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Das Standardproblem

  • Thomas Gau
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Zusammenfassung

Das Standardproblem eindimensionalen Zuschneidens wurde erstmals 1939 von dem russischen Mathematiker Kantorovich im Rahmen eines Vortrags an der Leningrader Universität formuliert1 und zählt damit zu einer der ersten Anwendungen von Methoden des Operations Research.2

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. Kantorovich (1960), S. 379f. Der 1960 erschienene Beitrag faßt zwei Vorträge des Autors aus dem Jahr 1939 zusammen, deren stenographische Aufzeichnungen und Ergänzungen hierfür ins Englische übersetzt wurden. Entsprechende Hinweise und Erläuterungen finden sich auf S. 366f. der angegebenen Quelle.Google Scholar
  2. 2.
    Zu den ersten Veröffentlichungen in der angloamerikanischen Literatur zur Thematik des Zuschneidens zählen darüber hinaus Paull/Walter (1955), Eisemann (1957) und Metzger (1958); in der deutschsprachigen Literatur FÖRstner (1959).Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. Z.B. Bazaraa U.A. (1990), S. 10f., ChvÂTal (1983), S.195ff., Krekg (1965), S. 286f. oder MÜLler-Merbach (1973), S.171ff.Google Scholar
  4. 4.
    Für Beispiele abstrakter Zuschneideprobleme vgl. Dyckhoff (1990), S.149f.Google Scholar
  5. 5.
    Hinsichtlich einer allgemeinen Definition der Dimensionalität von Zuschneideproblemen vgl. Dyckhoff (1990), S. 150.Google Scholar
  6. 6.
    Sofern der Vektorcharakter einer Größe unmittelbar erkennbar ist, verzichtet der Verfasser hier und im folgenden jeweils auf eine explizite Kennzeichnung durch einen zusätzlichen, mathematischen (Vektor-)Akzent.Google Scholar
  7. 7.
    Vgl. Dyckhoff (1990), S. 154f.Google Scholar
  8. 8.
    Der Zusammenhang zwischen Standardproblem und Bin-Packing Problem bzw. zwischen Standardproblem und Rucksackproblem wird in Kapitel 2.4 dieser Arbeit noch ausführlicher analysiert.Google Scholar
  9. 9.
    Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S.865.Google Scholar
  10. 10.
    Zur Definition des Dominanzbegriffs eindimensionaler Schnittmuster vgl. Pierce (1964), S. 18 bzw. zur Definition inhaltlich identischer, synonym verwendeter Begriffe WÄScher (1989), S. 141 oder Dyckhoff (1988), S. 88f.Google Scholar
  11. 11.
    Der Numerierung in Tabelle 2.1 liegt eine lexikographischen Sortierung bzw. Enumeration der Schnittmuster zugrunde. Hinsichtlich der Darstellung und Beschreibung eines Algorithmus zur lexikographischen Enumeration der Schnittmuster vgl. z.B. Olorunniwo (1986), S. 125ff. oder Terno U.A. (1987), S.59f.Google Scholar
  12. 12.
    Vgl. Dyckhoff (1992), S. 168ff.Google Scholar
  13. 13.
    Vgl. in diesem Zusammenhang auch WÄScher (1989), S.31.Google Scholar
  14. 14.
    Zum Begiff „Multiple-Cut-Technologie“ vgl. WÄScher (1989), S.83.Google Scholar
  15. 15.
    In der Literatur bezeichnet man Randbedingungen dieser Art als „Messerzahlbeschränkung“ bzw. „cutting knife limitation”. Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S.878, Golden (1976), S.267 oder WÄScher (1989), S.83.Google Scholar
  16. 16.
    Zum Begriff der konvexen Dominanz eindimensionaler Schnittmuster vgl. Van Den Meerendonk U.A. (1963), S.41f. und Van Der Hoek U.A. (1983), S.5.Google Scholar
  17. 17.
    Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß eine derartige Redundanz nur für den Fall einer Relaxierung der Ganzzahligkeitsbedingung in bezug auf die Verwendungshäufigkeit der Schnittmuster gilt. Vgl. in diesem Zusammenhang auch Van Den Meerendonk U.A. (1963), S. 41f.Google Scholar
  18. 18.
    Vgl. Dyckhoff (1992), S. 170ff.Google Scholar
  19. 19.
    Vgl. Kapitel 2.2.2 dieser Arbeit.Google Scholar
