Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen

Zusammenfassung

Die topologische Untersuchung geschlossener Mannigfaltigkeiten oder allgemeiner kompakter Räume führt in bekannter Weise zur Betrachtung von diskontinuierlichen, kompakte Fundamentalbereiche besitzenden Transformationsgruppen offener — d. h. nicht-kompakter — Räume: der universelle Überlagerungsraum R eines kompakten Raumes R ₀ ist im allgemeinen offen, und die Gruppe der Decktransformationen, welche R ₀ erzeugen, hat die genannten Eigenschaften; das Analoge gilt, wenn man statt der universellen irgend eine reguläre Überlagerung nimmt¹). Umgekehrt entsteht, wenn ein offener Raum R vorgelegt ist, die Frage, ob er eine derartige Gruppe gestattet. Es zeigt sich nun, daß hierfür nur sehr spezielle offene Räume in Frage kommen, und zwar selbst dann, wenn man von den Transformationen nicht verlangt, daß sie, wie Decktransformationen, fixpunktfrei seien, und selbst dann, wenn man überdies darauf verzichtet, daß die Transformationen eine Gruppe bilden; es soll also nur gefordert werden, daß es eine Menge G topologischer Selbstabbildungen von R gibt, welche diskontinuierlich ist und einen kompakten Fundamentalbereich besitzt — wobei die Begriffe „diskontinuierlich“ und „Fundamentalbereich“ noch in einer Weise präzisiert werden sollen, die von dem Üblichen kaum abweicht (Nr. 7, Nr. 9); ein solcher offener Raum R soll kurz ein „G-Raum“ heißen.