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Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen

  • Lothar Collatz
Conference paper
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 60)

Zusammenfassung

Viele der im dritten Kapitel für Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen beschriebenen Methoden lassen sich ohne Schwierigkeit auf partielle Differentialgleichungen übertragen. Für die Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen gilt in besonderem Maße das bereits in der Einleitung von Kap. IV Gesagte, daß man theoretisch noch lange nicht den Überblick über Lösbarkeit und Eindeutigkeit der betreffenden Aufgaben in einem vom Standpunkt der technischen Anwendungen aus gewünschten Umfange besitzt, daß die in den Anwendungen auftretenden Aufgaben laufend an Vielgestaltigkeit zunehmen und daß es dringend erwünscht und notwendig wäre, die vorhandenen Näherungsverfahren in weitaus größerem Umfange als bisher praktisch zu erproben und theoretisch zu durchforschen.

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Literatur

  1. 1.
    Aus der umfangreichen Literatur sei nur genannt: C. Runge: Über eine Methode, die partielle Differentialgleichung Δu = Constans numerisch zu integrieren. Z. Math. u. Phys. Bd. 56 (1908) S. 225–232.MATHGoogle Scholar
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  7. 1.
    Batschelet, E.: Über die numerische Auflösung von Randwertproblemen bei elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Phys. Bd. 3 (1952) S. 165–193. Dort sind auch Fehlerabschätzungen für das Differenzenverfahren durchgeführt; ferner F. B. Hildebrand: Methods of applied Mathematics, S. 307. New York 1952. F. S. Shaw: An Introduction to Relaxation methods, S. 120ff. New York 1953.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  8. 1.
    Liebmann, H.: Die angenäherte Ermittlung harmonischer Funktionen und konformer Abbildung. Sitzgsber. bayr. Akad. Wiss., Math.-physik. KI. 1918, S. 385–416.Google Scholar
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  10. 1.
    Einen anderen Konvergenzbeweis mit Hilfe subharmonischer Funktionen geben J. B. Diaz u. R. C. Roberts: On the numerical solution of the Dirichlet problem for Laplace’s difference equation. Quart. J. appl. Math. Bd. 9 (1952) S. 355–360.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  11. 2.
    Gerschgorin, S.: Fehlerabschätzung für das Differenzenverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 10 (1930) S. 373–382.CrossRefMATHGoogle Scholar
  12. 3.
    Eine andere, vom Standpunkt der Anwendungen ausgehende Auffassungsart von Fehlerabschätzungen gibt R. v. Mises: On Network Methods in Conformal Mapping and in Related Problems. Nat. Bureau of Standards, Appl. Math. Ser. 18 (1952) S. 1–7.Bei einer Randwertaufgabe der Differentialgleichung L[u] = 0 und den Randbedingungen Φμ[u′] = 0 (μ = 1,..., k) fragt er nicht nach dem Fehler ε = Uu einer Näherungslösung U, sondern (vgl. Kapitel I, Nr. 4.1) bei gegebener Toleranz δ>0 nach einer Näherungslösung U mit Die Konvergenzidee wird so ersetzt durch die Idee der simultanen Approximation von Differentialgleichung und Randbedingungen. Bei der Anwendung auf das Differenzenverfahren kommt eine kleine Schwierigkeit hinzu; man hat zur Durchführung dieses Gedankens erst noch aus den an den Gitterstellen erhaltenen Näherungswerten eine Funktion U aufzustellen, für die man L[U] bilden kann. Sind z. B. bei einer Randwertaufgabe mit einer Differentialgleichung zweiter Ordnung nach dem Differenzenverfahren für eine Funktion u (x, y) von zwei unabhängigen Veränderlichen x, y in Gitterpunkten x j, y k Näherungswerte U jk ermittelt, so setzt man zunächst eine stetige, mit stetigen ersten und zweiten Ableitungen nach beiden Argumenten versehene Funktion U (x, y) aus Polynomen in den einzelnen Gitterrechtecken zusammen.Google Scholar
  13. 1.
    Wolf, F.: a. a. O. Z. angew. Math. Mech. Bd. 6 (1926) S. 130–131.Google Scholar
