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Bewegung der Flüssigkeiten

Hydro- bzw. Aerodynamik
  • Walther Kaufmann

Zusammenfassung

Während in der Dynamik „starrer“ Körper die Lehre von der Bewegung eines einzelnen (freien oder in bestimmter Weise geführten) Massenpunktes einen breiten Raum einnimmt und auf eine große Relier technischer Probleme unmittelbar anwendbar ist, handelt es sich in der Hydrodynamik um die Bewegung einer kontinuierlich über bestimmte Räume verteilten Flüssigkeitsmasse, deren einzelne Teilchen in jedem Augenblick unter der Wirkung ihrer Umgebung stollen und somit ihre Bewegung gegenseitig ständig beeinflussen. Zu einer bestimmten Zeit t besitzt jedes Flrissigkeitselernent von der Masse d m — das man sich als beliebig klein vorzustellen hat — eine bestimmte an die Masse d m gebundene Geschwindigkeit v. Im allgemeinen werden die Geschwindigkeiten der einzelnen Massenelemente (nach Größe und Richtung) verschieden sein. Ordnet man nun jedem Teilchen zur Zeit t bestimmte Lagekoordinaten x, y, z zu1, so ist das Strömungsfeld, d. h. das gesamte von Flüssigkeit erfüllte Gebiet, durch die Angabe der an, jeder Stelle (x, y, z) herrschenden Geschwindigkeit v gekennzeichnet. Bleibt die Gesehwinrligkeit v am Orte A unabhängig von der Zeit stets die gleiche, — wobei der Ort A ständig von neuen Fiöasigkeitselementen durchlaufest wird —, so uatmt man die Strömung stationär, im anderen Falle, d. h. wena v am Orte A mit der Zeit t veränderlich ist, hat man es mit einer instationären Strömung zu tun.

Literatur

  1. 1.
    Vgl. hierzu auch Schlichting-Truckenbrodt: Aerodynamik des Flugzeuges Bd. I (1959) S.4ff.Google Scholar
  2. Vgl. dam s Handb. d. Physik von Geiger u. Scheel. Bd. 7, Berlin: Springer 1927, 5.11Google Scholar
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  4. 1.
    Es sei bier bereits darauf bin gewiesen, daß später die „mittlere“ Geschwindigkeit zur Vermeidung v n Verwechslungen mit der „trtliehen” Geschwindigkeit i. a11g. mit v bezeichnet wird. (vgl. Ziffer 12 ff.).Google Scholar
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  6. 1.
    Diese Summe wird häufig auch als „hydraulische Nöhe“ bezeichnet.Google Scholar
  7. 1.
    Angaben über die Größe von g bcw. ry’ sind an folgenden Stellen zu finden: R. v. Mrsns: Berechnung von Ausfluß-und Lberfallaahlen. Z. Vdi (1917) 9.471.Google Scholar
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  10. 1.
    Vgl. hierzu L.Pnaamml, Führer durch die Strömungslehre, 3.Auf1. (1949) 5.293, wo entsprechende Angaben über Kavitationserscheinungen zu finden sind.Google Scholar
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  12. 1.
    Über Gesehwindigkeits-und Druckmessungen sowie die dabei notwendigen Korrekturen vgl. im übrigen: Handb. d. Experimentalphysik von W. Wrnx und F. Harms Bd. 4, L Teil, 5.489 und 513, ferner L. Pranutl: Führer durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) S.44, 52 und 234.Google Scholar
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  14. Ober den Impulssatz für instationäee Stehmangen vgl. Ffandb. d. Physik von Geiger u. Sennes. Bd. 7 (1927) S. 22.Google Scholar
  15. Diese Behauptung ist für die meisten „tropfbaren“ Flüssigkeiten und für Gase unter normalen Drücken experimentell bestätigt. Bei stark verdünnten Gasen können, wie molekular-theoretische Überlegungen zeigen, gewisse Gleitbewegungen lings einer festen Wand auftreten. (Vgl. dazu S. 389.)Google Scholar
  16. Vgl. dazu W. Ostwald: Kolloid-Z. (1925) S.99.Google Scholar
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  19. Auf analytischem Wege ist dieser Strömungsvorgang von H. Scill.Iiting für einen breiten rechteckigen Kanal behandelt worden [Z. angew. Math. Mech. (1934) S. 368], wahrend B. Passus den entsprechenden Vorgang file Kreisrohre untersucht hat (Zur Berechnung der laminaren Einlaufströmung im Rohr. Dies. Göttingen 1947). Vgl. dazu aneh N. Senot,z: Be. reehnung des laminaren und turbulenten Druckabfalles im Rohreinlauf. Chemie-IngenieurTechnik 32 (1960) 5.404–409.Google Scholar
  20. 1.
    Weitere Angaben findet man in Bette Bd. 1, 28. Aufl. (1955) S. 765 und 1270.Google Scholar
  21. 2.
    Vgl. hierzu W. Tonrmrnwim Handb.d. Experimentalphysik lV,1 S. 289Google Scholar
  22. L. Ponrvnma: Führer durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) S. 105.Google Scholar
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  29. 3.
    Rine theoretische Untersuchung des Einlanfvorganges hat W. Szannnwens im Ing.- Arch. Bd. 21 (1953) 5.323 mitgeteilt. Vgl. dazu auch das l.iteeoiaziist 3 auf S. 65 (Arbeit von N. Sciions).Google Scholar
  30. 4.
    Ann. Phys. Bd. 3 (1948) S. 163;Google Scholar
  31. vgl. auch O. Lauer: Z. angcw. Phys. Bd. 5 (1953) S. 81.Google Scholar
  32. Das ltsvNQt.esschc AhnlichkeitsgesetzGoogle Scholar
  33. Vgl. dazu die Literaturangabe auf S. 67.Google Scholar
  34. 2.
    Lonuxez, H. A.: Abh. über theoret. Physik Bd. 1 (1907) 5.4:3, 66.Google Scholar
  35. 1.
