Sur des Decompositions Directes Paradoxales de Groupes Abeliens sans Torsion

Résumé

L’étude des décompositions directes des groupes abéliens sans torsion en facteurs indécomposables a révélé plusieurs surprises. Les travaux de B. Jonsson et ensuite de A.L.S. Corner, L. Fuchs et F. Loonstra ont notamment démontré que la décomposition en facteurs indécomposables n’est pas unique et qu’elle peut se faire de différentes façons avec différents nombres de facteurs isomorphes ou non-isomorphes. Parallè- lement A.L.S. Corner a montré l’existence d’un groupe diamétralement opposé aux groupes indécomposables: ce groupe (décomposable) ne possède aucun facteur direct indécomposable. Un groupe ayant cette propriété est dit super-décomposable. Une famille de groupes super-décomposables a été construite en [1]. A l’aide de cette famille de groupes nous avons pu obtenir le résultat étonnant suivant: il existe un groupe qui se décompose d’une part en somme directe de deux groupes indécomposables et d’autre part en somme directe d’un groupe indécomposable et d’un groupe super-décomposable.