Über das Typenproblem

Zusammenfassung

Der Hauptsatz der konformen Abbildung besagt: Eine beliebige, über der w-Ebene ausgebreitete, einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche F läßt sich eineindeutig und konform auf eines der folgenden Normalgebiete G _z abbilden: 1. die Vollebene (elliptischer Typus), 2. die punktierte Ebene (parabolischer Typus), 3. den Einheitskreis (hyperbolischer Typus). Unter dem Typenproblem versteht man die Aufgabe, bei gegebener Fläche F den Typus zu bestimmen, also anzugeben, welcher der drei Fälle vorliegt. Die neuere Theorie der offenen Flächen hat diese Fragestellung wesentlich erweitert (R. Nevanlinna [5], Sario [1]). Hier sollen im wesentlichen nur die Flächen F _q , also einfach zusammenhängende Riemannsche Flächen mit endlich vielen Grundpunkten, behandelt werden. Die Flächen F _q mit endlich vielen Grundpunkten lassen sich in sehr bequemer Weise durch den Streckenkomplex veranschaulichen. Durch die Grundpunkte w = a _l, a ₂,..., a _q der w-Kugel wird in dieser Reihenfolge eine Jordan-Kurve c, die Zerschneidungskurve, gelegt. c zerlegt die w-Kugel in zwei einfach zusammenhängende Gebiete, ein positiv umlaufenes I und ein negativ umlaufenes A. Aus diesen „Halbblättern“ I und A läßt sich die Fläche F _q aufbauen, indem man die verschiedenen Halbblätter über gewisse der Bögen a ₁ a ₂, a ₂ a ₃,..., a _q a _l von c verheftet.