    Man bezeichnet diese Spannungen auch als „scheinbare“ Schubspannungen, da sie keine Spannungen im eigentlichen Sinne darstellen (wie die durch Zähigkeit bedingten Schubspannungen r), andererseits aber in der Strömung Widerstände hervorrufen, so als ob die Flüssigkeit „scheinbar” eine erhöhte Zähigkeit besäße.Google Scholar
  36. * NncuxsnsE, J.: Vdi-Forsch.-Heft 366 (1932).Google Scholar
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  39. 1.
    BovssrnEsq, J.: Théorie de l’écoulement tonrbillonant, Paris 1897.Google Scholar
  40. 1.
    Die Austausebgröße A ist von J. Nrxessuse Forsch. erb. Ing.-Wes. Heft 356 (1932)] ns den film glatte Rohre gemessenen Gesehwindigkeitsprof ilen als Funktion des Wandabstandes z bestimmt worden. Dabei zeigt sich, daß A an der Rohrwand den Wert Null besitzt, darauf mit wachsendem z schnell ansteigt, bei zjr = 0,5 dn Maximum erreicht und denn bis zur Rohrmitte (.11. = 1) wieder schnell abfüllt, ohne dort jedoch den Wert Null zu erreichen.Tnsbesondere ergab eich, daß A für Rrvxorftssehe Zahlen Re> 10’ praktisch unabhängig von Re ist.Google Scholar
  41. 2.
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  42. vgl. such: Führer dnreh die Strömungslehre, 5. Auf1. (1949) S. 112.Google Scholar
  43. 1.
    Das negative Zeichen ist hier erforderlich, da — wie aus Abb. 61 hervorgeht — einem positiven w’ ein negatives v’ entspricht und umgekehrt. Zwischen den beiden Schwankungskomponenten der Geschwindigkeit besteht, wie man sagt, eine Korrelation.Google Scholar
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  45. 1.
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  46. 1.
    Vgl. hierzu die ausführliche Darstellung in H. Schlichtixn: Grenzschtchttheorie, 3. Aufl. (1958) 5.464. z Wie man zur Lösung dieser Aufgabe die I’toMéxsche Bedingung (134)Google Scholar
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  50. 2.
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  52. Der Ableitung von Gl. (134) liegt zwar eine ebene Strömetrg zugrunde, jedoch hat sich gezeigt, daß sie auch bei den rotationssymmetrischen Robrstrismungen durch die Messungen gut bestätigt wird.Google Scholar
  53. O. Kiiumss, Tu.: Fußn. 1, 8. 76. Vdi-Forsch.-Arb. Heft 282 (1926). Vdi-Forsch: Arb. Heft 289 (1929). v. Kóxasx, Tn.: Fußn. 1, S. 76.Google Scholar
  54. 1.
    Man kann diese Tatsache sofort ass G7. (l ll), Ziffer 12, ableiten, die sash für Rohrströmungen gilt. Aus d p/d x = &r/dz _ const folgt e = z tonet O und wegen s -= se fee z = 0 und e = 0 far o = r (Symmetrie) e — e, (1—z/r).Google Scholar
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    dazu J. Nrxuaansn: Gceetzmaßigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren. Forsch.-Arb. Ing.-Wes. Heft 356, Berlin 1932.Google Scholar
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    Ergebn. der Aerodynam. Versuchsanstalt Göttingen, 4. Lief. (1932) S. 21.Google Scholar
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    Eine theoretische L tersuchnrg dieser Vorgänge ist von W. Sz_asrrw-asr gegeben: Z. angew. Math. Mech. Bd. 31 (1951) Heft 4/5.Google Scholar
  58. 2.
    Nach Nrurwisr: Fol,. 2, 8.85.Google Scholar
  59. 1.
    Ergebn. der Aerodvnam. Versuchsanstalt Göttingen, 4. Lief. (1932) u. J. Nrxunause: Vdi-Forsch.-Heft 356 (1932).Google Scholar
  60. 2.
    Nsrunansr, J.: Forsch.-Arb. Tng.-Wes. Heft 356 (1932) und Heft 361 (1033).Google Scholar
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  62. 1.
    KAxnries, Tu.: Fußn. 1, S. 76.Google Scholar
  63. 2.
    Vdi-Forsch.-Heft 356 (1932) S. 32.Google Scholar
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  65. 1.
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  67. 1.
    Vgl. hierzu die von L. Ps.anmr, gegebene Ableitung in der Z. Vdi (1933) S. 110.Google Scholar
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    Semdeutl o, H.: Ing.-Arch. Bd. 7 (1936) 0. 1;Google Scholar
  70. vgl. auch H. Seulrcnxtna: Grenzschiohttheorie, 3. Aufl. (1938) S. 490.Google Scholar
  71. 1.
    Vgl. dazu Hütte Bd. 1, 28. Aufl. (1955) S. 780 bis 784.Google Scholar
  72. 2.
    Colebreorc, C. F.: J. Iusts. civ. Engrs. London Bd. 11 (1938/39) S. 133 bis 150.Google Scholar
  73. Vgl. dazu auch O. Kirschher: Reibungsverluste in geraden Ruhrleitungen. Man-Forsch.-Heft (1951) 5.93 bis 95.Google Scholar
  74. 1.
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  80. 4.
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  81. 5.
    Hinsichtlich einer einfachen DurchfluBformel für Rohrleitungen von dreieckigem Querschnitt bei loetinarer Strömung vgl. Z. Vdt Bd. 96 (1954) S. 1179.Google Scholar
  82. VgL dazu 0. &Tarok: Aufgaben aus dem Wasserbau (1924) g. 146.Google Scholar
  83. 1.
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    Mtwe,H.: Elemente der technischen Hydromechanik (]914) S.170.Google Scholar
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    ìlusus, R.: Elemente der technischen Hydromechanik (1914) S. 170;Google Scholar
  86. vgl. auch Hütte Bd. 1, 28. Auf]. (1955) S. 785.Google Scholar
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  91. 1.
