Maximalglied und Zentralindex, Maximalbetrag und Nullstellenanzahl

Zusammenfassung

Es seien a ₀, a ₁, a ₂,... ,a _n ,... komplexe Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden. Die Potenzreihe

$$ f(z) = {a_0} + {a_1}z + {a_2}{z^2} + \cdots {a_2}{z^n} + \cdots $$

((24.1))

besitze den Konvergenzradius R, R > 0. Wenn R = ∞ ist, heißt f (z) eine ganze Funktion. Es sei 0 ≦ r < R; dann strebt die Zahlenfolge

$$ \left| {{a_0}} \right|,\,\left| {{a_1}} \right|r,\,\left| {{a_2}} \right|{r^2},\, \cdots ,\left| {{a_n}} \right|{r^n}, \cdots $$

((24.1))

gegen 0, also gibt es darin ein größtes Glied, das Maximalglied, dessen Wert mit μ(r) bezeichnet wird. Es ist somit

$$ \left| {{a_n}} \right|{r^n} \le \mu (r) $$

((24.1))

für n = 0, 1, 2, 3, ..., r ≧ 0 [I, Kap. 3, § 3].