Zur Begründung der Funktionentheorie

Zusammenfassung

Bekanntlich weiß man seit Cauchy (1814) und Goursat (1900): „Eine in dem zusammenhängenden Bereich G stetige Funktion f (z) ≡ u (x, y) + iυ (x, y) ist dann und nur dann „analytisch“, d.h. in der Umgebung jedes inneren Punktes a von G in eine gewöhnliche Potenzreihe von z−a entwickelbar, wenn sie überall in G „eindeutig differenzierbar” ist, d.h. eine eindeutig bestimmte Ableitung f′ (z) besitzt, oder — q. i. e. — wenn u und υ total differenzierbar sind und u ₁, u ₂, υ ₁, υ ₂ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (C.R.D.) u ₁=υ ₂, u ₂ =−υ ₁ erfüllen“. Während Cauchy noch die Stetigkeit von f′(z) voraussetzt, braucht Goursat nur die Existenz von f′(z). (Erster Eingang in die Funktionentheorie von Cauchy und Goursat.)