Stabilität und Chaos

Zusammenfassung

In diesem Kapitel studieren wir eine größere Klasse von dynamischen Systemen, die über die Hamilton’schen Systeme hinausgehen. Dabei sind einerseits Systeme mit Dissipation besonders interessant, bei denen Energie durch Reibung verloren geht und bei denen Energie aus äußeren Quellen eingespeist wird, andererseits diskrete oder diskretisierte Systeme, wie sie auf natürliche Weise beim Studium von Flüssen vermittels der Poincaré-Abbildung auftreten. Dissipation bedeutet immer, dass das dynamische System an andere Systeme in einer kontrollierbaren Weise gekoppelt ist. Die Stärke solcher Kopplungen erscheint in der betrachteten Dynamik in Form von Parametern, von denen die Lösungsscharen abhängen. Verändert man diese Parameter, so kann es vorkommen, dass der Fluss des Systems beim Überschreiten gewisser kritischer Werte der Parameter eine wesentliche strukturelle Änderung erfährt. Das führt ganz natürlich auf Fragen nach der Stabilität der Lösungsmannigfaltigkeit gegenüber Veränderungen der Kontrollparameter und nach dem Charakter solcher eventuell auftretenden Strukturänderungen. Dabei lernt man, dass deterministische Systeme nicht nur das wohlgeordnete und klar beschreibbare Verhalten besitzen, das wir in den integrablen Beispielen der ersten Kapitel gefunden haben, sondern dass sie auch völlig ungeordnetes, chaotisches Verhalten zeigen können. Entgegen jahrhundertealter Vorstellung und vielleicht entgegen eigener Intuition ist chaotisches Verhalten nicht auf dissipative Systeme beschränkt (Turbulenz viskoser Flüssigkeiten, Klimadynamik, etc.). Auch rein Hamilton’sche Systeme der Himmelsmechanik haben Bereiche, in denen die Bewegungen chaotischen Charakter haben.