Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Zusammenfassung

Die Geometrie beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Figuren in der Ebene oder im Raume. Diese Eigenschaften sind so mannigfaltig und verschiedenartig, daß man ein Klassifizierungsprinzip braucht, um Ordnung in die Fülle der gewonnenen Erkenntnisse zu bringen. So kann man zum Beispiel eine Klassifizierung nach der Methode zur Ableitung der Sätze vornehmen. Von diesem Standpunkt aus macht man oft die Unterscheidung zwischen „synthetischen“ und „analytischen” Verfahren. Synthetisch ist die klassische axiomatische Methode von Euklid: Der Stoff wird auf rein geometrischer Grundlage entwickelt, unabhängig von der Algebra und dem Begriff des Zahlenkontinuums; die Lehrsätze werden durch logische Schlüsse aus einem Anfangssystem von Aussagen abgeleitet, die man Axiome oder Postulate nennt. Demgegenüber beruht die analytische Methode auf der Einführung numerischer Koordinaten und bedient sich der algebraischen Technik. Diese Methode hat eine tiefgreifende Wandlung in der mathematischen Wissenschaft herbeigeführt, aus der sich eine Zusammenfassung der Geometrie, der Analysis und der Algebra zu einer organischen Einheit ergeben hat.