Die Genauigkeit der Abschätzungen in 9., 11. und 12

Zusammenfassung

Die Abschätzungen für die Anzahlfunktion der Summenmengen in 9. sowie die Relationen zwischen den arithmetischen Dichten (Mann-Dysonscher Satz) in 11.1. und allen asymptotischen Dichten in 12. sind in dem Sinne genau, daß sie ohne Heranziehung weiterer kennzeichnender Eigenschaften für die zu addierenden Mengen nicht verbessert werden können. Dies läßt sich leicht an Hand von Beispielen nachweisen (Ostmann [1], [2]). Zu diesem Zweck seien p _l, p ₂ und q positive ganze Zahlen mit p ₁, + p ₂ ≦ q. Allgemein bezeichne A _p , p >0, die Menge der nichtnegativen Teile der Restklassen 0, 1,..., p – 1 (mod q). Dann ist offensichtlich

$${{\text{A}}_{{p_1}}} + {{\text{A}}_{{p_2}}} = {{\text{A}}_{{p_1}}}_{ + {p_2} - 1}{ = _{Df}}{{\text{S}}_{{p_1}}}_{,{p_2}}.$$