Zusammenfassung
Das Standardproblem eindimensionalen Zuschneidens wurde erstmals 1939 von dem russischen Mathematiker Kantorovich im Rahmen eines Vortrags an der Leningrader Universität formuliert1 und zählt damit zu einer der ersten Anwendungen von Methoden des Operations Research.2
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Literatur
Vgl. Kantorovich (1960), S. 379f. Der 1960 erschienene Beitrag faßt zwei Vorträge des Autors aus dem Jahr 1939 zusammen, deren stenographische Aufzeichnungen und Ergänzungen hierfür ins Englische übersetzt wurden. Entsprechende Hinweise und Erläuterungen finden sich auf S. 366f. der angegebenen Quelle.
Zu den ersten Veröffentlichungen in der angloamerikanischen Literatur zur Thematik des Zuschneidens zählen darüber hinaus Paull/Walter (1955), Eisemann (1957) und Metzger (1958); in der deutschsprachigen Literatur FÖRstner (1959).
Vgl. Z.B. Bazaraa U.A. (1990), S. 10f., ChvÂTal (1983), S.195ff., Krekg (1965), S. 286f. oder MÜLler-Merbach (1973), S.171ff.
Für Beispiele abstrakter Zuschneideprobleme vgl. Dyckhoff (1990), S.149f.
Hinsichtlich einer allgemeinen Definition der Dimensionalität von Zuschneideproblemen vgl. Dyckhoff (1990), S. 150.
Sofern der Vektorcharakter einer Größe unmittelbar erkennbar ist, verzichtet der Verfasser hier und im folgenden jeweils auf eine explizite Kennzeichnung durch einen zusätzlichen, mathematischen (Vektor-)Akzent.
Vgl. Dyckhoff (1990), S. 154f.
Der Zusammenhang zwischen Standardproblem und Bin-Packing Problem bzw. zwischen Standardproblem und Rucksackproblem wird in Kapitel 2.4 dieser Arbeit noch ausführlicher analysiert.
Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S.865.
Zur Definition des Dominanzbegriffs eindimensionaler Schnittmuster vgl. Pierce (1964), S. 18 bzw. zur Definition inhaltlich identischer, synonym verwendeter Begriffe WÄScher (1989), S. 141 oder Dyckhoff (1988), S. 88f.
Der Numerierung in Tabelle 2.1 liegt eine lexikographischen Sortierung bzw. Enumeration der Schnittmuster zugrunde. Hinsichtlich der Darstellung und Beschreibung eines Algorithmus zur lexikographischen Enumeration der Schnittmuster vgl. z.B. Olorunniwo (1986), S. 125ff. oder Terno U.A. (1987), S.59f.
Vgl. Dyckhoff (1992), S. 168ff.
Vgl. in diesem Zusammenhang auch WÄScher (1989), S.31.
Zum Begiff „Multiple-Cut-Technologie“ vgl. WÄScher (1989), S.83.
In der Literatur bezeichnet man Randbedingungen dieser Art als „Messerzahlbeschränkung“ bzw. „cutting knife limitation”. Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S.878, Golden (1976), S.267 oder WÄScher (1989), S.83.
Zum Begriff der konvexen Dominanz eindimensionaler Schnittmuster vgl. Van Den Meerendonk U.A. (1963), S.41f. und Van Der Hoek U.A. (1983), S.5.
Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß eine derartige Redundanz nur für den Fall einer Relaxierung der Ganzzahligkeitsbedingung in bezug auf die Verwendungshäufigkeit der Schnittmuster gilt. Vgl. in diesem Zusammenhang auch Van Den Meerendonk U.A. (1963), S. 41f.
Vgl. Dyckhoff (1992), S. 170ff.
Vgl. Kapitel 2.2.2 dieser Arbeit.
Im vorliegenden Modell unberücksichtigt bleibt daher die Möglichkeit der Lagerung übererfüllter Nachfragelängen sowie die Einbeziehung von Mengentoleranzen bezüglich der Bedarfe d;.
Vgl. auch Kapitel 2.2.1 dieser Arbeit.
Vgl. WÄScher (1989), S. 141.
Vgl. Gilmore/Gomory (1963), S. 865.
Rao (1976).
Vgl.Dyckhoff (1981).
Zur Möglichkeit der Konstruktion beliebiger Schnittmuster eines Standardproblems durch sukzessive Anwendung von „one-cuts“ äußert sich Dyckhoff wie folgt: „Despite this simple structure [gemeint ist die „one-cut” Technologie; d. Verf.], any complicated cutting combinationcan be constructed successively.“ (Dyckhoff (1981), S.1095).
Dyckhoff (1981), 5.1095.
Zur Notwendigkeit bzw. Interpretation der Bilanzrestriktionen (2.6) merkt Stadtler an: „The balance equations make sure that no more lengths could be used, than those which are either taken from available stock or produced as a result of the cutting process.“ (Stadtler (1988), S. 101).
Zur mathematischen Modellierung des Bin-Packing Problems vgl. Z.B. Martello/Toth (1990), S.221.
Vgl. Vance U.A. (1994), S.111f.
Vgl. Hochbaum/Shamir (1991), S.648.
Im Gegensatz dazu können die Items auch alle nur einfach verfügbar sein (0–1 Rucksackproblem) oder aber die maximal verfügbare Anzahl unterliegt einer entsprechenden Einschränkung (beschränktes Rucksackproblem).
Einen Vektor ak bezeichnet man genau dann als maximales Element einer Menge von Vektoren A = {ai aN}, falls kein anderes Element ai E A existiert, das ak in jeder Komponente dominiert Vgl. Devroye (1980), S. 53.
Vgl. Marcotte (1985), S.82.
Vgl. in diesem Zusammenhang auch Abbildung 2.1 in Kapitel 2.2.3 dieser Arbeit.