    Ergebn.d. Aerodyn. ‘I hlt zu Giite ngen,1. Lief. (1923) S. 17, ferner G. Kaöaaa:Google Scholar
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  93. Weitere Angaben iiber Krümmerstramung sind zu finden bei V. NrersnT: Vdi-Forsch: Heft 320 (1929); W. SeunensG: Z. Vdi (1933) 0.143;Google Scholar
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  95. 7.
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  96. Vgl. etwa L. Kurrar: Integralrechnung Bd. 2, 14. Aufl. (1929) S. 167.Google Scholar
  97. 2.
    Pastttn, F.: Schweiz. Bauztg. Bd. 52 (1908) S. 334;Google Scholar
  98. vgl. auch Pa. Fonemrs,na: Hydraulik, 3. Aufl. (1930) S. 437.Google Scholar
  99. 1.
    Vgl. hierzu das Bcferat von F. Bosons im Handb. d. Experimentalphysik von Wien E. Harms, Bd. 4 Teil 4, S. 211ff.Google Scholar
  100. * Bei der Rohrströmung ist Rerr = n d = 2320 und d = 4 rr, (vgl. S. 80), so daß Re,a,er 2320Google Scholar
  101. 1.
    Nach Ph. FoucrosuImen: Hydraulik, 3. Aufl. (1930). S. 148.Google Scholar
  102. Foacnnnrmun, Ph.: Hydraulik, 3. Aufl. (1930) S. 148.Google Scholar
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  106. 1.
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  107. Vgl. dazu J. Borsssnass: Mémoires présentés par divers savants Bd. 23, Paris 1877.Google Scholar
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  109. 1.
    Vgl. dazu F. Ersvru: Wider lanslsmessungen an umströmten Zylindern von Kreis-und Brüekenpfeilerquerschnitt (1929).Google Scholar
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    Vgl. dazu insbesondere Psi. FOaeuIIzsoEa: Hydraulik, 3. Aufl. (1930), wo umfangreiche Literaturangaben darüber zu finden sind; ferner R. V. Miens, Elemente der technischen Hydromechanik (1914) 8.201Google Scholar
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  113. 1.
    Vgl. hierzu auch 9. 140.Google Scholar
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  115. 1.
    Verschiedene Autoren, z. B. A. Sozmosrevo [Vorl. über theoret. Physik Bd. 2 (1945) S. 84, setzen an Stelle von r den Wertg, in Analogie earn Kräftepotential (s. oben).Google Scholar
  116. In einer zähen Flüssigkeit gilt dieser Satz nicht. Vgl. dazu S. 292.Google Scholar
  117. 2.
    Vgl. dazu H. Lorenz: Techn. Hydromechanik (1910) S. 273.Google Scholar
  118. 1.
    Der Smonsssche Satz, der hier für eine Flüssigkeitsbewegung abgeleitet wurde, gilt übrigens auch für jeden anderen Vektor 21, der in dem betrachtetes Bereich einen stetigen Verlauf hat. Voraussetzung dafür ist, daß für jeden infinitesimalen Bereich der betrachteten Fläche F die BedingungGoogle Scholar
  119. Bekanntlich ist [e rot b]=i(e rot bz-7,C rot Uy) + (w rot e0—es rotbi) + 1(u rot e0 y rot roz).Google Scholar
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  121. 1.
    Eine eingehende Darstellung der komplexen Methoden mit vielen praktisch wichtigen Anwendungen ist in dem Buch von A. Betz: Konforme Abbildung, Berlin/Göttingen/ Heidelberg: Springer 1948, zu finden.Google Scholar
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  123. 1.
    Ein allgemeines Verfahren zur Konstruktion der Jous:owsxsschen Abbildung ist von 1:. Tane rez angegeben. Vgl. Z. Flugtechn. (1913) S. 130.Google Scholar
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    Vgl. auch F. Riegels: Die Strömung um schlanke, fast drehsymmetrische Körper. Mitt. Max-Planck-Inst. f. Strömungsforsch. Ne. 5, Göttingen 1952.Google Scholar
  128. Kutta, W.: Ober eine mit den Grundlagen des Flugproblems in Beziehung stehende zweidimensionale Strömung. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. KI., München 1910, und Ober ebene Zirkulationsströmungen nebst flugtechnischen Anwendungen, ebenda 1911.Google Scholar
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    Vgl. dazu L. Pianvrn: Naturwiss. (1925) S. 93; A. Betz: Z. Vdi (1925) S. 9.Google Scholar
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    Nach dem 3. Htumttocmzsehen Satz (S. 186) sind Wirbel in der ideates Flì,scigkeit dauernd an die einzelnen Fliissigkeitsteilehen gebunden.Google Scholar
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    Vgl. H. Lama: Hydrodynamik (1907) S. 246.Google Scholar
  147. 1.
    Kisesmonf, G.: Vorl.,aber Mechanik, 4. Aufl. (1897) B. 238 u. f.Google Scholar
  148. 2.
    Das negative Zeichen steht bier, weil die Zirkulation entgegengesetzt dreht wie in Abb. 125.Google Scholar
  149. 1.
    Hsr.Maor.TZ, H.: liber diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen. Monatsber. Akad. Wiss. Berlin 1868. Zwei hydrodynam. Abhandl. Ostwalds Klassiker, Nr. 79.Google Scholar
  150. 1.
    Pnunotr, L.: Ober die Entstehung con Wirbeln in der idealen Flüssigkeit usw. Verie. aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik, Innsbruck 1922, S. 18. Vgl. auch L. PnaxnnL: Führer durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) S. 57.Google Scholar
  151. 2.
    KdrmÓS, Tu.: Ober den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfahrt. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1911/12; Phys. Z. Bd. 13 (1912) S. 49, zus. mit H. Herren.Google Scholar
  152. 1.
