen kinetischen Anteil.Google Scholar
  172. 3.
    Die Schraffur soll in den Abbildungen dieses Kap. X nur das Vorhandensein eines Kontinuums von besetzbaren Elektronenzuständen andeuten, aber im Gegensatz zu den Abbildungen des Kap. Viii nichts über die Dichte der tatsächlichen Besetzung aussagen. Wenn weiter in der Abb. X 1.2 eine obere Grenze des Leitungsbandes eingezeichnet worden ist, so geschieht das hauptsächlich aus pädagogischen Gründen. Die Durchführung der WignER-Seitzschen Zellularmethode (s. S. 190) hat bei konkreten Körpern wie Na, K usw. ergeben, daß das Leitungsband und die Bänder darüber immer einander überlappen, so daß von einer oberen Grenze des Leitungsbandes eigentlich gar nicht mehr gesprochen werden kann. In den nächsten Bildern ist deshalb eine obere Grenze des Leitungsbandes auch nicht mehr gezeichnet worden.Google Scholar
  173. 1.
    In einem solchen Fall kann die additive Zusammensetzung der elektrostatischen Energie — e V und der Kristallenergie E natürlich nur Näherungscharakter besitzen. Denn in Wirklichkeit ist ja dann das gesamte Potential = periodisches Gitterpotential U Makropotential V gar nicht mehr rein periodisch, und damit ist im Prinzip die Grundlage für die Berechnung einer besonderen Kristallenergie bereits verlassen. Bei genügend schwacher örtlicher Variation des Makropotentials V wird das geschilderte Vorgehen aber eine gute Näherung darstellen. Für eine genauere Diskussion dieser Frage verweisen wir auf B. Kockel: Z. Naturforsch. Bd. 7a (1952) S. 10 bis 16. man in diesem einfachen Modell ein Makropotential V berücksichtigen wollte, so wäre außerhalb des Topfes die potentielle Energie der Elektronen nicht gleich Null, sondern gleich —e V zu setzen und entsprechend innerhalb des Topfes nicht gleich Epot, sondern gleich Epot — e V(x). Die Berücksichtigung eines Makropotentials V(x) erfolgt aber erst jetzt im Kap. X.Google Scholar
  174. 1.
    Eine Versuchsanordnung, in der ein linearer Potentialverlauf bei thermischem Gleichgewicht realisiert ist, zeigen die Abb. X 2.4 bzw. X 3.1Google Scholar
  175. 1.
    Als Nicht-Gleichgewichtszustand ist dieser Zustand natürlich weitgehend von der Vorgeschichte abhängig. Die Lage der Fermi-Niveaus in beiden Metallen gegeneinander ist also weitgehend willkürlich.Google Scholar
  176. 1.
    Ob die Bezeichnung „Kontaktpotential“ sehr glücklich ist, darf bezweifelt werden. Erfahrungsgemäß lenkt der Bestandteil „Kontakt” dieser Bezeichnung die Aufmerksamkeit von dem Umstand ab, daß es sich um die Potentialdifferenz zwischen zwei freien, also nicht miteinander in Kontakt stehenden, sondern weit voneinander getrennte Oberflächen handelt. Daß die beiden Körper an anderer Stelle miteinander in innigem Kontakt stehen, dient nur zur Sicherung des thermischen Gleichgewichts zwischen ihnen und könnte im Prinzip auch bei getrennten Körpern durch genügend langes Abwarten ersetzt werden.Google Scholar
  177. 1.
    Schottky, W., u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden. Bd. Xiii, Tl. 2 des Handbuches der Experimentalphysik von Wien und Harms. Namentlich S. 31 bis 42. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1928.Google Scholar
  178. 1.
    Bei dieser Gelegenheit sei daran erinnert, daß die einzelnen Summanden in der Gl. (X 4.07) und deshalb auch die Austrittsarbeit Ti selbst keineswegs ohne weiteres als temperaturunabhängig angesehen werden dürfen. Solange der T-Gang von nicht völlig bekannt ist, besagt (X 4.06) über die Temperaturabhängigkeit des Sättigungsstromes noch nichts Endgültiges. Siehe hierzu auch W. Schottky u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden. Bd. Xiii, Tl. 2 des Handbuches der Experimentalphysik von Wien u. Harms, namentlich Kap. 6.Google Scholar
  179. 3.
    Die Bedingung w > mmin begrenzt das photoelektrisch wirksame Spektrum zu tiefen Frequenzen hin, also zu langen Wellen, also zum roten Licht.Google Scholar
  180. 1.
    Dies kann entweder durch die beiderseitige Elektronenemission in das Vakuum erfolgen und erfordert dann relativ lange Zeit. Man kann aber auch daran denken, daß das Metall und der Halbleiter ringförmig gebogen sind. An den betrachteten Oberflächenpartien sind sie weit voneinander entfernt. An anderer Stelle stehen sie dagegen mit anderen Teilen ihrer Oberfläche in direktem Kontakt. Dadurch wird dann die Einstellung des Gleichgewichts schnell herbeigeführt.Google Scholar
  181. 1.
    Bei einem sehr störstellenreichen Halbleiter kann Entartung eintreten. Das Fermr-Niveau liegt dann im unteren Teil des Leitungsbandes und ist also mit Elektronen besetzt. In einem anderen Sonderfall, nämlich beim Übergang von Erschöpfung zu Reserve fällt das Fermi-Niveau mit dem Störstellenniveau zusammen. Auch dann befinden sich Elektronen gerade auf dem Niveau der FErtmr-KanteGoogle Scholar
