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Ansätze zur Lösung des ganzzahligen Standardproblems

  • Thomas Gau
Chapter
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Part of the Produktion und Logistik book series (PRODLOG)

Zusammenfassung

Für den Fall einer Relaxierung der Ganzzahligkeitsrestriktion für die Variablen des klassischen Modells verfügt man mit dem spaltenerzeugenden Verfahren von Gilmore und Gomory über ein „adäquates“ Lösungsinstrumentarium im Sinne akzeptabler Rechenzeiten,1 so daß nunmehr eine Aufhebung der Relaxierung bzw. die Bestimmung optimaler ganzzahliger Lösungen für das Standardproblem im Mittelpunkt des Interesses steht. Daß dem spaltenerzeugenden Verfahren aber auch im Zusammenhang mit der Bestimmung (optimaler) ganzzahliger Lösungen entscheidende Bedeutung zukommt, sei an dieser Stelle bereits vorweggenommen und rechtfertigt daher auch die vorangegangene, ausführliche und intensive Auseinandersetzung mit diesem Lösungsansatz.

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. Kapitel 4 dieser Arbeit.Google Scholar
  2. 2.
    Der itemorientierte Ansatz wird hier bewußt nicht mit angeführt, da eine explizit vollständige Modellierung auf Grundlage des itemorientierten Ansatzes für Probleme vom Typ „Cutting Stock“ zwar grundsätzlich möglich, aber nicht sinnvoll wäre. Begründen läßt sich dies u.a.damit, daß der Algorithmus Mtp gegenüber Lösungsansätzen, die eine explizit vollständige Modellierung voraussetzen, in jedem Fall vorteilhafter erscheint.Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. hierzu Tabelle 4.1 dieser Arbeit und die dort angeführten Modellgrößen.Google Scholar
  4. 4.
    Der Einsatz des Programms Cplex 2.0 machte einen Wechsel der ansonsten durchgängig verwendeten PC-Konfiguration notwendig.Google Scholar
  5. 5.
    Die mangelnde Robustheit der angeführten exakten Lösungsverfahren macht eine Einschränkung der Datensätze auf solche mit speziellen Eigenschaften notwendig. Die Tatsache, nur wenige und darüber hinaus nur spezielle Probleme in die weitere Betrachtung mit einbezogen zu haben, sollte daher weniger als methodischer Mangel im Vorgehen des Verfassers, denn als Indiz für die geringe Robustheit und damit Unvorteilhaftigkeit der angegebenen Lösungsansätze interpretiert werden.Google Scholar
  6. 6.
    Einen umfassenden Überblick zu heuristischen Lösungsverfahren für das Bin-Packing Problem vermittelt die Arbeit von Coffman U.A. (1984).Google Scholar
  7. 7.
    „¡­ very little can be found in the literature an the exact solution of Bpp.“ (Martello/Toth (1990), S. 237).Google Scholar
  8. 8.
    Vgl. Martello/Toth (1990), S. 237ff. und S. 270ff.Google Scholar
  9. 9.
    Die Überlegenheit von Mtp gegenüber anderen, aus der Literatur bekannten, exakten Verfahren für das Bin-Packing Problem ist ein zentrales Ergebnis der Arbeit von Brandes (1995).Google Scholar
  10. 10.
    Es zeigt sich die grundsätzliche Schwierigkeit, itemorientierte Verfahren auf Probleme vom Typ „Cutting Stock“ gleichermaßen sinnvoll anwenden zu können, und damit auch die geringe Itobustheit eines solchen Vorgehens.Google Scholar
  11. 11.
    Der verwendete Watcom Fortran 77 Compiler erlaubt eine Dimensionierung der Arrays nur bis zu einer maximalen Größe von 216-1 = 65535, so daß Probleme mit größerer Itemanzahl nicht bearbeitet werden konnten.Google Scholar
  12. 12.
    Die mit Mtp bestimmten optimalen Zielwerte sind in Tabelle 5.2 entsprechend markiert.Google Scholar
  13. 13.
    Hinsichtlich einer Darstellung der Ffd-Heuristik vgl. Kapitel 5.2 dieser Arbeit.Google Scholar
  14. 14.
