Näherungslösungen für Eigenwertprobleme

  • Alf Pflüger

Zusammenfassung

Es werden die praktische Rechnung wichtigen Verfahren behandelt, mit deren Hilfe die Differentialgleichungen für die indifferenten Gleichgewichtszustände angenähert gelöst werden können. Zunächst werden die an die Energiemethode anknüpfenden Verfahren von Ritz und Galerkin erläutert, an die sich Betrachtungen über die Extremumseigenschaften der Eigenwerte anschließen. Es folgt eine Besprechung der vor allem für eindimensionale Probleme geeigneten Methode der schrittweisen Näherung und deren Kopplung mit dem Ritzschen Verfahren. Einige Betrachtungen über die Eigenwerte von Systemen, die sich aus Teilsystemen mit bekannten Eigenwerten zusammensetzen, runden den Kreis der Verfahren ab, bei denen die Energiemethode eine Rolle spielt. Der Abschnitt schließt mit einer Erläuterung des Übertragungsverfahrens, das u. a. beim Einsatz elektronischer Rechenautomaten von Bedeutung ist.

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Referenzen

  1. 1.
    Es soll sich allerdings nur um eine Behandlung der für Stabilitätsprobleme wichtigsten Fragen handeln, wobei noch die rein mathematischen Probleme in den Hintergrund treten werden. Wegen ausführlicherer Darstellungen sei auf die mathematische Literatur verwiesen, vor allem auf L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963.Google Scholar
  2. 1.
    Nach Hütte, 28. Aufl., Bd. I, Berlin 1955, S. 107, gilt die FormelGoogle Scholar
  3. 1.
    Nach F. Willers: Z. angew. Math. Mech. 21 (1941) 43.CrossRefGoogle Scholar
  4. 1.
    Die klassische Abhandlung von W. Ritz findet sieh im J. reine angew. Math. 135 (1909) 1.Google Scholar
  5. 1 .
    Vgl. z. B. S. Timoshenko: Schwingungsprobleme der Technik, Berlin 1932, S. 288.CrossRefGoogle Scholar
  6. 1.
    Es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten zur Bestimmung der Freiwerte eines Ansatzes von der Form (14), auf die hier nicht näher eingegangen werden soll. Zum Beispiel kann man nach der „Kollokationsmethode“ in n willkürlich wählbaren Punkten des Systems die Erfüllung der Differentialgleichung verlangen. (Vgl. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 411.)Google Scholar
  7. 1.
    Diese Methode wurde schon von J. W. Rayleigh: Theory of Sound, Kap. 4, London 1877/78, angegeben. Wenn oben nur die Verwendung eines eingliederigen Ansatzes als Rayleighsohes Verfahren bezeichnet wurde, so sollte damit weniger den historischen Tatsachen Rechnung getragen Werden, als vielmehr eine zweckmäßige und vielfach übliche Bezeichnungsweise zur Unterscheidung der verschiedenen Verfahren eingeführt werden.Google Scholar
  8. 1.
    Vgl. z. B. R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin 1931; S. 179.CrossRefGoogle Scholar
  9. 2.
    Zur Kennzeichnung dieses Unterschiedes benutzen C. B. Biezeno u. R. Grammel: Technische Dynamik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1963, S. 144, die Bezeichnungen „geometrische“ und „dynamische“ Randbedingungen. In der mathematischen Literatur, siehe E. Kamke: Math. Z. 48 (1942) 67, werden außerdem noch in etwas anderem Zusammenhang die Bezeichnungen „wesentliche“ und „restliche“ Randbedingungen benutzt, die sich in der Anwendung auf die hier zu behandelnden Stabilitätsprobleme mit den Begriffen „geometrische“ und „dynamische“ Randbedingungen und damit häufig auch mit den Begriffen „künstliche“ und „natürliche“ Randbedingungen decken.Google Scholar
  10. 1.
    Vgl. etwa R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin 1931, S. 236CrossRefGoogle Scholar
  11. 1a.
    L. Collatz: Eigenwertanfgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 51.Google Scholar
  12. 1.
    Der ausführliche Nachweis der Entwickelbarkeit findet sich bei L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 137.Google Scholar
  13. 1.
    Courant, R., u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin 1931, S. 351.CrossRefGoogle Scholar
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  15. 1a.
    Bertram, G.: Z. angew. Math. Mech. 37 (1957) 191, und 39 (1959) 236.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  16. 1b.
    Michlin, S. G.: Variationsmethoden der mathematischen Physik, Berlin 1962.MATHGoogle Scholar
  17. 1.
    Über die Einzelheiten der Rechnung vgl. H. Hartmann: Knickung — Kippung — Beulung, Wien 1937, S. 170. Die Beulbedingung findet sich auch im Anhang dieses Buches, Beulfall II, A, a, 8.Google Scholar
  18. 1.
    Vgl. H. Hartmann: Knickung — Kippung — Beulung, Wien 1937, S. 170.Google Scholar
  19. 1.
