Stabilität linearer, zeitinvarianter Systeme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Kriterien für asymptotische Stabilität, für Stabilität und für Instabilität linearer, zeitinvarianter Systeme

$ \dot x\left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A} \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( t \right),\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( 0 \right) = {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} _0}$

(5.1)

entsprechend den Erkenntnissen in den Kapiteln 3 und 4 zusammengestellt. In Satz 3.5 des Abschnitts 3.2.2 ist festgehalten, daß die Stabilitätsfrage für (5.1) durch die Eigenwertverteilung der Systemmatrix $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}$ gekennzeichnet ist. Stabilitätskriterien sind demgegenüber solche Sätze, in denen ohne Kenntnis der Eigenwerte Aussagen über deren Verteilung gemacht werden. Diese Fragestellung kann mit Hilfe zweier verschiedener Ansätze untersucht werden. Die entwicklungsgeschichtlich erste Methode besteht in der Untersuchung der Nullstellenverteilung des charakteristischen Polynoms $p\left( \lambda \right) = \det \left( {\lambda {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{E} }_n} - \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A} } \right)$ (2.24). Solange nicht der Defekt d_i von Eigenwer-ten λ_i mit verschwindendem Realteil benötigt wird, ist das Stabilitätsproblem durch die Nullstellenverteilung von p(λ) eindeutig zu lösen. Insbesondere das Problem der asymptotischen Stabilität kann durch diesen Ansatz vollständig behandelt werden. Das erste Ergebnis auf diesem Gebiet stammt von Hermite [42] im Jahr 1856, jedoch setzten sich allgemein die späteren Kriterien von Routh [121], 1877, und Hurwitz [46], 1895, durch. Die zweite Methode stammt von Ljapunov [69], 1892, und stellt die Kennzeichnung der Eigenwertverteilung durch Lösungseigenschaften von Matrizengleichungen dar, wie es in Kapitel 4 beschrieben wurde. Diese Methode steht heute infolge der Entwicklung der Systemtheorie in den letzten zwei Jahrzehnten wieder stärker im Blickfeld und beginnt, die Routh-Hurwitz-Kriterien in ihrer Bedeutung einzuschränken.