  14. 1.
    Weller, K., G. H. Shortley u. B. Fried: J. appl. Physics, Lancaster Pa. Bd. 9 (1939) S. 334–344; Bd. 11 (1940) S. 283-290.Google Scholar
  15. 2.
    S. Gerschgorin: Z. angew. Math. Mech. Bd. 10 (1930) S. 373–382; vgl. ferner W. E. Milne: Numerical Solution of Differential Equations, S. 221. New York u. London 1953.CrossRefMATHGoogle Scholar
  16. L.C. Woods: The relaxation treatment of singular points in Poissons equation. Quart. J. Mech. appl. Math. Bd. 6 (1953) S. 163–185, behandelt drei Typen von Singularitäten: 1. u hat in P eine logarithmische Singularität, die man abziehen kann. 2. u ist in P unstetig, z. B. die vorgegebenen Randwerte machen in P einen Sprung (bei Aufgaben der Potentialgleichung in der Ebene kann manmt Polarkoordinaten r, ϕ bezüglich P mit passendem a die Funktion a ϕ abziehen). 3. Die Lösungsfunktion ist in einem Punkt P stetig, hat aber bei P keine beschränkten Ableitungen (dieser Fall liegt bei obigem Beispiel vor). Hier kann man mit passendem α, β, m die Funktion (αsin m ϕ + βcosm ϕ) r m abziehen.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  17. 1.
    Biezeno, C. B., u. R. Grammel: Technische Dynamik, 2 Aufl Bd I (1953) S. 351.Google Scholar
  18. 1.
    Vgl. z. B. G. Shortley, R. Weller, P. Darby u. E. H. Gamble: Numerical Solution of axisymmetrical Problems, with Applications to Electrostatics and Torsion. J. Applied Physics Bd. 18 (1947) S. 116–129. Eine ausführliche Darstellung, welche auch viele kleine Kunstgriffe angibt, findet sich beiMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  19. L. Fox: Some improvements in the use of relaxation methods for the solution of ordinary and partial differential equations. Proc. Roy. Soc., Lond. Bd. 190 (1947) S. 31–59. Eine zusammenfassende Darstellung findet sich außer in den bereits zitierten Büchern von Southwell in dem Buch von F. S. Shaw: An Introduction to relaxation methods. New York, Dover Publ., Inc. 1953, 396 S. Eine Theorie gibtCrossRefMATHGoogle Scholar
  20. G. Temple: The general Theory of Relaxation Methods applied to Linear Systems. Proc. Roy. Soc, A Bd. 169 (1939) S. 476–500.CrossRefGoogle Scholar
  21. 1.
    Eine,„Überrelaxation“ (engl. Overrelaxation), bei der man allgemein zur Lösung des linearen Gleichungssystems eine Folge von Näherungswerten \( x_i^{\left(v\right)} \) nach bestimmt, untersucht D. M. Joung: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type (die Arbeit soll demnächst erscheinen). JouNG gibt eine Regel an zur geeigneten Wahl des „Relaxationsfaktors“ ω. Einen sogar von Schritt zu Schritt wechselnden Relaxationsfaktor verwendet bereitsGoogle Scholar
  22. L. F. Richardson: Phil. Trans. roy. Soc. Lond. A Bd. 210 (1911) S. 307–357.CrossRefMATHGoogle Scholar
  23. Ferner L. F. Richardson: Phil Trans. roy. Soc. Lond. A Bd. 242 (1950) S. 439–491. Überrelaxation findet sich auch bei D. N. De G. Allen: La méthode de libération des liaisons... Colloques internat. Centre nat. Rech. Sci. Nr. 14 (Méthodes de calcul dans les problmes de méchaniques, S. 11-34. Marseille u. Paris 1949.CrossRefGoogle Scholar
  24. 1.
    Zur Blockrelaxation vgl. R. V. Southwell: Relaxation methods in theoretical physics, S. 55. Oxford 1946. Blockrelaxation findet man häufig angewendet, z. B. D. C. Gilles: The use of interlacing nets for the application of relaxation methods to problems involving two dependent variables, with a foreword by W. G. Bickley: Proc. roy. Soc., Lond. A Bd. 193 (1948) S. 407–433. G. M. Dusinberre: Numerical Analysis of Heath Flow, 227 S. New York, Toronto, London 1949; dort sind S. 65 eine größere Anzahl „Sterne“ für die Blockrelaxation wiedergegeben.CrossRefGoogle Scholar
  25. 1.
    Beweis bei L. Collatz: Einschließungssätze bei Iteration und Relaxation. Z. angew. Math. Mech. Bd. 32 (1952) S. 76–84.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  26. 2.