    Galerkin: Wjestnik Ingenerow Heft 19, Petrograd 1915.Google Scholar
  20. 1a.
    Ein Referat über diese in russischer Sprache ersehienene Arbeit findet sich bei H. Henky: Z. angew. Math. Mech. 7 (1927) 80.Google Scholar
  21. 1.
    Nach R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin 1931, S. 151, stammt der Grundgedanke dieser Näherung bereits von Euler (1744).CrossRefGoogle Scholar
  22. 2.
    Von K. Sattler: Bautechnik 30 (1953) 282 u. 326, wird es treffend als „Durchbiegungsverfahren“ bezeichnet.Google Scholar
  23. 3.
    Vgl. hierzu K. Sattler: Fußnote 2, und R. Klement: Der Stahlbau 26 (1957) 372.Google Scholar
  24. 1.
    Leipholz, H.: Z. angew. Math. Phys. 14 (1963) 70, wo auch die Konvergenz für das folgende Beispiel allgemein bewiesen wird. Vgl. ferner M. W. Keldysch: Isw. d. Akad. d. W. d. UdSSR 1942.MATHCrossRefGoogle Scholar
  25. 1.
    Vgl. E. Abody u. A. Petür: Math. Naturw. Anzeiger d. Ungar. Akad. d. Wiss. 62 (1948).Google Scholar
  26. 1.
    Über die graphische Lösung von Eigenwertproblemen s. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 179.Google Scholar
  27. 1.
    Damit ist natürlich noch nicht gesagt, daß zwischen diesen Schranken auch der wahre Wert P K liegen muß. Im vorliegenden Fall trifft das zwar zu, es ist aber keineswegs immer der Fall. Näheres darüber, wann ein entsprechender „Einschließungssatz“ gilt, siehe L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 131.Google Scholar
  28. 1.
    Bei graphischer Integration und Verzicht auf die Mittelbildung nach dem Ritzschen Verfahren pflegt man die Methode der schrittweisen Näherung bei Knickaufgaben auch als Vianello-Verfahren zu bezeichnen. Nach L. Vianello: Z. VDI 22 (1911) 33.Google Scholar
  29. 1.
    Man kann natürlich auch daran denken, das allgemeine Ritzsche bzw. Galerkinsche Verfahren unter Benutzung eines mehrgliederigen Ansatzes mit der halben Iteration zu kombinieren. Der Ausbau dieses Gedankens führt zu dem besonders für Schwingungsuntersuchungen geeigneten Verfahren von R. Grammel: Ing.-Arch. 10 (1939) 35, das also die obige Vorschrift (85) als Spezialfall enthalten würde.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  30. 1.
    Vgl. Anhang, Knickfall I, A, b, 2.Google Scholar
  31. 1.
    Traenkle, A.: Ing.-Arch. 1 (1930) 510.CrossRefGoogle Scholar
  32. 1.
    Vgl. K. Hohenemsee: Ing.-Arch. 1 (1930) 280, wo die entsprechende Schlußfolgerung für Schwingungen ausgesprochen ist.Google Scholar
  33. 1.
    Bei MATH ist in (99) zu beachten, daß arc cos = i ar cos h ist.Google Scholar
  34. 2.
    Vgl. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 44.Google Scholar
  35. 1.
    Die genaue Kurve muß übrigens immer „von unten gesehen“ konkav verlaufen, wie zuerst H. Schaefer gezeigt hat. Vgl. hierzu und allgemein zu den Ausführungen der Abschnitte VI, E, 2, 3: Schaefer, H.: Beitrag zur Berechnung des kleinsten Eigenwertes eindimensionaler Eigenwertprobleme, Diss. Hannover 1934 und Z. angew. Math. Mech. 14 (1934) 367. Strigl, G.: Der Stahlbau 24 (1955) 33 u. 51.Google Scholar
  36. 1b.
    Börsch, W., u. Supan: Der Stahlbau 24 (1955) 62.MathSciNetGoogle Scholar
  37. 1.
    Dieses Verfahren ist wohl zuerst in der Schwingungslehre bei H. Holzer: Schiffbau 8 (1907) 823, 866,904 zu finden, wo es allerdings noch nicht als besondere Methode gekennzeichnet ist. In die Baustatik wurde es unter dem Namen „Traversenmethode“ von Stewart eingeführt.Google Scholar
  38. 1a.
    Siehe R. Stewart u. A. Kleinlogel: Die Traversenmethode, Berlin 1952. Von S. Falk wird es in Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 7 (1955) 74 und in weiteren Veröffentlichungen als „Reduktionsverfahren“ bezeichnet, in sehr weitreichender Form entwickelt und für zahlreiche Probleme anwendungsfähig gemacht.Google Scholar
  39. 1b.
    Von der übrigen recht umfangreichen Literatur sei nur der Aufsatz W. Schnell: Z. angew. Math. Mech. 35 (1955) 269, angeführt, der sich auch mit den hier behandelten Problemen beschäftigt.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  40. 1.
    Die Grundlagen dieses Kalküls werden hier als bekannt vorausgesetzt. Vgl. z. B. R. Zurmühl: Matrizen, 2. Aufl., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1958.MATHCrossRefGoogle Scholar
  41. 1.
    Es wurde eine Rechenmaschine vom Typ Z 22 R der Firma Zuse KG, Bad Hersfeld, benutzt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964

Authors and Affiliations

  • Alf Pflüger
    • 1
  1. 1.Technischen Hochschule HannoverDeutschland

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