    Auf die Möglichkeit, daß bei ganz speziellen Störungen auch die Wirbelanordnung nach Abb. 148 instabil sein kann, hat C. Senmlrnsx hingewiesen. Vgl. Ing.-Arch. Bd. 7 (1936) 5.215.Google Scholar
  153. 2.
    Eine Verallgemeinerung des Känmissehen Stabilitätskriteriums hat A. W. Maus in der Z. angew. Math. Mech. Bd. 20 (1940) S. 130 gegeben.Google Scholar
  154. Vgl. dazu auch U. Domur: Uber die Wirbelstraßen von geringster Instabilität. Z. angew. Math. Mech. Bd. 36 (1956) S. 367.Google Scholar
  155. 1.
    Vgl. das Literaturzitat 2 auf S. 195.Google Scholar
  156. Vgl. dazu W. Kairnra.N: thee den Mechanisutus der Wirbelkerne einer KAn.xtesehn Wirbelstraße. Ing.-Arch. Bd. 19 (1951) S.192ff.Google Scholar
  157. 2.
    Vgl. das Literaturzitat 2 auf 8.195. Siehe auch W. Kaufmann: Angew. Hydromechanik Bd. 1 (1931) S. 195.Google Scholar
  158. 1.
    Rosnxo, Ai On tim development of turbulent wakes fron vortex streets. National Advisory Comm. for Aeronautics, Rep. 1191 (1954).Google Scholar
  159. 2.
    FR1mBeeoER, R.: Experimentelle Untersuchungen an Kaemi-schen Wirbelstraßen. Dias. T. H. Manchen 1954, sowie Z. Flugwissensoh. Bd. 5 (1957) S. 355.Google Scholar
  160. Vgl. dazu auch: R. Wzn.na: -Ober Strömungserscheinungen im bj6ergaHgagelleO von geordneter zu ungeord-neter Bewegung. Jb. echiffbautechn. Ges. Bd. 46 (1952) S. 170.Google Scholar
  161. 3.
    Hinsicht li, l der Ausbildung von Wirbelstraßen in Überaehallstrsmnngen sei auf folgende Arbeit vers io si A. Naumayn u. H. Peeseenr: t’ber die Grenzschichtablösung am Zylinder bei hohen s:,-sehwindiekeiten. Seerind International Congress of the Aeronautical Sciences, Zürich 19e0, Printed by Pergamon Press, London.Google Scholar
  162. 1.
    Kacrfvaxrn, W.: Die energetische Berechnung des induzierten Widerstandes. Ing.-Areh. Rd. 17 (1949) S. 187 und Bd. 18 (1950) S. 139.Google Scholar
  163. 1.
    Navinx, M.: Mem. de l’Acad. Royale des Sciences Bd. 6 (1827) S. 389.Google Scholar
  164. Saxos, G.: Trans. Camhr. Phil. See. Bd. 8 (1845).Google Scholar
  165. 1.
    Hinsichtlich dieser besonders für die turbulente Strömungsform wichtigen Frage vgl. A. Sowiruneocn: Tool über theoret. Physik Bd. 2 (1945) S. 109 u. 261.Google Scholar
  166. 2.
    Dazu ist allerdings au sagen, daß eine zuhe Flüssigkeit exakt nur dann wirbelfrei ist wenn dabei ganz bestimmte Randbedingungen erfüllt sind (vgl. 5.286 und 291).Google Scholar
  167. 3.
    Die allgemeinste Form dieser Gleichungen findet man im Handb. d. Physik von Geiger u. Scheel Bd. 7 (1927) S. 95.Google Scholar
  168. Vgl. dazu auch W. MÜNnnx: Einführung in die Theorie der zähen Flüssigkeiten, Leipzig 1932, S. 27.Google Scholar
  169. v. KÉA111S, Tu.: Eber laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 245.Google Scholar
  170. Leser, die sieh ausfduniehrr über die allgemeine Theorie der ffahes Flüssigkeiten unterrichten wollen, seien auf das Buch von W. MÜLler: Einführung in die Theorie der zähen Flüssigkeiten, Leipzig 1932, verwiesen.Google Scholar
  171. Stokes, G.: Trans. C’amb, Phil. Soc. Bd. t (1850).Google Scholar
  172. Vgl. dazu H. LAxa: Lehrb. d. Hydrodynamik, deutsch von J. Fxrnnni, (1907) S. 682, Vgl. H. ScnrrcnTrsa: Grenzschichttheorie, 3. Aufl. (1958) B. 93.Google Scholar
  173. 1.
    O’Rrs, C. W.: Arkiv för mat, astroh. fysik Bd. 6 (1910) Nr. 29.Google Scholar
  174. F. Nbssera: Z. Math. Phan. 1911.Google Scholar
  175. F. Nbssera: Handb. d. Physik von Geiger H. Scheel Bd. 7 (1927) S. 109.Google Scholar
  176. Osons, C. W.: Vortr. aus dem Cis-biet der Hydro-and Acredynamik (Innsbruck 1922) Berlin 1924, S. 127, mid Hydrodynamik (1927) S. 166.Google Scholar
  177. Vgl. H. Bcnr.mHx,xa: Grenuschichttheoric, 3. Aufl. (1938) S. 97 und Handb. d. Physik Bd. 7 (1927) S. 110.Google Scholar
  178. Vgl. darrt H. Lamb: Hydrodynamik (1907) S. 671.Google Scholar
  179. 1.
    Vgl. dazu F. Riegel,. Z. angcw. Sloth. Mehr. (1938) 8. 95.Google Scholar
  180. 2.
    Hire Shaw: Trans. lusts. naval Archit. Bd. 411 (1898).Google Scholar
  181. Eine ausfiihrliehe Darstellung dieser Bewegung ist zu finden bei Pa. Foncrossmsun: Hydraulik, 3.Anfl. (1930) S.51, ferner im Handb. der phys. u. techn.]sec h. von An rase H-Hone Bd. 5 5.1097.Google Scholar
  182. Vgl. auch K. TEnsAohr: Theoretical Soil Mechanics (Fifth printing 1948, Esa) S. 235.Google Scholar
  183. 1.
