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Eisenstein’s Analytic Proofs

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Reciprocity Laws

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Abstract

In this chapter we will have a closer look at Eisenstein’s analytic proofs for the reciprocity laws for quadratic, cubic and quartic residues. In the historical survey which he put at the beginning of his paper [468], Kummer praises them with the following words:

Für einen der schönsten Beweise dieses von den ausgezeichnetsten Mathematikern viel bewiesenen Theorems wird aber derjenige mit Recht gehalten, welchen Eisenstein in Crelle’s Journal, Bd. 29, pag. 177, gegeben hat. In diesem wird das Legendresche Zeichen (p / q) durch Kreisfunktionen so ausgedrückt, daß bei der Vertauschung von p und q dieser Ausdruck, bis auf eine leicht zu bestimmende Änderung im Vorzeichen, ungeändert bleibt. [...] Wenn dieser Eisensteinsche Beweis schon wegen seiner vorzüglichen Eleganz beachtenswerth ist, so wird der Werth desselben noch dadurch erhöht, daß er, wie Eisenstein selbst gezeigt hat, ohne besondere Schwierigkeit auch auf die bi-quadratischen und kubischen Reciprocitätsgesetze angewendet werden kann, wenn anstatt der Kreisfunktionen elliptische Funktionen mit bestimmten Moduln angewendet werden.1

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Lemmermeyer, F. (2000). Eisenstein’s Analytic Proofs. In: Reciprocity Laws. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0_8

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