Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung

  • Dietmar Achilles
Part of the Hochschultext book series (HST)

Zusammenfassung

Im folgenden betrachten wir Methoden der digitalen Signalverarbeitung [6.6–6.8], welche auf der Annahme beruhen, daß der Signalverlauf zwischen den Abtastwerten durch Spline-Funktionen beschreibbar ist. Diese Hypothese liegt nicht so fern, wenn man beachtet, daß Spline-Interpolationen i.a. sehr gute Approximationseigenschaften besitzen und überdies auch die Shannon-Interpolation als Spline-Interpolation unendlich hoher Ordnung interpretierbar ist. Diese letztere Aussage wird plausibel, wenn man die Operationen im Zeit- und im Frequenzbereich vergleicht, durch welche kontinuierliche und diskontinuierliche Signale jeweils verknüpft sind: Bei der Shannon-Interpolation sind das einerseits die Faltung des diskontinuierlichen Signals mit a(t) = (sin πt/T)/(πt) und andererseits die Multiplikation des periodisierten Spektrums mit der Rechteckbewertungsfunktion A(f), die für |f| > 1/(2T) identisch verschwindet (Bild 6.1). Die entsprechenden Funktionen der Spline-Interpolation — in Bild 6.1 sind sie für die Polygon-Interpolation (Spline 1. Ordnung), die kubische Spline-Interpolation und die Interpolation mit Spline-Funktionen 7. Ordnung dargestellt — tendieren mit wachsender Ordnung der interpolierenden Polynome gegen a(t) bzw. A(f).

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Literatur

  1. 6.1
    Ahlberg, J.H.; Nilson, E.N.; Walsh, J.L.: The Theory of Splines and their Applications. New York: Academic Press 1967.MATHGoogle Scholar
  2. 6.2
    Bulirsch, R.; Rutishauser, H.: Interpolation und genäherte Quadratur. In: Sauer, R.; Szabo, I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teil III. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1968.Google Scholar
  3. 6.3
    Dällenbach, W.: Verschärftes rechnerisches Verfahren der harmonischen Analyse. Arch. Elektrotechn. 10 (1922).Google Scholar
  4. 6.4
    Quade, W.; Collatz, L.: Zur Interpolationstheorie der reellen periodischen Funktionen. Sitzungsberichte der preuß. Akad. der Wissenschaften, phys.-math. Klasse 30 (1938).Google Scholar
  5. 6.5
    Bauer, F.L.; Stetter, H. J.: Zur numerischen Fourier-Transformation. Numer. Math. 1 (1959) 208–220.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 6.6
    Achilles, D.: Pipeline Fourier Transform with Implicit Spline Interpolation. Arch. elektr. Übertr. 29 (1975) 74–80.MathSciNetGoogle Scholar
  7. 6.7
    Achilles, D.: Convolution, Correlation, and Deconvolution of Spline Functions Via FFT. Nachrichtentechn. Zeitschr. 30 (1977) 654–656.Google Scholar
  8. 6.8
    Achilles, D.: Digital Processing of Spline Signals. In Vorbereitung.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978

Authors and Affiliations

  • Dietmar Achilles
    • 1
    • 2
  1. 1.Universität Erlangen-NürnbergDeutschland
  2. 2.BundesuniversitätRio de JaneiroBrasilien

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