    Nach Enrnunwxonn eilt das Dnncvsche Gesetz unter normalen Verhältnissen für u 0,3 his 0,4 ere n. Z. (ist. lug.- u. rchit.-Ver. (1928) Heft9 bis 14. Neuerdings hat (.Risse. an Hand des zur Verfügung stehenden Versuchsmaterials verschiedener Autoren festgestellt, daß bei der Strömung durch Kagelseheitlungc-n aus den verschiedensten Materialien laminare Strömungnur bei Rnvsonnsschen Zahlen d, 10 vorhanden ist, wobei u die Filtergeschwindigkeitund d den Kugeldurchmesser bezeichnen. Nur in diesem Bereich wäre danach das Dencvsche Gesetz gültig. Vgl. dazu G.Ks.rva: Druckverlust von Kugelschüttungen. Z. Vdt (1940) S.82.Google Scholar
  184. Vgl. dazu J. Koznxv: Über Grundwasserbewegung. Wasserkr. 11. AVasserwirtsch. (1927) S.67.Google Scholar
  185. Vgl. z. B. Hopf r. Tunrasz: Z. angew. Math. Mech. (1921) 0. 290. 2 Nach Pn. Fon.ennFrncarz: Hydraulik, 3. Aufl. (1930) S. 82.Google Scholar
  186. Vgl.dazu Plc.Poxenxnrneuae: Hydraulik, 3. AM.]. (1930) S. 70ff. sowie die dort angegebene Literatur, ferner G. NaaxoAnu: Zur Theorie des vollkommenen und unvollkommenen Brunnens, Berlin/ Gottingen/Heidelberg: Springer 1904.Google Scholar
  187. Hrroasea, G., o. K. Dzsovnx: Ing.-Arch. Bd. 23 (1955) S. 73; Bd. 24 (1950) S. S1; Bd. 20 (1558) S. 30.Google Scholar
  188. 1.
    Reynolds, O.: Phil. Trans. roy. Soc. 18St Part. I. Vgl. auch A. Sosumnnicrnn: Z. Math. Phys. Bd. 50 (1904) S. 97 und VorL über theoret. Physik Bd. 2 (1945) S. 244.Google Scholar
  189. Vgl. dazu Colidieptz: Z. Vdi (1919) 6.965 und Kraft: Neuere Spurloger. Masch.-Ran (1928) 6.357.Google Scholar
  190. Miceet.LA. G.A.: Z. Math. Phys. (1905) 5.123. Vgl. auch K. BArER: Forsch.-Ing.-Wes. Bd. 14 (1943).Google Scholar
  191. Die nachstehende Theorie ist von A. Sommerfeld entwickelt. Z. Math. Phys. Bd. 50 (1904) 5.97; Z. techn. Phys. Bd. 2 (1921) 0.58.Google Scholar
  192. Neuerdings wird für den Ausdruck Pm äa auch die Bezeichnung „Soum,uazonnsche Zahl“ gebraucht. µ.0 UrGoogle Scholar
  193. 2.
    Der Einfluß veränderlicher Zähigkeit wurde von G. Veoeleom: [Vdi-Forsch.-Heft 386 (1937)] mid F. NArra. [Ing.-Arch. (1940) S. 191] untersucht.Google Scholar
  194. Vgl. dazu W. Kameam: Ing.-Arch. (1948) S. 321.Google Scholar
  195. 1.
    Gürnaw.-EvoaLrxG: Reibung und Schmierung im Maschinenbau, Berlin 1925.Google Scholar
  196. Vooumm, G.: Ieg.-Arch. (1943) 5.192; Z. Vdi (1949) 5.379.Google Scholar
  197. Vgl. lazu auch H. Sassen-Feld und A.WmLEas: Cleit]agerberechmsgen. Vdi-Forsch.-Heft 441 (1954).Google Scholar
  198. Eine ausführliche Darstellung dieser Theorie samt der daraus gezogenen Folgerungen gibt H. Semroarrxa in seinem Buche „Geensschichttheoeie“, 3. Aufl. (1958). Üher die neueste Entwicklung berichtet das Buch von H. GöoTler u. W. Tonneu.: 50 Jahre Grenz. schiohttheorie. Eine Festschrift in Originalbeiträgen. Braunschweig 1955, sowie H. Seamxen. Ting: Entwicklung der Grenzsehiehtthoorie in den letztendrei.1aLrzehnten. Z.f. Fingwisseneh. Bd. 8 (1960) S. 93ff.Google Scholar
  199. 1.
    Panxnxm, L.: Verh. des 3. intern. Math. I{ongr. Heidelberg 1904 sow.e Vier Abhandlunges zur Hydrodynamik und Aerodynamik (zus. mit A. Betz), Göttingen 1927, S. 1.Google Scholar
  200. Vgl. W. TOr.EMmN: Haudb. d. E.cpe.rimentalphys. von W. Wien u. F. Harms Bd. 4, 7. Teil (1931)S.245.Google Scholar
  201. 1.
    Nach I.. Pleaernmr.: Fußn. 1, S. 233.Google Scholar
  202. 1.
    Eine ausführliche Darstellung dieses Problems gibt H. Semaennrr-a in,seinem Buch „Geeaesehichttheeeie“ 3. Aufl. (1958) S. 119 u. 123, auf das in den folgenden Ausführungen vielfach Bezug genommen wird.Google Scholar
  203. 1.