    Es sind dies die Probleme Chv83–4 (485), J0H86–3 (101), Pie64–5 (261) und Pie70–1 (8). Die in Klammern angegebenen Zahlenwerte kennzeichnen dabei den Zielwert der nach 5 sec. Rechenzeit von Mtp berechneten Lösung.Google Scholar
  15. 15.
    Vgl. die Abschätzung in Kapitel 4.2.3.2 (S.95) dieser Arbeit.Google Scholar
  16. 16.
    Vgl. auch die in Kapitel 5.1 dieser Arbeit im Zusammenhang mit dem Algorithmus Mtp dargestellten Ergebnisse.Google Scholar
  17. 17.
    Dies trifft auf die Probleme der lfd. Nr. 1,2,3,7,11,13,15,16,17,22,23,25 und 27 zu.Google Scholar
  18. 18.
    Der Verfasser verweist daher auf das Kapitel 5.4 dieser Arbeit.Google Scholar
  19. 19.
    Thaler (1991), S. 115.Google Scholar
  20. 20.
    Ein empirischer Vergleich von neun (!) Heuristiken weist z.B. nach, daß ein Aufrunden der mit LP-Relaxation erhaltenen Verwendungshäufigkeiten die insgesamt schlechtesten Ergebnisse aller betrachteten Heuristiken liefert, vgl. WÄScher/Gau (1996), S. 139f.Google Scholar
  21. 21.
    Sinuany-Stern/Weiner (1994), S.236.Google Scholar
  22. 22.
    Vgl. WÄScher/Gau (1996), S.138ff. und Kapitel 5.4 dieser Arbeit.Google Scholar
  23. 23.
    Kapitel 4 dieser Arbeit enthält eine ausführliche Darstellung der für eine einfache Implementation des spaltenerzeugenden Verfahrens notwendigen Module.Google Scholar
  24. 24.
    Vgl. WAscHer/Gau (1996).Google Scholar
  25. 25.
    Der Verfasser denkt in diesem Zusammenhang z.B. an die Bin-Packing Heuristiken Next-Fit, Best-Fit, Any-Fit, Almost-Any-Fit oder Refined-First-Fit, die in einem Übersichtsaufsatz von Coffman U.A. (1984) angeführt werden. Daß Ffd hinsichtlich der Lösungsqualität tatsächlich nicht schlechter abschneidet als diese Heuristiken, zumindest bei Anwendung auf Probleme vom Typ „Cutting Stock“, konnte im Zusammenhang mit einer anderen, allerdings unveröffentlichten Arbeit des Verfassers nachgewiesen werden. Ein identisches Ergebnis dokumentiert auch WÄScher (1993) hinsichtlich des Vergleichs von First-Fit-Decreasing und Best-Fit-Decreasing.Google Scholar
  26. 26.
    Vgl. WÄScher (1989), S.216.Google Scholar
  27. 27.
    Für eine detailliertere Darstellung des Vorgehens von Rpe-Techniken vgl. Pierce (1964), S. 28ff.Google Scholar
  28. 28.
    Vgl. WÄScher (1993).Google Scholar
  29. 29.
    Gilmore/Gomory (1961), S. 852f.Google Scholar
  30. 30.
    Vgl. Z.B. Hinxman (1980), S. 11 oder ChvÂTal (1983), 5.198.Google Scholar
  31. 31.
    Wie bereits erwähnt, ist der empirische Nachweis einer Vorteilhaftigkeit der Verwendung von Dekompositionsheuristiken ein zentrales Ergebnis der Arbeit von WäscHer/Gau (1996).Google Scholar
  32. 32.
    Eine derartige Formulierung des relaxierten Problems ist insofern äquivalent zu einer Formulierung mit „größer-gleich“ Restriktionen, als sie zum gleichen optimalen Zielwert führt, vgl. Gilmore/Gomory (1961), S.851 bzw. Kapitel 2.6 dieser Arbeit.Google Scholar
  33. 33.
    Unabhängig vom Verfasser dokumentieren Scheithauer und Terno ein äquivalentes Ergebnis, vgl. Lemma 1 in Scheithauer/Terno (1995), S. 565.Google Scholar
  34. 34.
    Vgl. Marcotte (1985), S.85ff.Google Scholar
  35. 35.
    Für Gegenbeispiele zur Iru-Eigenschaft mit m > 3 vgl. Kapitel 2.7.2 dieser Arbeit.Google Scholar
  36. 36.