    Stiefel, E.: Über einige Methoden der Relaxationsrechnung. Z. angew. Math. Phys. Bd. 3 (1952) S. 1–33.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  27. 1.
    Tranter, C. J.: The combined use of relaxation methods and Fourier transforms in the solution of some three-dimensional boundary value problems. Quart. J. Mech. app. Math. Bd. 1 (1948) S. 281–286; dort auch ein numerisches Beispiel.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  28. 1.
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    Hyman, M. A.: Non-Iterative Numerical Solution of Boundary Value Problems. Appl. Sci. Res. B, Bd. 2 (1952) S. 325–351.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  30. 1.
    Diese Nummer stellte mir freundlicherweise Herr J. Schröder (Hannover) zur Verfügung. (Ausführliche Darstellung bei J. Schröder, Z. angew. Math. Mech. Bd. 34 (1954) S. 241–253)MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  31. 1.
    Steffensen, J. F.: Interpolation, S. 4ff. u. 178ff. Baltimore 1927.Google Scholar
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    Operatoren werden benutzt bei W. G. Bickley: Finite difference formulae for the square lattice. Quart. J. Mech. appl. Math. Bd. 1, part 1 (1948) S. 35–42.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  34. 2.
    Beispiele zum Vergleich der Methoden bei L. Collatz: Schr. d. Math. Sem. u. d. Inst. f. angew. Math. d. Univ. Berlin Bd. 3 (1935) S. 18.Google Scholar
  35. Vgl. auch L. Collatz: Das Mehrstellenverfahren bei Plattenaufgaben. Z. angew. Math. Mech. Bd. 30 (1950) S. 385–388.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  36. 1.
    Collatz, L.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 31 (1951) S. 232.MathSciNetGoogle Scholar
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    Eine spezielle Formel dieser Art findet sich bereits bei Ch. Mikeladze: Sur l’intégration numérique d’équations différentielles aux dérivées partielles. Bull. Acad. Sci. URSS VII s. Nr. 6, 819–841 (1934) (Russisch u. franz. Résumé): \( 20{u_a} - 4\sum {{u_b}} - \sum {{u_c}} + 6{h^2}\Delta {u_a} - \frac{{{h^4}}}{2}\Delta \Delta {u_a} = \operatorname{Re} stglied6.Ordnung; \) vgl. a. Gl. (2 21) aus Nr. 2.7.Google Scholar
  38. 3.
    Woods, L. C.: Improvements to the accuracy of arithmetical solutions to certain twodimensional field problems. Quart. J. Mech. appl. Math. Bd. 3 (1950) S. 349–363.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
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    Vgl. E. Hopf: Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung vom elliptischen Typus. Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys. Math. Klasse, S. 147-152. Berlin 1927.Google Scholar
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    Fejér, L.: Über die Eindeutigkeit der Lösung der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Math. Z. Bd. 1 (1918) S. 70–79.MATHGoogle Scholar
  44. 2.
    Einen dem Randmaximumsatz analogen Satz für die entsprechenden Differenzengleichungen beweisen T. S. Motzkin u. W. Wasow: On the approximation of linear elliptic differential equations by difference equations with positive coefficients. J. Math. Phys. Bd. 31 (1953) S. 253 bis 259.MathSciNetMATHGoogle Scholar
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    Grünsch, H. J.: Eine Fehlerabschätzung bei der 3. Randwertaufgabe der Potentialtheorie. Z. angew. Math. Mech. Bd. 32 (1952) S. 279 bis 281.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  46. 1.
    Bergman, St.: Operatorenmethoden in der Gasdynamik. Z. angew. Math. Mech. Bd. 32 (1952) S. 33–45.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
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    Miranda, C.: Formule di maggiorazione e teorema di esistenza per le funzioni biarmoniche di due variabili. Giornale di Matematiche di Battaglini Bd. 78 (1948/49) S. 97–118.MathSciNetMATHGoogle Scholar