  20. 20.
    Im vorliegenden Modell unberücksichtigt bleibt daher die Möglichkeit der Lagerung übererfüllter Nachfragelängen sowie die Einbeziehung von Mengentoleranzen bezüglich der Bedarfe d;.Google Scholar
  21. 21.
    Vgl. auch Kapitel 2.2.1 dieser Arbeit.Google Scholar
  22. 22.
    Vgl. WÄScher (1989), S. 141.Google Scholar
  23. 23.
    Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S. 865.Google Scholar
  24. 24.
    Rao (1976).Google Scholar
  25. 25.
    Vgl.Dyckhoff (1981).Google Scholar
  26. 26.
    Zur Möglichkeit der Konstruktion beliebiger Schnittmuster eines Standardproblems durch sukzessive Anwendung von „one-cuts“ äußert sich Dyckhoff wie folgt: „Despite this simple structure [gemeint ist die „one-cut” Technologie; d. Verf.], any complicated cutting combinationcan be constructed successively.“ (Dyckhoff (1981), S.1095).Google Scholar
  27. 27.
    Dyckhoff (1981), 5.1095.Google Scholar
  28. 28.
    Zur Notwendigkeit bzw. Interpretation der Bilanzrestriktionen (2.6) merkt Stadtler an: „The balance equations make sure that no more lengths could be used, than those which are either taken from available stock or produced as a result of the cutting process.“ (Stadtler (1988), S. 101).Google Scholar
  29. 30.
    Zur mathematischen Modellierung des Bin-Packing Problems vgl. Z.B. Martello/Toth (1990), S.221.Google Scholar
  30. 31.
    Vgl. Vance U.A. (1994), S.111f.Google Scholar
  31. 32.
    Vgl. Hochbaum/Shamir (1991), S.648.Google Scholar
  32. 33.
    Im Gegensatz dazu können die Items auch alle nur einfach verfügbar sein (0–1 Rucksackproblem) oder aber die maximal verfügbare Anzahl unterliegt einer entsprechenden Einschränkung (beschränktes Rucksackproblem).Google Scholar
  33. 34.
    Einen Vektor ak bezeichnet man genau dann als maximales Element einer Menge von Vektoren A = {ai aN}, falls kein anderes Element ai E A existiert, das ak in jeder Komponente dominiert Vgl. Devroye (1980), S. 53.Google Scholar
  34. 35.
    Vgl. Marcotte (1985), S.82.Google Scholar
  35. 36.
    Vgl. in diesem Zusammenhang auch Abbildung 2.1 in Kapitel 2.2.3 dieser Arbeit.Google Scholar
  36. 37.
    Zur Komplexität des Bin-Packing Problems vgl. Garey/Johnson (1979), S.226.Google Scholar
  37. 38.
    Man bezeichnet Probleme aus der Klasse P hinsichtlich des Aufwands zur Bestimmung einer optimalen Lösung daher auch als „einfach“, vgl. Bachem (1980), S.821.Google Scholar
  38. 39.
    Ein Algorithmus sei genau dann als effizient bezeichnet, falls die Laufzeit des Algorithmus, gemessen in Elementaroperationen (z.B.) einer Turing-Maschine, als polynomiale Funktion der Größe des Probleminputs darstellbar ist. Zur Definition und Arbeitsweise einer Turing-Maschine vgl. Garey/Johnson (1979), S. 23ff. bzw. für eine mehr anschaulich orientierte Darstellung Hopcroft (1984).Google Scholar
  39. 40.
    Vgl. Sahni (1975), Ibarra/Kim (1975) oder Garey/Johnson (1979), 5.135.Google Scholar
  40. 41.
    Es sei angemerkt, daß diese Aussage nur asymptotisch gilt. Ein asymptotisch ÿ -approximativer Algorithmus (First-Fit-Decreasing) wird in Kapitel 4.2.3.2 und Kapitel 5.2 dieser Arbeit noch ausführlicher diskutiert.Google Scholar
  41. 42.
    Vgl. Moller - Merbach (1981), S.20 oder Silver U.A. (1980), S.154.Google Scholar
  42. 43.
    Ein einfacher Ansatz zur Bestimmung ganzzahliger Lösungen ist z.B. das Aufrunden nicht-ganzzahliger Anwendungshäufigkeiten, erhalten mit der optimalen Lösung des relaxierten Problems.Google Scholar
  43. 44.
    Vgl. Kapitel 2.2.3 dieser Arbeit.Google Scholar
  44. 45.
    Für einen konstruktiven Beweis der Äquivalenz der Formulierungen (2.16)¡ª(2.18) bzw. (2.19)(2.21) vgl. Gilmore/Gomory (1961), S.851.Google Scholar
