Equations différentielles opérationnelles du premier ordre en t (III)

Sommaire

Ce chapitre suppose acquis les Chap. I et II. Le résultat essentiel est énoncé au No. 1 et démontré aux No. 2 et 3. Il est relatif aux opérateurs A(t) ∂/∂t, le domaine de A(t) dépendant de t ainsi que le domaine D (A(t)^1/2) de A(t)^1/2 (en supposant pour simplifier ici que A(t)≥ 0). Les cas étudiés au Chap. IV supposaient (sauf le Chap. IV, No.5 -relevant d’ailleurs d’une technique un peu différente, et d’applications nettement différentes) que D (A(t)^1/2) = V est indépendant de t (ceci dans un sens convenable, puisqu’on ne supposait pas au Chap. IV, que A (t) était auto adjoint!). Ce résultat du No. 1 pose d’ailleurs un certain nombre de problèmes non résolus. L’un d’eux est relatif aux hypothèses de différentiabilité (cf. No. 1); un autre est le suivant: l’hypothèse que la partie principale » de A (t) — cf. No. 1 — est auto adjointe, est elle, ou non, nécessaire ?

Le No. 4 donne un théorème de traces, qui utilise les No. 1, 2, 3 — et conduit à deux problèmes.

Le No. 5 est préliminaire aux applications, qui sont données aux No. 6 et 7. Ces No. utilisent le Chap. II, No. 3.

Avec les méthodes de ce chapitre on peut étudier des problèmes voisins de ceux du Chap. IV, No. 9, ‘10, 11; cela n’est pas détaillé ici. L’étude de la régularité en t de la solution — et par transposition (ou passage à la limite), l’étude des solutions distributions — n’est pas faite ici. Il faut en effet d’abord mettre sur pieds une théorie des dis- tributions à valeurs dans des espaces vectoriels variables, théorie dûe à F. Trèves [5], [6]. Nous renvoyons aux travaux de M. Trèves pour cette direction.

Nous n’abordons pas non plus l’étude du problème de CAUCHY relatif aux opérateurs

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, où D (A ₀ (t)) et D (A ₁ (t)) dépendent de t ainsi que D (A ₀ (t)^1/2) et D (A ₁ (t)^1/2 (le Chap. IV, No. 7, correspond — essentiellement — au cas où D (A _i (t)^1/2) est indépendant de t).

Il serait intéressant d’étudier l’unicité rétrograde (cf. Lions-Malgrange [1]) pour les opérateurs $$ .