    Die ähnlichen Lösungen sind von S. Goldstein [Proc. Cambr. Phil. Soc. Bd. 35 (1939) S. 3381 und von W. Maiar en [Z. angew. Math. Mich. Bd. 23 (1943) S. 243] genauer unten acht worden, nachdem vorher bereite H. Br rare [Z. Math. Phys. Bd. 56 (1908) S. 1] den Fall der längsangeströmten ebenen Platte auf diese Weise gelöst hatte. Vgl. dazu auch H. Senna in „50 Jahre Grenzsehichtforschung“ (1955) S. 147 sowie die Bemerkung dazu vonGoogle Scholar
  204. 2.
    Tiegers: Z. angew. Math.:Mech. Bd. 36 (1956) S. 396.Google Scholar
  205. Blosnns, H.: Grenzsehiehten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Z. Math. Phys. Bd. it (1908) S. 1.Google Scholar
  206. Soxnionxixc, H.: Grenzsehiohttheorie, 3. Aufl. (1958) S. 117.Google Scholar
  207. 1.
    Vgl. dazu das Literaturzitat 1 auf 8.240 sowie L. Howarth: Aeronautical Research Committee Reports and Memoranda, London 1632 (1935).Google Scholar
  208. 2.
    Eine eingehende Darstellung findet man bei H. Sc,2c.’renrrvo: GeerzsrMchttheorie (1958) S. 133ff. auf die hier Bezug genommen wird. Vgl. auch H. Göenvee: Z. angew. Math. Mech. (1952) 5.270.Google Scholar
  209. 1.
    Literaturzitat 1, vgl. auch A. Iirama: Die ebene laminare Reibungsschicht an einem Zylinder. Arch. d. Math. Bd. 2 (1949) S. 33.Google Scholar
  210. 2.
    Flachshart, G. Ergebe. Aerodyn. Versuchsanst. Göttingen, IV. Lief. (1932) S. 134. x Pnaxotn, L.: Vgl. Literaturzitat auf S. 233.Google Scholar
  211. 1.
    Pramsri, L.: Z. angew. Math. Meek. (1938) S. 77 u. H. GÖRtler: ebenda (1939) S. 129 sowie Ing.-Arch. (1948) S. 173.Google Scholar
  212. 1.
    Mangler, W.: Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen Germ-schichten in kompressiblen Flüssigkeiten. Z. angew. Math. Mech. Bd. 28 (1948) S. 97.Google Scholar
  213. v. Kirxin, Tu.: Über laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 233.Google Scholar
  214. Flachshart, G. Ergebe. Aerodyn. Versuchsanst. Göttingen, IV. Lief. (1932) S. 134. x PnAxoTn, L.: Vgl. Literaturzitat auf S. 233.Google Scholar
  215. 1.
    Pramsri, L.: Z. angew. Math. Meek. (1938) S. 77 u. H. GÖRtler: ebenda (1939) S. 129 sowie Ing.-Arch. (1948) S. 173.Google Scholar
  216. Mangler, W.: Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen Germ-schichten in kompressiblen Flüssigkeiten. Z. angew. Math. Mech. Bd. 28 (1948) S. 97.Google Scholar
  217. v. Kirxin, Tu.: Über laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 233.Google Scholar
  218. Pomxeusss, K.: Zur näherungsweisen Integration der Differentialgleichungen der laminaren Grenzschicht. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 252.Google Scholar
  219. 1.
    Gaasansrz, E.: Die turbulente Reibungsschicht in ebener Strömung Sri Druckabfall und Druckanstieg. Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 321.Google Scholar
  220. Hocsssre, H., u. T. Bohlen: Lilienthal-Bericht S 10 (1940) S. 5.Google Scholar
  221. 1.
    Wanz, A.: Anwendung des Energiesatzes von WreGxanar auf einparametrige Gcschwindigkeitspesfile in lammaren Grenzschichten. Ing.-Arch. Bd. 16 (1948) S. 243.Google Scholar
  222. 2.
    Tncncnxbk0DT, E.: Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der laminaren und turbulenten Reibnngssehieht bei ebener und rotationssymmetrischer Strömung. Ing.-Arch. Bd. 20 (1962) S. 211.Google Scholar
  223. Vgl.:t zu auch L. Lenmr,, n. N. Scanca: Untersuchungen über die Strömungsverluste in ebenen Sch:n felgittern. Vdi-Forsch.-Heft 404 (1957). J. Ivnzssxsen: Mitt. des Inst. f. angew. Math. der T.H. Karlsruhe, Nr.9 (1958), sowie N. Scholz: Erginaungen zum Gremschichtgnadraturverlahrea: von E. Tucraasmour: Ing.-Arch. Bd. 29 (1900) S. 82f1.Google Scholar
  224. 1.
    Einen Vorsto6 in dieser Richtung hat W. Szannnwsxr in seiner Arheit „Berechnung der turbulenten Strömung längs der ebenen Platte“ unternommen. Z. angew. Math. Mech. Bel. 31 (1951) S. 309.Google Scholar
  225. 1.
    Pnaxnea, L.: Ergebn. Aerodyn. Versuchsamt. Göttingen, LLief. (1921) 9.136, Iil Lief. (1927); IV. Lief. (1932).Google Scholar
  226. v. Ioooiu, To.: Über larulnare und turbulente Reibeng. Z. angew. Math. Mech. (1921) S. 233.Google Scholar
  227. 1.
    Paaxoez., L.: Ergebn. Aerodye. Versuchsanst. Göttingen, I. Lief. (1923) S. 136. Senfaeaxaxo, IL: Gee schiehttheorie (1958) S. 501.Google Scholar
  228. 2.
    Burgers, J. M., u. B. G. vere Der Hegge Zraxen: Measurements of the velocity distri-bution in the boundary layer along a plane surface, Delft 1924.Google Scholar
  229. 3.
    Hansen, DL: Abhandl. aus dem Aerodyn. Inst. d. T. H. Aachen (1928) Heft 8, S. 39.Google Scholar
  230. Scaamrting, H.: Ergebn. Aerody. Versuchsanst. Göttingen, IV. Lief. (1932) S. 18.Google Scholar
  231. 4.
