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Nachtrag zu der Arbeit Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe

Commentarii Mathematici Helvetici 15 (1942/43)
  • Heinz Hopf
Chapter

Zusammenfassung

Die nachstehenden Bemerkungen setzen die Kenntnis der im Titel genannten Arbeit1), die ich kurz als „F.“ zitieren werde, nicht voraus. Der Untersuchung und Darstellung topologisch-gruppentheoretischer Zusammenhänge, die den Hauptinhalt von F. bilden (§ 1; § 2; § 4 ohne Nr. 22; Anhang), habe ich nichts hinzuzufügen; es soll aber zu einem Korollar der dort gewonnen Sätze ein elementarer Zugang gezeigt werden. Dieses Korollar lautet: „Es seien: K, K 1 zwei Komplexe mit isomorphen Fundamentalgruppen; B2, B2 1 ihre zweiten Bettischen Gruppen; S2, S2 1 die Gruppen derjenigen Homologieklassen, welche stetige Bilder der Kugelfläche enthalten. Dann ist B2/S2≅B2 1/S2 1.“ Von diesem Satz lassen sich zahlreiche Anwendungen machen (F., §3; Nr. 25); sowohl aus diesem Grunde dürfte der unten angegebene kurze Beweis Interesse verdienen, als auch darum, weil dieser Beweis sogleich einen allgemeineren Satz liefert, der sich nicht nur auf die Dimensionszahl 2 bezieht. Dabei erhält man allerdings weder Aufschluß über die Art der gruppentheoretischen Verwandtschaft zwischen B2/S2 und der Fundamentalgruppe G, noch über die Art der geometrischen Beziehung zwischen zweidimensionalen Zyklen und eindimensionalen Wegen, welche den Zusammenhang zwischen B2/S2 und G herstellt; die Klärung der beiden damit gestellten Fragen bildet gerade den Inhalt der §§1 und 2 von F.

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Aufzeichnungen

  1. 2).
    W. Hurewicz, Proc. Akad. Amsterdam 39 (1938), 215–224; besonders, 217-218. — Im folgenden als „H“ zitiert.Google Scholar
  2. 3).
    H. Whitney, Annals of Math. 39 (1938), 397–432.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf

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