Matrixdarstellung von Observablen

Zusammenfassung

Mit ψ _m (r _i σ _i ), m= 1, 2... seien die (zeitunabhängigen) Eigenzustände eines atomaren Systems, etwa eines Atoms mit N Spinelektronen bezeichnet. Dabei stehe ri für die Ortskoordinaten, σ _i für die Spinkoordinaten aller Elektronen (i=1,2,..., N). Es gilt also die zeitunabhängige Schrödinger-Gleidiung (etwa (23.6)

$$ {H_{\psi m}}\left( {{r_i},{\sigma _i}} \right) = {W_m}{\psi _m}\left( {{r_i}{\sigma _i}} \right) $$

((37.1))

mit den Eigenwerten W _m . Führt man jetzt zeitabhängige Zustände

$$ {\Psi _m}\left( {{r_i}{\sigma _i}t} \right) = {\psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}} \right){e^{i{\omega _m}t}} $$

((37.2))

mit (vgl. (13.4)

$$ {\omega _m} = - \frac{{{W_m}}}{\hbar } $$

((37.3))

ein, so genügen diese der zeitabhängigen Scbrödinger-Gleichung

$$ H{\Psi _m}\left( {{r_i}{\sigma _i}t} \right) = - \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{{\partial t}}{\psi _m}\left( {{r_i}{\sigma _i}t} \right) $$

((37.4))

die, wie man sich durch Einsetzen von (37.2) leicht überzeugt, auf die zeitunabhängige Gl. (37.1) zurückführt. Für späteren Gebrauch merken wir noch an, daß

$$ \Psi _m^*{\Psi _m} = \psi _m^*{\psi _m} $$

((37.4))

.