Zusammenfassung
Unsere Analyse konzentriert sich zuerst auf das Verhalten eines einzelnen Individuums. Vereinfachend sei hier von einer Entscheidung unter Sicherheit ausgegangen. Die Konditionen der Rentenversicherung (Beitragssatz und Rentenleistungen) über den gesamten Lebenshorizont1) sind demnach bekannt. Sie sind zwar in der Realität nicht in allen Details vorhersehbar, aber ein wesentlicher Anspruch an die gesetzliche Rentenversicherung besagt, daß die Eckdaten dem Trend der ökonomischen Entwicklung im Wirtschaftswachstum zu folgen haben. Damit plant der Versicherungsnehmer seine wirtschaftlichen Aktivitäten, gegeben diesen Trend. Dabei bleiben kurzfristige Schwankungen wegen der Langfristigkeit der Planung unberücksichtigt.
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Referenzen
Der Lebenshorizont wird auf den ökonomisch relevanten Teil des Lebens bezogen. Er beginnt daher mit dem Eintritt ins Erwerbsleben und endet mit dem Tode. Eine Modellierung der Ausbildungsentscheidung muß hier unterbleiben, obwohl die Frage des Einflusses des Rentensystems auf das Ausbildungsniveau sicherlich interessant ist. Für eine Einführung in diese Analyse, jedoch ohne Berücksichtigung der Rentenversicherung, siehe Pohmer (1985) und R.K.v. Weizsäcker (1986).
Die Berücksichtigung einer Mortalitätsrate verändert die prinzipiellen Ergebnisse dieser Analyse nicht; siehe auch Atkinson (1971). Von der ökonomischen Seite her wäre allerdings jede Form der privaten Vermögensbildung respektive der Verschuldung nur im Rahmen einer Lebensversicherung möglich.
In den bisherigen Analysen wird die Arbeitszeit nicht als Entscheidungsvariable betrachtet. Die somit vereinfachte Darstellung verzichtet dabei explizit auf einen wichtigen ökonomischen Wirkungsmechanismus; vgl. Sheshinski (1978) oder Kahn (1988). Eine rühmliche Ausnahme bildet Naqib (1985).
Vgl. Strotz (1956), Pollak (1968) und Phlips (1974).
Eine allgemeinere Formulierung geht von zeitabhängigen Nutzenfunktionen U(X t , F t ,t) aus. Diese ermöglichen es, Präferenzverschiebungen von Arbeit und Freizeit, die im Lebenszyklus auftreten können, zu erfassen. Die relevanten Ergebnisse sind weitestgehend mit denen des hier betrachteten Modells identisch, daher erübrigt sich eine Analyse im Rahmen dieser Darstellung.
Während beim deutschen Rentensystem die Beteiligung der Rentner am Arbeitsmarkt relativ gering ausfällt, also vernachlässigt werden kann, ist beim amerikanischen System festzustellen, daß die Verrentung eher eine partielle Beschäftigung oder eine Reduktion des Arbeitsangebotes hervorruft. Eine diesem Verhalten entsprechende Optimierungsstrategie findet man in Hu (1979); vgl. auch Zabalza/Pissarides/Barton (1980) und Zabalza/Piachaud (1981).
R gibt genau die Länge der Erwerbsphase wieder, da nur der ökonomische Teil des Lebens in die Analyse einbezogen wird.
Für die genaue Berechnung der Zugangsrenten, die sich nach deutschem Rentenrecht ergeben, siehe Schmähl (1978) oder Frerich (1986).
Das Maximum für die reine Variationsaufgabe (Optimierung von X(・),L(・) ist gewährleistet, da bei festem Rentenzeitpunkt das gegebene Problem konvex ist. Daraus folgt unmittelbar, daß die Bedingungen erster Ordnung zugleich auch hinreichend sind. Wird anschließend über das optimale Rentenalter entschieden, so ist dieses Problem auf seine Konkavitätseigenschaften hin zu untersuchen. Damit sind zusätzlich die Bedingungen zweiter Ordnung für die Optimierung über den Skalar R zu überprüfen. Für eine Analyse dieser Problematik siehe Abschnitt 4 dieses Kapitels oder Kapitel II. Weiterhin wird angenommen, daß stets innere Lösungen des Maximierungsproblems auftreten. Durch Annahmen an die Nutzenfunktion kann die Existenz innerer Lösungen gewährleistet werden. Es ist z.B. hinreichend, davon auszugehen, daß die Grenznutzen von Freizeit und Konsum Werte aus dem gesamten ℝ++ annehmen können.
Hierbei bleibt die Berücksichtigung einer Beitragsbemessungsgrenze, wie sie das deutsche Rentensystem vorsieht, außer Betracht. Weiterhin kann der Lohnsatz ohne Verlust der Allgemeingültigkeit auf Eins normiert werden. Welche Implikationen ein zeitlich variabler Lohn hervorruft, zeigt Kapitel III.