  45. 46.
    Eine Äquivalenz läßt sich lediglich bzgl. einer Formulierung des relaxierten Standardproblems mit Gleichheitsrestriktionen (2.20) folgern, d.h. nicht für das lineare Programm (2.16)¡ª(2.18).Google Scholar
  46. 47.
    Zur Theorie und Methodik der Identifikation redundanter Restriktionen vgl. z.B. Telgen (1983) und die dort angegebene Literatur.Google Scholar
  47. 48.
    Die Redundanz der mit dominierten Mustern korrespondierenden Restriktionen ist dagegen trivial.Google Scholar
  48. 49.
    Vgl. auch Kapitel 4 dieser Arbeit.Google Scholar
  49. 50.
    Vgl. WÄScher/Gau (1993). Die Differenz Ax = xo ¡ª 10 wird in der einschlägigen Literatur auch als „gap“ oder „duality gap” bezeichnet, vgl. Scheithauer/Terno (1992), S.439 bzw. Fieldhouse (1990), S.2.Google Scholar
  50. 51.
    Zur Definition der Iru-Eigenschaft im Zusammenhang mit dem Standardproblem vgl. Marcotte (1985), 5.83 bzw. für einen allgemeinen Überblick zur Thematik „integer rounding“ Schrijver (1986), S.336f. sowie die dort angegebene Literatur.Google Scholar
  51. 52.
    (yl bezeichnet hier und im weiteren jeweils die kleinste ganze Zahl größer oder gleich y.Google Scholar
  52. 53.
    Vgl. in diesem Zusammenhang z.B. die in Kapitel 2.7.2 angeführten Probleme ohne Iru-Eigenschaft.Google Scholar
  53. 54.
    In der Terminologie von Scheithauer und Terno handelt es sich bei dieser schwächeren Bedingung um die sogenannte „Modified Integer Round Up Property“ (Mirup), vgl. Scheithauer/Terno (1995), S.564.Google Scholar
  54. 55.
    Vgl. Scheithauer/Terno (1995), WAsCher/Gau (1993), Vance U.A. (1994), Gau (1994) oder WÄScher/Gau (1994).Google Scholar
  55. 56.
    Vgl. Marcotte (1986).Google Scholar
  56. 57.
    Zur Kennzeichnung und Identifikation von Beispielproblemen aus der Literatur werden im weiteren die drei Anfangsbuchstaben des betreffenden Autors, gefolgt vom Erscheinungsjahr (zweistellig) der zugrundeliegenden Veröffentlichung, verwendet. Darüber hinaus wird eine zusätzliche Numerierung der Form „¡ªn“ (optional) für den Fall ggf. mehrerer zu unterscheidender Beispielprobleme herangezogen.Google Scholar
  57. 58.
    „The numbers which appear in the instance, however, are extremely large (¡). We conjecture that in any counterexample to the rounding property, the numbers are likely to be of the same order of magnitude.“ (Marcotte (1986), S. 239).Google Scholar
  58. 59.
    Vorausgesetzt man verfügt über ein geeignetes Instrumentarium zur optimalen Lösung des relaxierten als auch des ganzzahligen Problems. Entsprechende Verfahren werden im Rahmen dieser Arbeit vorgestellt.Google Scholar
  59. 61.
    Es sei nochmals an die Schwierigkeiten von Marcotte erinnert, überhaupt ein Beispielproblem mit Ax = 1 angeben zu können. Daß es für Differenzen x > 1 sicher nicht einfacher wird, liegt auf der Hand.Google Scholar
  60. 62.
    Dort heißt es: „¡ any counterexample to the rounding property is unlikely to arise from a practical problem.“ (Marcotte (1986), S.242).Google Scholar
  61. 63.
    Vgl. Marcotte (1985), S. 85ff. Zentrale Aspekte der Beweisführung sind der Zusammenhang zum Rucksackpolyeder als der konvexen Hülle zulässiger Lösungen des unbeschränkten Rucksackproblems Urp, vgl. auch Kapitel 2.4 dieser Arbeit, in Verbindung mit allgemeinen Aussagen zur Polyedertheorie.Google Scholar
  62. 64.
    Vgl. Scheithauer/Terno (1992), S.443.Google Scholar
  63. 65.
    Zu erwähnen ist ferner ein Beitrag von Nica zur Bestimmung einer Klasse von Problemen mit ~x > 1, vgl. Nica (1994).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997

Authors and Affiliations

  • Thomas Gau
    • 1
  1. 1.BraunschweigDeutschland

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