Stabilitätsprobleme

Zusammenfassung

Der Kirchhoffsche Eindeutigkeitssatz über Gleichgewichtslagen gilt in der Elastostatik bekanntlich so lange, wie z. B. das elastische Potential II = II _i + II _a (vgl. Abschn. I. 6.2) nur ein einziges Minimum aufweist; dies bedeutet mathematisch gesehen, daß der entsprechende Rechenausdruck eine positiv definite quadratische Größe sein muß. Es gibt nun zahlreiche Probleme der Stabstatik (und entsprechende in der Elastizitätstheorie der Platten und Schalen), bei denen die genannte Forderung nicht erfüllt wird. So sind z. B. für einen quer und längs oder für einen längs-exzentrisch belasteten Zug- oder Druckstab die in II _a auftretenden quadratischen Terme der Lastwege als Folge der Querverschiebungen von wesentlicher Bedeutung, während bei nur querbelasteten Stäben der (negative) Ausdruck für II _a in der Regel in den Verrückungen linear bleibt. Ferner sei darauf hingewiesen, daß grundsätzlich die Gleichgewichtsbedingungen nur am verformten Tragsystem aufgestellt werden dürfen, die üblichen Vereinfachungen der Rechnung also nur begrenzt zulässig sind. Bei den hier zu behandelnden Problemen zeigt es sich daher, daß in den genannten statischen Bedingungen Ausdrücke der Form „Last • (Ausgangshebelarm +) Verformungshebelarm“ auftreten und daß dadurch sowohl die Last-Schnittgrößen-Beziehungen wie auch die Last-Verformungs-Beziehungen nicht mehr linear bleiben; mathematisch bedeutet dies, daß jeweils mehrere Lösungen denkbar sind, bei denen allerdings von Fall zu Fall zu untersuchen ist, welche von ihnen mechanisch überhaupt möglich sind.