    Sc11acarneo, H.: Grenzschichttheorie (1958) S. 503.Google Scholar
  232. 1.
    Umfangreiche experimentelle Untersuchungen sind von J. Nrxuaansr durchgeführt und in einem Bericht „Turbulente Reibungsschichten an der Platte“ zusammengestellt, der von der Zentrale für wissensch. Berichtswesen d. Luft.-Forschg. herausgegeben wurde (München u. Berlin: R. Oldenbourg 1942). Vgl. dazu auch S. Dnswsx: Direct measurements of skin friction, Naca-Rep. 1121 (1953).Google Scholar
  233. Panocs, L., u. H. Sonlmsa’rzva: Das Widerstandsgesetz rauher Platten. Werft Reed. Hafen (1934) S. 1 bis 4.Google Scholar
  234. Schultz-Gaovow, F.: Jb. schiffbautechn. Ces. Bd. 39 (1938) B. 176 bis 199.Google Scholar
  235. Kerner, G.: Jb. schif£bauteehn. Ges. Bd. 38 (1937) S. 159 u. 233.Google Scholar
  236. 5.
    Vgl. dazu auch K. Wmcu:fnar: Betrachtungen zum Zähigkeitswiderstand von Schiffen, Jb. sehiffbautechn. Ges. Bd. 52 (1958) S. 184 ff.Google Scholar
  237. 6.
    Eine zusammenfassende Darstellung dieses Gebietes findet man bei H. Scrarcnzmo: Grenzsohiehttheorie (1958) S. 529ff., wo auch die einschlägige Literatur angegeben ist. Vgl. auch E. TaUceexnsonz: Ing.-Arch. Bd. 22 (1952) S. 212, sowie Ziffer 18 f dieses Buches..Google Scholar
  238. 1.
    Eine Erklärung der Turbulenz auf statistischer Grundlage hat 4V. HErsrxrErce gegeben. Z. Phys. Bd. 124 (1948) S. 628.Google Scholar
  239. 1.
    ToLLmsax, W.: Ober die Entstehung der Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. KI. (1929) S. 21; Z. angew. Math. Mech. (1947) S.33 u. 70.Google Scholar
  240. Vgl. dazu auch H. Senrrcarn:u: Zar Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. (1933) S. 182 u. (1935) S. 47;Google Scholar
  241. Z. angew. Math. Mech. Bd. 13 (1933) S. 171, sowie Amplitudenverteilung und Energiebilanz der kleinen Störungen bei der Plattenströmung. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. K]. Fachgruppe I (1935) S.47 bis 78.Google Scholar
  242. Sencmarngc, H.: Grenzsehichttheorie, 3. Aufl. (1958) S. 346 bis 427.Google Scholar
  243. 2.
    Vgl. auch den zusammenfassenden Bericht in Forsch. Mg.-Wes. Bd. 16 (1950) B. 65.Google Scholar
  244. 3.
    I Nach Smarm-a’rtar: Grenzsehiehttheorie (1958) S. 308Google Scholar
  245. 4.
    Toncvuen, W.: Ein allgemeines Kriterium der Instabilität laminaree Grenzschichten. Nachr. Ger. Wiss. Göttingen, mach.-phys. RI. Fachgr. I (1935) S. 79.Google Scholar
  246. Lora, L., a. C. C. Lax: Investigation of the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. Technical Note of the National Advisory Committee for Aeronautics. Washington 1115 (1946).Google Scholar
  247. Pnexner., L. Einfluß stabilisierender Kräfte auf die Turbulenz. Vortr. aus d.Gebiete d. Aerodynamik, Aachen 1929, S. 5. Vgl. auch H. WuesEm-: Ing.-Arch. Ed. 1 (1930) S. 357 und H. GönTtsx: Z. angew. Math. Mech. Bd. 21 (1941) S. 250.Google Scholar
  248. Tollmnen, W. Z. angew. Math. Mech. Bd. 33 (1953) S. 200.Google Scholar
  249. 5.
    Die Widerstandsziffer wurde dort mit ef bezeichnet, da es sieh nar um Reibungswiderstand handelt (f von Friktion = Reibung).Google Scholar
  250. Ergebn. Aerodyn. Versuchsanst. Gottingen, II. Lief. (1923) S. 22ff.Google Scholar
  251. 1.
    thee den Einfluß der Kompressibilität vgl. A. Naumann: Luftwiderstand der Kugel bei hohen Untersehallgeschwindigkeiten. Allg. Wärmetechnik (1953) Heft 10, S. 217.Google Scholar
  252. 2.
    Pasersu., L.: Führer durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) S. 170.Google Scholar
  253. 3.
    Vgl hierzu auch O. Flachsbart: Die Belastung von Bauwerken durch Windkräfte in W. Kaufmann: Angew. Hydromechanik Bd. 2 (1934) S. 269.Google Scholar
  254. 4.
    Es wird später gezeigt (S. 328), daß bei Tragflügeln außer dem Profilwiderstand noch ein an der endlichen Spannweite der Flügel abhängiger Widerstandsanteil auftritt.Google Scholar
  255. 5.
    Sofern keine Ablösung der Grenzschicht eintritt, kann der Profilwiderstand mit Mille der Grenzschiehttheorio in guter tbereinstimmung mit Versuchen theoretisch bestimmt werden. Vgl. dazu E. 7YcuCsfxanoHx: Die Berechnung des Profilwiderstandes aus der vorgegebenen Profilform. Ing.-Arch. Bd. 21 (1953) S. 176 bis 186.Google Scholar
  256. Sznwnnu, F.: Z. Flugteehn. u. Motorluftseh. Bd. 18 (1927) S. 350.Google Scholar
  257. Hasenar-Pace: Engineering Bd. 1ll (1921) S. 274. Vgl. auch A. Betz: Ber. u. Abhandl. der Wissenseh. Gesellsch. f. Luftfahrt (1922) Heft 6.Google Scholar
  258. 1.