Für eine grundlegende Ableitung der Eulergleichung vgl. Anhang I.
Häufig wird die Ansicht vertreten, daß im Rahmen eines kontinuierlichen Lebenszyklusmodells keine analytischen Aussagen möglich seien, sondern nur mit Hilfe der Numerik oder durch die Reduktion der Analyse auf die Betrachtung nur spezieller Funktionenklassen (zumeist Cobb-Douglas) Lösungen beschrieben werden können. Daß diese Meinung nicht generell gilt, soll gerade in den folgenden Kapiteln gezeigt werden.
Varian (1984), S. 315 ff.
Varian (1984), S. 327 ff.
Die Bestimmung der Startwerte wird nicht durch zusätzliche Bedingungen in Form von Transversalitätsgleichungen beeinflußt, da dieses spezielle Lagrangefunktional keine erfordert.
Es wird zweimalige Differenzierbarkeit der Momentannutzenfunktion vorausgesetzt.
Vgl. Koo (1977), S. 210 f; damit ist die Invertierbarkeit der Hessematrix gewährleistet.
Dies ist eine Eigenschaft der Präferenzordnung und nicht, wie sonst üblich, des Nachfrageverhaltens, vgl. Phlips (1974), S. 78. Diese Definition geht auf Edgeworth (1897/1925) zurück; jedoch wies Samuelson in seinem Übersichtsartikel zur Komplementarität (1974) darauf hin, daß schon 1889 bei v.Auspitz/Lieben eine ähnliche Definition zu finden ist. Die Eigenschaft der Preizeitkomplementarität ist aufgrund der mit der Festlegung des Benefit-funktionals unmittelbar verbundenen Kardinalisierung der Nutzenfunktion gegenüber positiv affinen Transformationen invariant; vgl. Hadley/Kemp (1971), Appendix I.
Diese sprunghafte Entwicklung im Konsum beeinfiußt wesentlich die Wahl des Rentenzeitpunkts. Dies wird in (4c) deutlich, da dort der Konsumsprung unmittelbar eingeht.
Eine solche Überversorgung führt aber nicht nur zu Effekten auf das Sparniveau, vielmehr wird die Wahl des optimalen Pensionsalters hierdurch entscheidend beeinflußt, wie eine empirische Untersuchung amerikanischer Staatsangestellter zeigt; vgl. Burtless/Hausman (1982). Für eine Darstellung analoger Probleme in der deutsche Rentenversicherung siehe Weyers/Oberhauser (1984).
Die Konsumnachfrage kann nur dann inferior sein, wenn U xf negativ ist, da sonst der Zähler Z nicht positiv werden kann. Allerdings ist dies nur eine notwendige Bedingung, da die Kreuzableitung der Nutzenfunktion nicht zu stark negativ werden darf, weil Freizeit weiterhin ein normales Gut bleiben muß.
Es können analoge Argumente angeführt werden wie bei Typ B.
Dies entspricht der Tatsache, daß konkave Funktionen zugleich auch quasikonkav sind. Die Quasikonkavität ist aber eine Eigenschaft der geränderten Hessematrix; vgl. Phlips (1974) S. 22–25.
Vgl. Lang (1976), S. 289.
Wir gehen von realistischen Werten für die Lebenserwartung von 70 bis 80 Jahren aus. Zu beachten ist, daß die Jugend- und Ausbildungszeit nicht mit betrachtet wird; diese ca. 20 Jahre sind den Angaben in der Tabelle hinzuzufügen. Der Realzins liegt im langfristigen Mittelwert zwischen 1,5 % und 3 %.
Der Konsumrückgang bei Verrentung ist weitestgehend vernachlässigbar gering und bleibt in diesem Beispiel unberücksichtigt.
Sparen aus Kapitaleinkommen wird in der Budgetbedingung durch die Abdiskontierung der Zahlungsströme implizit berücksichtigt.
Auf diesen Zusammenhang weist schon Atkinson (1971) in seinem Modell zu Konsumund Sparentscheidungen hin. Interessant ist, daß die wesentlichen Ergebnisse auch in einem Modellrahmen, der die optimale Arbeitsallokation ermöglicht, erhalten bleiben.
Diese Angaben können sich allerdings aufgrund der Unstetigkeitsstelle der Sparfunktion nur auf t≠R beziehen.
Für die umgekehrte Zinsrelation dreht sich die Argumentation und damit auch die Orientierung der Pfade um.
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Peters, W. (1989). Die Grundversion des Lebenszyklusmodells. In: Theorie der Renten- und Invaliditätsversicherung. Studies in Contemporary Economics. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-10439-2_2
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