Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche

Mathematische Analen 104 (1931)
  • Heinz Hopf

Zusammenfassung

Unter einer „Abbildung“ eines Komplexes (oder auch einer beliebigen Menge) A „auf“ einen Komplex B verstehen wir stets eine eindeutige und stetige, nicht notwendig eineindeutige, Abbildung von A, bei der die Menge der Bildpunkte zu B gehört. Zwei Abbildungen von A auf B nennen wir zu derselben „Klasse“ gehörig, wenn man sie stetig ineinander überführen kann, d.h. wenn es eine sie enthaltende stetige Schar von Abbildungen von A auf B gibt, und wir bezeichnen eine Abbildung als „topologisch wesentlich“, wenn bei jeder Abbildung der durch sie bestimmten Klasse die Bildmenge aus allen Punkten von B besteht, d. h. wenn es unmöglich ist, durch stetige Abänderung der Abbildung einen Punkt von B von der Bedeckung durch die Bildmenge zu befreien.

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Aufzeichnungen

  1. 1).
    L. E. J. Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen 71 (1911), S. 97–115.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. H. Hopf, Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen 96 (1926), S. 209–224.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 3).
    L. E. J. Brouwer, On Looping Coefficients, Proc. Acad. Amsterdam 15 (1912), S. 113–122.Google Scholar
  4. 4).
    Zur Einführung in die kombinatorische oder algebraische Topologie sei empfohlen: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Transact. Amer. Math. Soc. 28 (1926), S. 301–329.MATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 7).
    Beweis: Es sei K 2 = φ(ξ), L 2 = φ(η), K 2 und L 2 seien zueinander in allgemeiner Lage; dann schneiden sie sich in einem Streckenkomplex C 1, dessen Rand bei richtiger Bestimmung der Vorzeichen C 1 = K 2 · φ (η) — φ (ξ) · L 2 ist; daher ist K 2 · φ(η) φ(ξ) · L 2, wobei K 2 · φ(η) und φ(ξ) · L 2 die nulldimensionalen Schnitte der in Frage kommenden Komplexe sind. Daher sind die Schnittzahlen (K 2 · φ (η)) und (φ(ξ) · L 2) = (L 2 · φ(ξ)) einander gleich. (Wegen der vorkommenden Vorzeichenbestimmung der Schnitte und Ränder vgl. man etwa: B. L. van der Waerden, Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie, Math. Annalen 102 (1929), S. 337–362.MATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 10).
    Dieser Beweis ist dem Beweis der topologischen Invarianz des Abbildungsgrades analog: L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen 71 (1911), S. 320–327.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf

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