    Vgl. dazu G. FNÜOra: Jb. sehiffbautechn. Ges. (1930) 5.87.Google Scholar
  259. 1.
    Vgl. dazu L. Psalsnzn: Führee durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) 5. 135.Google Scholar
  260. Bonn, A.: Beeinflussung der Reibungsschicht und ihre praktische Verwertung. Schriften d. dtsch. Akad. d. Luftb-Forschg. (1939) Heft 49 und J. Acanann: Grenzschichtabsaagung, Z. Vdi Bd. 35 (1926) S. 1153.Google Scholar
  261. 2.
    Stnsrenssrve, H.: Granzschic1stthaorie (1958) S. 250 und 395ff., wo auch die einschlägigen Literaturangaben zu finden sind. —Turn nssnnonr, E. Ein einfaches Näherungsverfahren e., m Berechnen der laminaren Reibungsschicht mit Absaugung. Forschung Vdi Bd. 2 (1956) S. 147. s Liehe, W.: Der Grenzschichtzaun. Interavia 7 (1952) Nr. 4.Google Scholar
  262. 1.
    Vgl. dazu Auch Scanrcnrina-Trlceeyeaone: Aerodynamik des Flugzeuges Bd. 1 (1959) 5.264.Google Scholar
  263. Pnaxnmc, L.: Pührer durch die Strömungslehre, 3. Aufl. (1949) S. 116.Google Scholar
  264. 2.
    Man erkennt dies, w eine Kontrollfläche legt, die von zwei die Strahlaciwesenkrecht schneidenden und zwei außerhalb des Strahles liegenden Parallelebenen gebildet wird, und darauf den Impulssatz anwendet.Google Scholar
  265. 1.
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  289. Vgl. etwa R. Rothe: Höhere Mathematik Teil II, Il. Aufl., S. 137.Google Scholar
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    Vgl. dazu W. Kaufmann: Die Erweiterung des Zirkulationssatzes von W.’Luoxsox auf zähe (viskose) Flüssigkeiten. Z. Flugo issensch. Bd. 7 (1969) 0. 103ff.Google Scholar
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    Es ist ja bekanntlich grad U d 5— Q d U 0.Google Scholar
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  296. 1.
    Diese Darstellung ist vermutlich bereits von O. Lilienthal benutzt worden.Google Scholar
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  299. Vgl. dazu: Ergebe. Aerodyn. Versuchsanst. Göttingen, II. Lief. (1923).Google Scholar
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    Vgl. dazu Tu. Tueoeousox u. J. E. Garrick: Naca-Rep. (1931) Nr. 411 u. (1933) Nr. 452 sowie A. Betz: Konforme Abbildung (1948) S. 259Google Scholar
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    Vgl. dazu W. Birnbaum: Die tragende Wirbelfläche als Hilfsmittel zur Behandlung oies ebenen Problems der TragFHigehhesrie. Z. angew. Math. Mech. Bd. 3 (1923) S. 290. Diese Arbeit berichtet über einige Rechnungen, die Ackermann auf Anregung von PoAxzen, durchgeführt hat.Google Scholar
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    Vgl. dazu J. Liseura: Z. Flugtechn. Bd. 24 (1933) 9. 249 bis 251 u. 269 bis 272.Google Scholar
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    Vgl. dazu S. 313.Google Scholar
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    Eine ausführliche Darstellung dieser Abbildung gibt A. Betz in seinem Buche „Konforme Abbildung“ (1948) S. 214ff., wo auch weitere Literaturangaben zu finden sind.Google Scholar
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    Vgl. dazu Handb. d. Physik von Geiger U. Scheel Bd. 7 (1027) S. 300.Google Scholar
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    Bezüglich einer strengeren Berechnung des Strömungsverlaufs sei auf die Arbeiten von II. GÖRtle.H in der Z. angel. Sloth. Mech. Bd. 19 (1939) S. 325 und Bd. 20 (1940) S. 254 verwiesen.Google Scholar
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    Vgl. dazu Wien U. Harms: Handb. d. Experimentalphys. Bd. 4, 1. Teil (1931) S. 416. i RucmAes, B.: Ges. Werke, 2. Auf I. (1892) 5.156.— A. ScoscLs, Dampf-u. Gasturbinen, 5. Aufl. (1922) S. 68.Google Scholar
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    Dieser Bericht, welcher reichliches Versuchsmaterial enthält, ist die Zusammenfassung eis an H. Scnamn-nzG gehaltenen Vortrages and wurde als Sonderdruck des Instituts far Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig herausgegeben.Google Scholar
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    Zwei verschieden gerichtete Verdichtungsstöße durchdringen einander beim Zusammentreffen ohne wesentliche gegenseitige Störung, solange die Stoßintensitäten nicht erheblich sind. Tn anderen Fallen kommt es jedoch vor, daß sich nach dem Zusammentreffen zweier Stöße nur ein einzelner Stoll abzweigt. Man spricht dann von einem Gabelstoß. Derartige Erscheinungen sind mitunter — bei gegebenen Voraussetzungen — in Grenzschichten zu beobachten. Einen zusammenfassenden Bericht über diese Vorgänge findet man bei W. WuEsz: Theorie des gegabelten Verdichtungsstoßes. Z. Angew. Math. Mech. Bd. 28 (1948) S. 74.Google Scholar
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  432. Wegen weiterer Einzelheiten über die Stoßpolare sei auf R. Sauen, Einführung in die Theoret. Gasdynamik, 3. Aufl. (1960) S. 14111. verwiesen.Google Scholar
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    Vgl. dazu auch R. Sauaa: Theoret. Gasdynamik, ‘3. Aasft (1960) S. 181 bis 185 und K. Oswwtrsen: Gasdynamik (1952) S. 302.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1963

Authors and Affiliations

  • Walther Kaufmann
    • 1
  1. 1.Technischen HochschuleMünchenDeutschland

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