Die Riemannsche Fläche eines holomorphen Keimes

Zusammenfassung

Die Bezeichnung “Keim” ist wirklich sehr passend. Ist z.B. G ein Gebiet in ℂ und f: G → ℂ eine holomorphe Funktion, von der wir nur den Keim (f, z_O) an einer Stelle z_O ∈ G kennen, so können wir die Funktion f durch analytische Fortsetzung aus dem Keim wieder wachsen lassen: Wir wählen zu z ∈ G einen Weg in G von z_O nach z und setzen (f, z_O) längs des Weges zu (f₁, z) fort: Dann ist f₁ (z) = f (z) nach dem Identitätssatz. Hierbei haben wir die Existenz einer den Keim repräsentierenden Funktion f auf ganz G angenommen. Ist nun aber gar nichts weiter gegeben als ein holomorpher Funktionskeim (f_O, z_O) irgendwo in ℂ, so liegt es nahe diesen Keim durch analytische Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion solange wachsen zu lassen, bis weitere analytische Fortsetzung nicht mehr möglich ist, auf diese Weise die “größte” Funktion zu finden hoffend der der Keim angehört. Versucht man aber dieser Idee zu folgen, so sieht man sich bald dem Problem der Mehrdeutigkeit gegenüber. Beginnt man z.B. mit dem Logarithmuskeim (log, 1), den man durch lokale Umkehrung von e^z bei z = O erhält, so liefert analytische Fortsetzung über die obere Halbebene log(−1) = in