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Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten

Journal für die reine und angewandte Mathematik 163 (1930)
  • Heinz Hopf

Zusammenfassung

Die Versuche der kombinatorischen Topologie, die Zusammenhangsverhältnisse der n-dimensionalen Komplexe und Mannigfaltigkeiten zu beschreiben, führen zu algebraischen Betrachtungen, nämlich zur Betrachtung von Gruppen, die mit dem geometrischen Gebilde topologisch invariant verknüpft sind: es sind dies die Fundamentalgruppe und die Gruppen der i-dimensionalen Homologieklassen (i=0, 1, ..., n). Handelt es sich um (geschlossene und orientierbare) Mannigfaltigkeiten, so läßt sich diesen von Poincaré eingeführten Begriffen dadurch etwas wesentlich Neues hinzufügen, daß man die Homologiegruppen der verschiedenen Dimensionszahlen zu einem Ring verschmilzt: man hat — wie unten ausführlicher auseinandergesetzt werden wird — den Schnitt zweier Zyklen (geschlossener Komplexe) in der Mannigfaltigkeit als Produkt zu deuten, was auf Grund neuerer Untersuchungen von Alexander und Lefschetz auf keine Schwierigkeit stößt. Diese Gruppen und Ringe bilden nach dem gegenwärtigen Stand unserer Kenntnisse im wesentlichen das algebraische Gerüst der Mannigfaltigkeiten, das deren Zusammenhangsverhältnisse schildert, freilich ohne sie zu erschöpfen.

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Aufzeichnungen

  1. 3).
    Der größte Teil der Sätze dieser Arbeit ist bereits — mit wesentlich umständlicheren, rechnerischen Beweisen — in der folgenden Note mitgeteilt worden: H. Hopf, On some properties of one-valued transformations of manifolds, Proc. Nat. Acad. of Sciences U. S.A. 14 (1928), S. 206–214.zbMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf

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