Konstruktion von stetigen Funktionen auf topologischen Räumen

Zusammenfassung

Wenn wir auf dem ℝⁿ oder einem seiner Teilräume eine stetige Funktion mit bestimmten Eigenschaften zu konstruieren haben, so stellt uns die Analysis dafür ein reiches Arsenal von Hilfsmitteln zur Verfügung. Am einfachsten hinzuschreiben sind vielleicht Polynome und rationale Funktionen, und was kann man nicht damit schon alles machen! Sodann haben wir ja auch die sogenannten “elementaren Funktionen”, wie die Exponentialfunktion, der Logarithmus, die trigonometrischen Funktionen; ferner können wir Potenzreihen oder allgemeiner: gleichmäßig konvergente Folgen schon vorhandener stetiger Funktionen betrachten; wir können Funktionen mit bestimmten Eigenschaften als Lösungen von Differentialgleichungen gewinnen, und so weiter! darf man hier einmal mit gutem Gewissen sagen. - Etwas schwieriger scheint das alles auf Mannigfaltigkeiten zu sein, aber die Beziehungen der Mannigfaltigkeiten zur Analysis sind so eng, daß wir im Grunde noch die gleichen reichen Möglichkeiten zur Konstruktion stetiger Funktionen haben.