Der Tangentialraum

Zusammenfassung

Es ist eine Grundidee der Differentialrechnung, differenzierbare Abbildungen durch lineare zu approximieren, um so nach Möglichkeit analytische Probleme (schwierig) auf linear-algebraische (einfach) zurückzuführen. Die lineare Approximation einer Abbildung f : ℝⁿ → ℝ^k lokal bei x ist bekanntlich das sogenannte Differential df _x : ℝⁿ → ℝ^k von f bei x, charakterisiert durch f(x + v) = f(x) + df _x · v + φ(v) (mit $\mathop {\lim }\limits_{v \to o} \frac{{\varphi (v)}}{{\left\| v \right\|}} = 0$) und gegeben durch die Jacobi-Matrix. Wie aber läßt sich eine differenzierbare Abbildung f : M → N zwischen Mannigfaltigkeiten lokal bei p ∈ M durch eine lineare Abbildung approximieren?