Zur Komplexität des Bin-Packing Problems vgl. Garey/Johnson (1979), S.226.
Man bezeichnet Probleme aus der Klasse P hinsichtlich des Aufwands zur Bestimmung einer optimalen Lösung daher auch als „einfach“, vgl. Bachem (1980), S.821.
Ein Algorithmus sei genau dann als effizient bezeichnet, falls die Laufzeit des Algorithmus, gemessen in Elementaroperationen (z.B.) einer Turing-Maschine, als polynomiale Funktion der Größe des Probleminputs darstellbar ist. Zur Definition und Arbeitsweise einer Turing-Maschine vgl. Garey/Johnson (1979), S. 23ff. bzw. für eine mehr anschaulich orientierte Darstellung Hopcroft (1984).
Vgl. Sahni (1975), Ibarra/Kim (1975) oder Garey/Johnson (1979), 5.135.
Es sei angemerkt, daß diese Aussage nur asymptotisch gilt. Ein asymptotisch ÿ -approximativer Algorithmus (First-Fit-Decreasing) wird in Kapitel 4.2.3.2 und Kapitel 5.2 dieser Arbeit noch ausführlicher diskutiert.
Vgl. Moller - Merbach (1981), S.20 oder Silver U.A. (1980), S.154.
Ein einfacher Ansatz zur Bestimmung ganzzahliger Lösungen ist z.B. das Aufrunden nicht-ganzzahliger Anwendungshäufigkeiten, erhalten mit der optimalen Lösung des relaxierten Problems.
Vgl. Kapitel 2.2.3 dieser Arbeit.
Für einen konstruktiven Beweis der Äquivalenz der Formulierungen (2.16)¡ª(2.18) bzw. (2.19)(2.21) vgl. Gilmore/Gomory (1961), S.851.
Eine Äquivalenz läßt sich lediglich bzgl. einer Formulierung des relaxierten Standardproblems mit Gleichheitsrestriktionen (2.20) folgern, d.h. nicht für das lineare Programm (2.16)¡ª(2.18).
Zur Theorie und Methodik der Identifikation redundanter Restriktionen vgl. z.B. Telgen (1983) und die dort angegebene Literatur.
Die Redundanz der mit dominierten Mustern korrespondierenden Restriktionen ist dagegen trivial.
Vgl. auch Kapitel 4 dieser Arbeit.
Vgl. WÄScher/Gau (1993). Die Differenz Ax = xo ¡ª 10 wird in der einschlägigen Literatur auch als „gap“ oder „duality gap” bezeichnet, vgl. Scheithauer/Terno (1992), S.439 bzw. Fieldhouse (1990), S.2.
Zur Definition der Iru-Eigenschaft im Zusammenhang mit dem Standardproblem vgl. Marcotte (1985), 5.83 bzw. für einen allgemeinen Überblick zur Thematik „integer rounding“ Schrijver (1986), S.336f. sowie die dort angegebene Literatur.
(yl bezeichnet hier und im weiteren jeweils die kleinste ganze Zahl größer oder gleich y.
Vgl. in diesem Zusammenhang z.B. die in Kapitel 2.7.2 angeführten Probleme ohne Iru-Eigenschaft.
In der Terminologie von Scheithauer und Terno handelt es sich bei dieser schwächeren Bedingung um die sogenannte „Modified Integer Round Up Property“ (Mirup), vgl. Scheithauer/Terno (1995), S.564.
Vgl. Scheithauer/Terno (1995), WAsCher/Gau (1993), Vance U.A. (1994), Gau (1994) oder WÄScher/Gau (1994).
Vgl. Marcotte (1986).
Zur Kennzeichnung und Identifikation von Beispielproblemen aus der Literatur werden im weiteren die drei Anfangsbuchstaben des betreffenden Autors, gefolgt vom Erscheinungsjahr (zweistellig) der zugrundeliegenden Veröffentlichung, verwendet. Darüber hinaus wird eine zusätzliche Numerierung der Form „¡ªn“ (optional) für den Fall ggf. mehrerer zu unterscheidender Beispielprobleme herangezogen.
„The numbers which appear in the instance, however, are extremely large (¡). We conjecture that in any counterexample to the rounding property, the numbers are likely to be of the same order of magnitude.“ (Marcotte (1986), S. 239).
Vorausgesetzt man verfügt über ein geeignetes Instrumentarium zur optimalen Lösung des relaxierten als auch des ganzzahligen Problems. Entsprechende Verfahren werden im Rahmen dieser Arbeit vorgestellt.
Es sei nochmals an die Schwierigkeiten von Marcotte erinnert, überhaupt ein Beispielproblem mit Ax = 1 angeben zu können. Daß es für Differenzen x > 1 sicher nicht einfacher wird, liegt auf der Hand.
Dort heißt es: „¡ any counterexample to the rounding property is unlikely to arise from a practical problem.“ (Marcotte (1986), S.242).
Vgl. Marcotte (1985), S. 85ff. Zentrale Aspekte der Beweisführung sind der Zusammenhang zum Rucksackpolyeder als der konvexen Hülle zulässiger Lösungen des unbeschränkten Rucksackproblems Urp, vgl. auch Kapitel 2.4 dieser Arbeit, in Verbindung mit allgemeinen Aussagen zur Polyedertheorie.
Vgl. Scheithauer/Terno (1992), S.443.
Zu erwähnen ist ferner ein Beitrag von Nica zur Bestimmung einer Klasse von Problemen mit ~x > 1, vgl. Nica (1994).
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Gau, T. (1997). Das Standardproblem. In: Lösungsverfahren für das Standardproblem eindimensionalen Zuschneidens. Produktion und Logistik. Physica, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12398-0_2
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