CW-Komplexe

Zusammenfassung

Bevor wir zu den CW-Komplexen selbst kommen, möchte ich etwas über deren Vorläufer, die simplizialen Komplexe erzählen. — Die Sprache der Mengentheoretischen Topologie gestattet es, zahlreiche und auf den ersten Blick sehr unterschiedliche Probleme bündig und einheitlich zu formulieren und sie einer gemeinsamen anschaulichen Vorstellung zu unterwerfen. Zur anschließenden Lösung dieser Probleme trägt die Mengentheoretische Topologie im engeren Sinne ziemlich wenig bei. Die weitaus meisten Problemlösemethoden kommen aus der Algebraischen Topologie. Das wurde auch schon sehr früh erkannt, und es war von Anfang (d.h. etwa von der Jahrhundertwende) an ein Hauptbestreben der Topologen, die algebraisch-topologische Maschinerie zu entwickeln. Klassische Lehrbücher der Topologie wie etwa Seifert- Threlfall, Lehrbuch der Topologie (1934) und Alexandroff-Hopf, Topologie I (1935) enthalten überwiegend Algebraische Topologie, und die Trennung der Topologie in “Mengentheoretische” einerseits und “Algebraische” andererseits wurde erst nach dem Zweiten Weltkrieg durch die Fülle des Materials bewirkt. — Die Algebraische Topologie, darf man wohl sagen, beginnt mit den Simplices:

• Definition (Simplices): Unter einem k-dimensionalen Simplex oder k-Simplex im ∝ⁿ verstehen wir die konvexe Hülle s(v₀, ...,v_k,) von k + 1 Punkten in allgemeiner Lage.