  182. 2.
    In beiden Fällen gibt es aber noch Elektronen mit höherer Energie und deshalb erscheint auch in diesen Sonderfällen die vom FEnmr-Niveau aus rechnende glühelektrische Austrittsarbeit `I`xbl nicht als die photoelektrische Aktivierungsenergie mit der Beziehung zu einer langwelligen Grenze.Google Scholar
  183. 1.
    Dies gilt namentlich bei einem sehr störstellenreichen Halbleiter, bei dem schon geringe Potentialanhebungen und die damit verbundenen geringen Abweichungen von der Neutralität starke Raumladungen freisetzen.Google Scholar
  184. 2.
    Siehe z. B. S. PoGAwsxi: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469, insbes. Fig. 3.Google Scholar
  185. 1.
    In den Publikationen Schottkys werden diese Dinge verhältnismäßig knapp behandelt. Der Verfasser ist hier in der glücklichen Lage, auf unvollendete und deshalb unveröffentlichte Manuskripte von Herrn Schottky zurückgreifen zu können.Google Scholar
  186. 2.
    Der Index R deutet auf den Halbleiterrand hin.Google Scholar
  187. 1.
    Der Index H weist auf den Halbleiterwert hin.Google Scholar
  188. 2.
    Siehe z. B. Handbuch der Experimentalphysik von Wien U. Harms. Bd. Xiii Tl. 2. Beitrag: Physik der Glühelektroden von W. Schottky u. H. Rothe. Kap. Iii, insbes. Gl. (5), S. 18.Google Scholar
  189. 1.
    Pgganski, S.: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469. — Hoffmann, A., u. F. Rose: Z. Phys. Bd. 136 (1953) S. 152. — Thedieck, R.: Phys. Verh. Bd. 3 (1952) S. 31; Bd. 3 (1952) S. 212; Z. angew. Phys. Bd. 5 (1953) S. 165. — Valdes, L. B.: Proc. Inst. Radio Engrs., N. Y. Bd. 40 (1952) S. 445.Google Scholar
  190. 2.
    Schweickert, H.: Verh. dtsch. phys. Ges. Bd. 3 (1939) S. 99. Die Schweikkertschen Ergebnisse sind auch wiedergegeben bei W. Schottky: Z. techn. Phys. Bd. 21 (1940) S. 322.Google Scholar
  191. 3.
    H. Schweickert trägt in diesem Diagramm die maximalen Sperrwiderstände der betreffenden Halbleitermetallkontakte auf. Der maximale Sperrwiderstand ist aber im Rahmen der Randschichttheorie nicht zu erfassen. Deshalb verwenden wir den differentiellen Widerstand bei der Vorspannung Null, den sogenannten Nullwiderstand, um die nach der Randschichttheorie zu erwartenden Zusammenhänge aufzuzeigen.Google Scholar
  192. 1.
    Unveröffentlichte Arbeiten von Brattain u. Suive in den Bell Telephone Laboratories 1940, siehe J. Bardeen: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 2. — JoffÉ, A. V.: J. Phys. Ussr Bd. 10 (1946) S. 49. — Meyerhof, W. E.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 727. — Benzer, S.: J. appl. Physics Bd. 20 (1949) S. 804.Google Scholar
  193. 2.
    PoGansxs, S.: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469.Google Scholar
  194. 3.
    Bei der wirklichen Durchführung solcher Messungen werden zylindrische oder kugelsymmetrische Anordnungen wegen der geringeren Randstörungen bevorzugt.Google Scholar
  195. 1.
    Ein Teil von Ekin kann ja auf transversalen Geschwindigkeitskomponenten beruhen, die für die Ùberwindung des elektrostatischen Potentialunterschiedes wertlos sind.Google Scholar
  196. 1.
    Pker, L., E. Taft R. J. Dickey: Phys. Rev. Bd. 73 (1948) S. 46; Bd. 74 (1948) S. 1462; Bd. 76 (1949) S. 270. — Taft, E., u. L. Apker: Phys. Rev. Bd. 75 (1949) S. 344. — Siehe auch J. A. Becker: Electr. Engng Bd. 68 (1949) S. 937.Google Scholar
  197. 1.
    Es ist dies das ursprüngliche Verfahren von A. Volta: Ann. Chim. Physique Bd. 40 (1801) S. 225.Google Scholar
  198. 2.
    Meyerhof, Walter E.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 727.Google Scholar
  199. 1.
    Brattain, W. H., u. W. Shocley: Phys. Rev. Bd. 72 (1947) S. 345.Google Scholar
  200. 2.
    Bardeen, J.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 717.Google Scholar
  201. 3.
    TAmmr, I.: Phys. Z. Sowjet. Bd. 1 (1932) S. 733. — Fowler, R. H.: Proc. roy. Soc., Lond. A Bd. 141 (1933) S. 56. — Rijanow, S.: Z. Phys. Bd. 89 (1934) S. 806. — Maue, A. W.: Z. Phys. Bd. 94 (1935) S. 717. — Goodwin, E. T.: Proc. Cambridge philos. Soc. Bd. 35 (1939) S. 205, 221, 232. — Pollard, W. G.: Phys. Rev. Bd. 56 (1939) S. 324. — Shockley, W.: Phys. Rev. Bd. 56 (1939) S. 317. — Statz, H.: Z. Naturforsch. Bd. Sa (1950) S. 534. — Artmann, K.: Z. Phys. Bd. 131 (1952) S. 244.Google Scholar
  202. 1.
    Siehe hierzu auch W. H. Brattain u. J. Bardeen: Bell Syst. techn. J. Bd. 32 (1953) S. 1.Google Scholar
  203. 2.
    Bezüglich der Begründung dieser Definitionsgleichung siehe Kleindruck von S. 344ff. Da sehr bald auch ein elektrochemisches Potential der DefektelektronenGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1956

Authors and Affiliations

  • Eberhard Spenke
    • 1
  1. 1.Pretzfeld/OberfrankenDeutschland

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