Einige elementare Probleme der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Der Gegenstand der bisherigen Betrachtungen ist nach den grundsätzlichen Ausführungen über den Kraftbegriff der durch eingeprägte und Reaktionskräfte (§ 3.4) belastete starre Körper gewesen. Im Vordergrund der Probleme stand die Aufgabe, aus den eingeprägten Kräften mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen die Reaktionskräfte zu ermitteln. Das ist dann möglich, wenn die Anzahl der Reaktionskräfte und der Gleichgewichtsbedingungen übereinstimmt; man sagt, die Aufgabe (bezüglich der Reaktionskräfte) ist statisch bestimmt und somit die Belastung des Körpers bekannt. Daß auch ein anderer Sachverhalt, d. h. eine statische Unbestimmtheit hinsichtlich der Reaktionskräfte, auftreten kann, darauf ist schon in § 4.3 und § 8.1 hingewiesen worden. Zur Illustration betrachten wir den an den Enden eingespannten, durch die Kraft K belasteten Balken (Abb. 11.1). Hier stehen zur Ermittlung der Reaktionskräfte R _A = {X _A ; 0; Z _A } und R _B = {X _B ; 0; Z _B } und der Einspannmomente M _A = {0; M _A ; 0} und M _B = {0; M _B ; 0}, also sechs Unbekannter, nach § 8.1 nur R _A + R _B + K = 0 und M _A + M _B + r _C × K + r _B × R _B = 0, also drei Komponentengleichungen zur Verfügung; nämlich zwei für die Kräfte und — mit Rücksicht auf das ebene Kräftesystem — eine für die Momente. Das Problem ist dreifach statisch unbestimmt, die Belastung des Balkens also unbekannt. Daß in diesem und ähnlichen Fällen die Beanspruchungen, d. h. die inneren Spannungen des Körpers, der quantitativen Erfassung nicht zugänglich sind, ist offenbar; daß aber auch in den Fällen, in denen die Reaktionskräfte und Momente aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können, also die Aufgabe hinsichtlich dieser Größen statisch bestimmt, d. h. die Belastung bekannt ist, die innere Spannung, also die Beanspruchung i. allg. unbekannt bleibt, darauf ist in § 10.2 ebenfalls mit den Worten „statisch unbestimmt“ hingewiesen worden. Bei allen solchen bezüglich der Reaktionskräfte oder inneren Spannungen statisch unbestimmten Problemen ist es unumgänglich, die Fiktion des starren Körpers, der ohnehin nur eine Idealisierung ist, aufzugeben, also die die Kräfte (Belastungen) aufnehmenden und weiterleitenden Körper, die sog. Träger — der Wirklichkeit entsprechend — als deformierbar anzusehen.