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    Durch Benutzung zweier Minimalprinzipien gelingt Weber auch bei allgemeineren Aufgaben belasteter elastischer Körper eine Eingrenzung der Verschiebungen. C. Weber: Eingrenzung von Verschiebungen mit Hilfe der Minimalsätze. Z. angew. Math. Mech. Bd. 22 (1942) S. 126–130. — Eingrenzung von Verschiebungen und Zerrungen mit Hilfe der Minimalsätze. Z. angew. Math. Mech. Bd. 22 (1942) S. 130-136.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
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    Für homogene Randbedingungen f = g = 0 aufgestellt von U. Wegner: Ein neues Verfahren zur Berechnung der Spannungen in Scheiben. Forsch.-Arb. Ing.-Wes. Bd. 13 (1942) S. 114–149; für inhomogene Randbedingungen beiMathSciNetGoogle Scholar
  51. J. B. Diaz u. H. J. Greenberg: Upper and lower bounds for the solution of the first biharmonic boundary value problem. J. Math. Phys. Bd. 27 (1948) S. 193–201. Bei Wegner findet man auch numerische Beispiele.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  52. 1.
    Kantorovič, L.: Sur une méthode directe de la solution approximative du problème du minimum d’un intégral double (Russisch). Leningrad. Bull. Ac. Sci. (7) (1933) S. 647–652 (Jb. Fortschr. Math. Bd. 59, S. 1149). Die Methode wurde angewendet von Hillel Poritzky: The reduction of the solution of certain partial differential equations to ordinary differential equations. Verh. 5. Intern. Kongr. Techn. Mech., Cambridge (Mass.) 1938, S. 700-707, vonGoogle Scholar
  53. N. S. Semenow: Biegung von Rechtecksplatten. Zbl. Mech. Bd. 11 (1939) S. 12, ferner vonGoogle Scholar
  54. E. Mettler: Allgemeine Theorie der Stabilität erzwungener Schwingungen elastischer Körper. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 418–449, hier insbesondere S. 420ff., 445ff.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  55. 1.
    Ein Beispiel hierfür bei F. Weidenhammer: Der eingespannte, axial pulsierend belastete Stab als Stabilitätsproblem. Z. angew. Math. Mech. Bd. 30 (1950) S. 235–237.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
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    Erich Trefftz, geb. 21. 2. 1888 in Leipzig als Sohn eines Kaufmanns, studierte in Aachen, Göttingen und Straßburg, begleitete 1909/10 seinen Onkel Carl Runge, als dieser als Austauschprofessor an die Columbia-Universität in New York ging, und erfuhr von Runge starke Anregungen. 1913 promovierte er bei v. Mises in Straßburg. Nach einer Verwundung im ersten Weltkrieg ging er nach Aachen, wo er 1919 ordentlicher Professor für angewandte Mathematik wurde. 1922 übernahm er einen Lehrstuhl für technische Mechanik in Dresden, wo er am 21. 1. 1937 einer tückischen Krankheit zum Opfer fiel. L. Prandtl schreibt in seinem Nachruf [Z. angew. Math. Mech. Bd. 17 (1937) H. 1] über ihn: „Das häusliche Glück, die Freude an der Arbeit, die Verehrung seiner Schüler und die Liebe seiner Freunde machten ihn zu einem glücklichen Menschen.“ Seine Arbeiten auf dem Gebiete der Mechanik beschäftigten sich hauptsächlich mit Hydrodynamik, Schwingungslehre und Elastizitätstheorie [vgl. R. Grammel: Das wissenschaftliche Werk von Erich Trefftz. Z. angew. Math. Mech. Bd. 18 (1938) S. 1–11].CrossRefMATHGoogle Scholar
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    Eine andere Abschätzung gibt J. B. Diaz: On the estimation of torsional rigidity and other physical quantities. Proc. 1. Nat. Congress of appl. Mechanics (1953) S. 259-263, und eine weitere im Zusammenhang mit dem Differenzenverfahren G. Polya: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 235 (1952) S. 995–997.Google Scholar
  58. 1.
    Courant, K.: Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen. Acta math. Bd. 49 (1926) S. 1–68, hier S. 60.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1951

Authors and Affiliations

  • Lothar Collatz
    • 1
  1. 1.Universität in HamburgDeutschland

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