    Vgl. Kapitel 2.7.3 dieser Arbeit.Google Scholar
  37. 37.
    Man beachte, daß x = Lu + {æ} und d = d’ + d“. Google Scholar
  38. 38.
    Eine Berücksichtigung von Nachfragelängen l; mit d;’ = 0 ist grundsätzlich redundant und erfolgt daher hier einzig aus darstellungstechnischen Gründen.Google Scholar
  39. 39.
    Eine Auflistung von Problemen ohne Iru-Eigenschaft mit teilweise noch größerer Differenz Ax als der hier angegebenen findet man in Kapitel 2.7.2 (Tabelle 2.5) dieser Arbeit.Google Scholar
  40. 40.
    Andererseits führt jede ganzzahlige Lösung des Residualproblems, d.h. auch eine ohne Optimalitätsanspruch, in Verbindung mit einer Lösung für das andere Teilproblem auch jeweils zu einer Lösung des Ausgangsproblems. Allerdings ist diese im allgemeinen nicht optimal.Google Scholar
  41. 41.
    Das Residualproblem ist im allgemeinen vom Typ „Bin-Packing“, so daß die Verwendung einer an das Bin-Packing Problem angelehnten Terminologie gerechtfertigt erscheint.Google Scholar
  42. 42.
    Da eine optimale Lösung der Residualprobleme sowohl für den relaxierten als auch den ganzzahligen Fall jeweils unmittelbar bestimmt werden kann, wird hier auf eine explizite Darstellung der Lösungen verzichtet.Google Scholar
  43. 43.
    Alternative 1 hätte sich speziell auch bei einer Dekomposition durch Abrunden (Lemma 5.3) ergeben.Google Scholar
  44. 44.
    Für eine ausführliche Darstellung der Referenzimplementation Cgrep wird auf Kapitel 4.2.6 dieser Arbeit verwiesen.Google Scholar
  45. 45.
    Vgl. Martello/Toth (1990), S. 237ff. bzw. S. 270ff.Google Scholar
  46. 46.
    Von der alternativen Verwendung eines Rechenzeitlimits wurde abgesehen, da die Mtpimplementation in ihrer ursprünglichen Form verwendet werden sollte. Darüber hinaus ergaben sich mit Back=25000 bislang noch keine prohibitiven Rechenzeiten für die zu betrachtenden Residualprobleme, ganz im Gegensatz zu einer unmittelbaren Anwendung von Mtp auf das jeweilige Ausgangsproblem. Zu letzterem vgl. auch die Ergebnisse in Kapitel 5.1 dieser Arbeit.Google Scholar
  47. 47.
    Die anderen Größen lassen sich aufgrund der Identitäten Bx’ = d’ und d = d’ + d“ daraus wiederum eindeutig berechnen.Google Scholar
  48. 48.
    Für eine Exemplifikation dieses Ansatzes vgl. z.B. Beispiel 5.2 in Kapitel 5.4.1 dieser Arbeit. 48 Zur Idee einer sukzessiven Dekomposition vgl. auch die ergänzende Bemerkung 2 zu 5¡ã Mit x i < 1 bzw. = 0 für alle j = 1,¡­, m ist das Residualproblem identisch mit dem Ausgangsproblem, d.h. eine erneute Dekomposition wäre redundant.Google Scholar
  49. 51.
    Es zeigt sich, daß Mtp eine optimale Lösung für das Residualproblem im allgemeinen entweder mit weniger als 2500 Backtrackingschritten bestimmt oder aber der Aufwand einer exakten Berechnung prohibitiv ist. Die Wahl unterschiedlicher Werte für Back (2500 bzw. 25000) ist in diesem Sinne als verfahrensbeschleunigende Maßnahme zu interpretieren, da lediglich auf das letzte, vermeintlich am einfachsten lösbare Residualproblem im Sinne der kleinsten Anzahl von Items ein größerer Berechnungsaufwand (Back=25000) entfällt. Insbesondere erfordert eine Durchführung des spaltenerzeugenden Verfahrens für ein spezielles Residualproblem in der Regel deutlich weniger Rechenaufwand als die Anwendung von Mtp, so daß die Realisation einer weiteren, ggf. möglichen Problemvereinfachung als Ergebnis einer Durchführung des spaltenerzeugenden Verfahrens gegenüber der Anwendung von Mtp mit einem größeren Wert für Back präferiert wird.Google Scholar
  50. 52.
