Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung

Zusammenfassung

Im folgenden betrachten wir Methoden der digitalen Signalverarbeitung [6.6–6.8], welche auf der Annahme beruhen, daß der Signalverlauf zwischen den Abtastwerten durch Spline-Funktionen beschreibbar ist. Diese Hypothese liegt nicht so fern, wenn man beachtet, daß Spline-Interpolationen i.a. sehr gute Approximationseigenschaften besitzen und überdies auch die Shannon-Interpolation als Spline-Interpolation unendlich hoher Ordnung interpretierbar ist. Diese letztere Aussage wird plausibel, wenn man die Operationen im Zeit- und im Frequenzbereich vergleicht, durch welche kontinuierliche und diskontinuierliche Signale jeweils verknüpft sind: Bei der Shannon-Interpolation sind das einerseits die Faltung des diskontinuierlichen Signals mit a_∞(t) = (sin πt/T)/(πt) und andererseits die Multiplikation des periodisierten Spektrums mit der Rechteckbewertungsfunktion A_∞(f), die für |f| > 1/(2T) identisch verschwindet (Bild 6.1). Die entsprechenden Funktionen der Spline-Interpolation — in Bild 6.1 sind sie für die Polygon-Interpolation (Spline 1. Ordnung), die kubische Spline-Interpolation und die Interpolation mit Spline-Funktionen 7. Ordnung dargestellt — tendieren mit wachsender Ordnung der interpolierenden Polynome gegen a_∞(t) bzw. A_∞(f).