    Vgl. auch die Ausführungen in Kapitel 5.4.1 dieser Arbeit.Google Scholar
  51. 53.
    Auch der Einsatz kommerzieller LP-Software führt nicht selten zu prohibitiven Rechenzeiten, vgl. WÄScher/Gau (1996), S.138f.Google Scholar
  52. 54.
    Beispiel 5.2 des Kapitels 5.4.1 zeigt, daß o.g. Zielwertdifferenz am größten ist für die Dekompositionsalternative 8 mit einem Residualproblem bestehend aus den vier größten Items (Längen), während sie am kleinsten ist für die Dekompositionsalternative 1 mit einem Residualproblem bestehend aus den vier kleinsten Items (Längen). Die entsprechend Alternative 1 erhaltene Lösung des Ausgangsproblems ist optimal, die von Alternative 8 dagegen nicht.Google Scholar
  53. 55.
    Vgl. Stadtler (1990), 5.212ff.Google Scholar
  54. 56.
    Es sei angemerkt, daß Stadtler die Idee einer Minimierung der Anzahl der Items des Residualproblems weder als Charakteristikum seines (Dekompositions-)Ansatzes herausstellt noch überhaupt explizit erwähnt. Daß es sich im Kontext der abgeleiteten Terminologie dennoch genau um einen solchen Ansatz handelt, erscheint gleichwohl unstrittig.Google Scholar
  55. 57.
    Man beachte, daß aufgrund der „größer-gleich“ Restriktionen (5.5) eine Übererfüllung der Nachfragemengen zulässig ist.Google Scholar
  56. 58.
    Das heißt, daß die aufgrund einer Fixierung von Variablen ohnehin gedeckten Bedarfsmengen jeweils in Abzug gebracht werden.Google Scholar
  57. 59.
    Die Bedarfsmenge bzgl. der Länge l; ist genau dann übererfüllt, falls für die i-te Zeile des Restriktionensystems (5.5) keine Gleichheit, sondern eine „>“ Relation gilt.Google Scholar
  58. 60.
    Stadtler (1990), S.215.Google Scholar
  59. 61.
    Zur Lösung der linearen Programme verwendet der Verfasser in der vorliegenden Dec-4 Implementation die Numerical Recipes Routine Simplx, die als Fortran-Programm dargestellt ist in Press u.A. (1992), S.423ff.Google Scholar
  60. 62.
    In diesem Zusammenhang sei erwähnt, daß Stadtler zur Lösung der Residualprobleme eine Ffd-Heuristik verwendet. Der Einsatz eines bestimmten Verfahrens zur Lösung des Residualproblems ist allerdings kein konstituierendes Merkmal des Dekompositionsansatzes von Stadtler, obgleich von entscheidender Relevanz für die Qualität der erhaltenen Lösungen, vgl. WÄScher/Gau (1996), S. 138ff.Google Scholar
  61. 63.
    Berücksichtigt werden allerdings die Rechenzeiten zur Lösung der relaxierten Residualprobleme für den Fall einer ggf. mehrfachen, sukzessiven Dekomposition mit Dec-1.Google Scholar
  62. 64.
    Es gilt zu berücksichtigen, daß man Residualprobleme überhaupt nur für den Fall erhält, daß eine mit Ffd bestimmte Lösung des Ausgangsproblems nicht bereits als optimal identifiziert wird (Iru-Bound). Ansonsten wird keine Dekomposition durchgeführt und es ergibt sich folglich auch kein Residualproblem.Google Scholar
  63. 65.
    Die in Tabelle 5.4 angeführte, positive Abweichung Axo = 1 vom Iru-Bound resultiert daher, daß es sich für das betreffende Problem Die88B-2 um eines der wenigen dokumentierten Gegenbeispiele zur Iru-Eigenschaft handelt.Google Scholar
  64. 66.
    Es handelt sich hierbei um das Problem Wae84–25 in Datensatz DS2, für das mit Dec-2 und Dec-3 keine optimale Lösung bestimmt werden konnte, und das Problem Pie64–16 in Datensatz DS1, für das mit Dec-2 keine optimale Lösung bestimmt werden konnte.Google Scholar
  65. 67.
    Eine derartige Differenzierung leitet sich aus der Relevanz bzw. Irrelevanz eines Problems für den Vergleich der implementierten Dekompositionsheuristiken ab.Google Scholar
  66. 68.
    Die Bezeichnung als Benchmark-Probleme ist im Zusammenhang mit der Bestimmung optimaler, ganzzahliger Lösungen allerdings möglicherweise irreführend, da der „Benchmark-Charakter“ sich natürlich nur auf den Berechnungsaufwand zur Bestimmung einer optimalen Lösung des relaxierten Problems bezieht.Google Scholar
  67. 69.
    Eines der mit Dec-4 erhaltenen Residualprobleme wird zwar von Mtp mit Back=25000 optimal gelöst, allerdings ohne Optimalitätsgarantie.Google Scholar
  68. 70.
    Für eine detaillierte Beschreibung des Generators Cutgen1 vgl. auch Gau/WÄScher (1995).Google Scholar
  69. 71.
    In diesem Zusammenhang sei nochmals darauf hingewiesen, daß man durch gleichzeitige Multiplikation der Standardlänge L und der Nachfragelängen ii,¡­, Im mit einem konstanten Faktor k > 0 eine „äquivalente“ Modellformulierung erhält.Google Scholar
  70. 72.
    Die verwendete und zwecks eindeutiger Rekonstruierbarkeit der generierten Probleme zu spezifizierende Initialisierung des Zufallszahlengenerators ergibt sich auf Grundlage der Werte des Deskriptorentripels in, y2, d nach der Vorschrift: seed = m • 100000 + y2 • 10000 + d.Google Scholar
  71. 73.
    Die ausschließliche Berücksichtigung von Problemen der Größe m < 75 erfolgt in Anlehnung an die maximale Größe der in der Literatur dokumentierten Beispielprobleme.Google Scholar
  72. 74.
    Es gilt zu beachten, daß natürlich auch eine mit Mtp bestimmte Lösung ohne explizite Optimalitätsgarantie ggf. optimal sein kann.Google Scholar
  73. 75.
    Da der Iru-Bound lediglich eine untere Schranke für den optimalen Zielwert darstellt, handelt es sich bei den angegebenen und am Iru-Bound orientierten Prozentzahlen gleichfalls auch nur um untere Schranken.Google Scholar
  74. 76.
    Lediglich für vier der mit Dec-4 bestimmten Lösungen gilt Axo = 0, obwohl Mtp für die entsprechenden Residualprobleme ohne Optimalitätsgarantie terminiert.Google Scholar
  75. 77.
    Der Anspruch einer Berechnung jeweils optimaler Lösungen für die Residualprobleme erscheint aufgrund eines möglicherweise prohibitiven Rechenaufwands allerdings nicht (kaum) praktikabel.Google Scholar
  76. 78.
    Diese acht Probleme definieren gleichzeitig Gegenbeispiele zur Iru-Eigenschaft, zumindest für die erhaltenen Residualprobleme.Google Scholar
  77. 79.
    Es gilt in diesem Zusammenhang zu beachten, daß die mit Dec-1 erhaltenen Residualprobleme nach Bestimmung einer optimalen Lösung mit Axo = 0 implizit auch eine optimale Lösung des Ausgangsproblems (Ax 0 = 0) definieren.Google Scholar
  78. 80.
    Auf die Möglichkeit, durch Setzen des Parameters Back auf einen Wert deutlich jenseits von 250000 ggf. noch weitere Probleme mit Optimalitätsgarantie lösen zu können, hat der Verfasser in Anbetracht prohibitiver Rechenzeiten daher dann auch verzichtet.Google Scholar
  79. 81.
    Für eine detailliertere Analyse der Rechenzeit des spaltenerzeugenden Verfahrens in Abhängigkeit von den Deskriptorenwerten für m, v2 und d verweist der Verfasser auf die Ergebnisse in Kapitel 4 dieser Arbeit.Google Scholar
  80. 82.
    Einzig für Dec-3 erscheint die erhaltene Lösungsqualität als relativ unabhängig von der Problemgröße m.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997

Authors and Affiliations

  • Thomas Gau
    • 1
  1. 1.BraunschweigDeutschland

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